−

Найдем изменение кинетической энергии шаров, т.е. ту ее часть, которая перешла во внутреннюю энергию:

(1.3.12)

При абсолютно упругом ударе потерь энергии нет, и в этом случае выполняются законы сохранения импульса и энергии:

Когда массы соударяющихся тел равны: m1 = m2, то они обмениваются скоростями: U1 = V1; U2 = V2. Типичный пример, удар шаров в биллиарде. Ударяющий шар останавливается, а ударяемый начинает двигаться с его скоростью.

Кода масса, например, первого тела существенно превосходит массу второго, то первое тело практически не изменяет своей скорости U1 ≈ V1. Второе тело, приобретает скорость U1 ≈ 2 V1 − V2. Здесь есть два крайних случая. Если массивное тело покоится (V1 =0 ), то малое тело просто упруго отскакивает от него с такой же скоростью (удар мяча о стенку). Если массивное тело движется, а малое покоится (V2 =0 ), то малое тело начинает двигаться с удвоенной скоростью большого (наезд автомобиля на человека).

1.4.ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.4.1.Кинематика вращательного движения

¾Абсолютно твердым телом в механике называют совокупность частиц, взаимное расположение которых остается неизменным во время движения.

¾При поступательном (трансляционном) движении твердого тела любая жестко связанная с ним прямая остается параллельной самой себе.

¾При вращательном движении твердого тела вокруг оси все его точки описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Положение вращающегося тела может быть определено взятым с соответствующим знаком двугранным углом ϕ между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения Z, одна из которых Q неподвижна относительно Z, а другая P жестко связана с телом (рис. 1.4.1). Знак ϕ определяют по правилу правого винта. Положение тела в любой момент времени t определяется уравнением ϕ = ϕ(t), дающим закон вращательного движения.

1.4.2. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент инерции

−

онные свойства тела во вращательном движении; чем больше эта величина, тем большую энергию надо затратить для достижения данной скорости. Эта величина, характеризующая твердое тело, а также выбранную ось вращения, назы-

вается моментом инерции тела относительно данной оси IZ. Тогда кинетическую энергию можно записать в виде

Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела Ic, то можно вычислить момент инерции относительно параллельной оси (теорема Штейнера):

Рассчитаем в качестве примера момент инерции стержня при вращении его вокруг перпендикулярной ему оси, проходящей через один из его концов 00’ (рис. 1.4.4а). Для этого возьмем интеграл в (1.4.4) по длин стержня, считая его однородным

Как видно, момент инерции получился в три раза больше. Момент инерции того же стержня при вращении вокруг собственной оси практически равен нулю. Эти расчеты наглядно демонстрируют зависимость момента инерции твердого тела от положения и ориентации оси вращения.

−

1.4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения

Величину F r, равную произведению проекции силы

на плоскость, перпендикулярную оси вращения, на расстояние до оси вращения (плечо силы d), называют моментом силы относительно оси М:

Эта формула выражает основное уравнение динамики вращательного движения: момент силы относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно этой оси на угловой ускорение. Роль силы при вращательном движении играет момент силы, массы – момент инерции. Момент силы – векторная величина, направленная вдоль оси вращения. Его направление определяется правилом правого винта.

вдоль вертикальной оси, перпендикулярной оси 00’. Изменение углового момента согласно (1.4.20) dL = M dt = L dϕ и совпадает с М по направлению.

Весь вектор L поворачивается в плоскости чертежа, т.к. L’ = L + dL. Вместе с L поворачивается и ось вращения гироскопа в плоскости, перпендикулярной действию сил. Скорость этого поворота определяется из последнего уравнения.