|
|
|
|
− |
|
V = a t |
или |
V − V0 = a (t − t0 ), |
|||
где V0 – скорость в момент |
времени t0. Полагая t0 = 0, находим |
||||
V = V0 +at , а пройденный путь S |
из формулы (1.1.7): |
||||
S = ∫Vdt , |
т.е. |
S = S0 + V0t + |
at2 |
, |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
||
где S0 – постоянная, определяемая из начальных условий.
Равномерное движение по окружности. В этом случае скорость меняется
только по направлению, то есть |
V = 0; |
a |
τ |
= 0; |
a |
n |
= |
V2 |
− центростреми- |
|
τ |
|
|
|
|
R |
|
||
тельное ускорение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
1.2.1.Основные понятия
Перемещение тел в пространстве – результат их механического взаимодействия между собой, в результате которого происходит изменение движения тел или их деформация. В качестве меры механического взаимодействия в динамике вводится величина – сила F. Для данного тела сила – внешний фактор, а характер движения зависит и от свойства самого тела – податливости оказываемому на него внешнему воздействию или степени инерции тела. Мерой инерции тела является его масса m, зависящая от количества вещества тела.
Таким образом, основными понятиями механики являются: движущаяся материя, пространство и время как формы существования движущейся материи, масса как мера инерции тел, сила как мера механического взаимодействия между телами.
Соотношения между этими понятиями определяются законами движения, которые были сформулированы Ньютоном как обобщение и уточнение опытных фактов.
1.2.2. Законы динамки поступательного движения
1-й закон. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние воздействия не изменяют этого состояния.
Первый закон заключает в себе закон инерции, а также определение силы как причины, нарушающей инерциальное состояние тела. Чтобы выразить его математически, Ньютон ввел понятие количества движения или импульса тела:
P = mV , |
(1.2.1) |
тогда P = const, если F = 0.
2-й закон. Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению действия этой силы.
Выбрав единицы измерения m и F так, чтобы коэффициент пропорциональности был равен единице, получаем
−
dP = F |
или |
d(mV) = F |
. |
(1.2.2) |
||
dt |
|
dt |
|
|
||
Если при движении m = const, то |
|
|
||||
m |
dP |
= F |
или |
ma = F . |
|
(1.2.3) |
|
|
|||||
|
dt |
|
|
|
|
|
В этом случае 2-й закон формулируют так: сила равна произведению мас- |
||||||
сы тела на его ускорение. |
|
|
||||
Этот закон является основным законом динамики и позволяет по заданным |
||||||
силам и начальным условиям находить закон движения тел. |
|
|||||
3-й закон. |
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны и |
|||||
направлены в противоположные стороны, т.е. |
|
|
||||
F1 = −F2 . |
|
|
|
(1.2.4) |
||
Законы Ньютона приобретают конкретный смысл после того, как указаны конкретные силы, действующие на тело. Например, часто в механике движение
тел вызывается действием таких сил: сила тяготения F = γ |
m1m2 |
, где r – |
|
r2 |
|||
|
|
расстояние между телами, γ = 6,67 10-11 м3/кг с2 – гравитационная постоянная; сила тяжести – сила тяготения вблизи поверхности Земли; P = mg; сила трения
FTP = k N, |
где k – коэффициент трения, |
N – сила нормального давления; |
сила |
упругости |
FУПР = −kx, где k – коэффициент упругости (жесткости); |
х – |
|
деформация тела, например, пружины. |
|
|
|
1.2.3. |
Вес тела |
|
|
Если тело находится на подвижной опоре, то под влиянием поля тяготения |
|||
оно действует на нее с некоторой силой |
Q (рис. 1.2.1), которая удерживает его |
||
от свободного падения. Эту силу называют весом тела. В свою очередь опора или подвес действуют на тело с силой реакции −Q.
В отличие от силы тяжести |
P = mg ≈ F = γ |
m1m2 |
, вес тела зависит от ве- |
|
r2 |
||||
|
|
|
личины ускорения а, с которым движется опора и неподвижное относительно нее тело. Запишем второй закон Ньютона для этого случая
ma = P − Q = m g − Q. |
(1.2.5) |
|
−Q |
Здесь g − ускорение свободного |
падения. Откуда |
вес |
a |
тела |
|
|
Q = P − ma = m (g − a). |
(1.2.6) |
|
Вес тела, покоящегося относительно Земли |
(a = 0), ра- |
|
вен его силе тяжести Q = P. |
Вес свободно |
падающего |
(a = g) тела равен нулю − состояние невесомости. Вес тела, поднимаемого с ускорением, превышает силу тяжести, возможно в несколько раз – состояние перегрузки.
m
mg g
Q
Рис. 1.2.1
−
1.2.4. Инерциальные системы отсчета
Для описания движения тела необходимо указать систему отсчета. Существует целый ряд систем, в которых выполняются законы Ньютона. Для этих систем верно утверждение, что когда тело приобретает ускорение, можно указать тела, действие которых вызывает это ускорение. Систему отсчета, в которой это утверждение, вытекающее из закона инерции, выполняется, называют инерциальной.
Любая система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью (V = const) относительно инерциальной системы, сама будет инерциальной. Существует бесконечное множество инерциальных систем отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. В таких системах отсчета физические явления выглядят наиболее просто и, более того, одинаково во всех системах. Количественно это обсуждается в следующем параграфе.
1.2.5. Принцип относительности Галилея |
|
|
|
Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную |
XYZ и |
X’Y’Z’, движу- |
|
щуюся поступательно относительно первой |
со скоростью |
U = const (ри- |
|
с. 1.2.1). При t = 0 0 = 0’ − оси совпадают и |
t = t’. |
Положение точки М в |
|
обеих системах определяется радиус-векторами |
|
|
|
r = r’ + r0 = r’ + U t. |
|
|
(1.2.5) |
Или в проекциях по оси координат получим преобразования Галилея для времени и координат
t = t/ |
x = x/ + ux t |
|
|
y = y/ + uyt . |
(1.2.6) |
z = z/ + uzt
Дифференцируя их почленно по времени, получим вначале преобразования для скоростей, а затем − для ускорений
V = dr |
= dr/ |
+ U = V/ + U |
|||||
|
dt |
|
dt/ |
|
|
|
(1.2.7) |
|
dV |
|
dV/ |
|
|
dU |
|
a = |
= |
|
+ |
= a/ |
|||
dt |
dt/ |
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|||
y |
M |
y’ |
U |
|
r’ |
||||
|
|
|
||
r |
|
r0 0’ |
x’ |
|
|
|
z’ |
|
|
0 |
|
r0 = U t |
x |
|
|
|
|
z
Рис. 1.2.1
Основное уравнение динамики характерно тем, что из кинетических величин оно содержит только ускорения, скорость же в него не входит. Однако, а = a’, отсюда F = F’. Следовательно, уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета эквивалентны. Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной системы, нельзя установить, находится она в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения − это утверждение называется принципом относительности Галилея.
−
1.2.6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем данное тело движется с одинаковым
ускорением |
a. Любая неинерциальная система отсчета движется относительно |
|||||
инерциальной с некоторым ускорением a’: |
|
|
|
|||
a − a’ = a − ускорение неинерциальной системы. |
|
|||||
По второму закону Ньютона a = F/m, |
а в неинерциальной системе |
|||||
a’ = a − |
a = F/m − |
a. |
|
|
(1.2.8) |
|
Отсюда следует, что даже при F = 0, |
тело будет двигаться по отношению |
|||||
к неинерциальной системе отсчета с ускорением − |
a , т.е. на него как будто |
|||||
бы действует сила инерции |
|
|
|
|||
Fin = m |
a. |
|
|
|
|
(1.2.9) |
Соответственно уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной сис- |
||||||
теме отсчета |
|
|
|
|
|
|
ma’ = F + Fin. |
|
|
(1.2.10) |
y’ |
|
|
Если тележку с маятником двигать с ускоре- |
T |
|||||
нием a, то нить отклонится от вертикали так, |
|
|||||
|
a |
|||||
чтобы результирующая сил mg и T сообщала |
Fin |
|||||
шарику ускорение |
a. |
Относительно системы |
|
|
||
отсчета, связанной с тележкой, шарик покоится, |
|
|
||||
несмотря на то, что mg + T ≠ 0. Отсутствие уско- |
|
mg |
||||
рения шарика по отношению к этой системе мож- |
|
x |
||||
но формально объяснить тем, что на шарик дейст- |
|
|
||||
вует сила инерции |
|
|
|
|
Рис. 1.2.2 |
|
Fin = − m a = mg + T. |
(1.2.11) |
|
|
|||
Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел в любых системах отсчета одними и теми же уравнениями (1.2.10).
Характерным свойством сил инерции является их пропорциональность массе, т.е. они аналогичны силам тяготения. Например, если в закрытой кабине все тела падают с ускорением g, то, не выглядывая из кабины нельзя установить, чем обусловлено это ускорение: ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля Земли.
На этом основании говорят об эквивалентности сил инерции и тяготения. Эта эквивалентность лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна.
1.2.7. Закон сохранения импульса
Совокупность взаимодействующих тел называют механической системой. Силы, действующие между телами системы, называют внутренними, а со стороны тел, не включенных в данную систему, − внешними. Если действием внешних тел на тела данной системы можно пренебречь, то систему называют замкнутой или изолированной. В ней действуют лишь внутренние силы. В такой системе описать движение тел можно без помощи 2-го закона Ньютона, т.к.
−
в ней имеются величины, не меняющиеся со временем, т.е. сохраняющиеся. Одной из таких величин является полный импульс всех тел системы.
Рассмотрим взаимодействие двух материальных точек m1 и m2, составляющих замкнутую систему. Движение каждой из них описывается 2-м законом Ньютона:
|
dP1 |
|
= F ; |
dP2 |
= F . |
|
|
|
(1.2.12) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
12 |
|
dt |
21 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т.к. по третьему закону Ньютона F12 = −F21, то из (1.2.12) |
получаем |
||||||||||
|
dP1 |
|
+ |
dP2 |
= 0, |
откуда P + P = mV + mV = const . |
(1.2.13) |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
dt |
|
|
dt |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Этот результат и представляет закон сохранения импульса для замкнутой системы. Полный импульс всех тел замкнутой системы сохраняется (т.е. не меняется со временем).
Нужно помнить, что импульсы отдельных тел при этом могут меняться.
1.2.8.Реактивное движение (Движение тела с переменной массой)
На законе сохранения импульса основано реактивное движение. Например, ракета в космическом пространстве движется вследствие того, что при быстром сгорании топлива струя горячих газов уносит некоторый импульс, заставляя корпус ракеты перемещаться в противоположную сторону. Это происходит потому, что систему “ракета − газы” можно рассматривать как замкнутую, если не учитывать ее взаимодействие с Землей. Следовательно, ее центр масс должен
оставаться неподвижным, а импульс − сохраняться. |
|
|
|
||
Пусть мгновенное значение переменной массы ракеты |
М. |
За время dt из |
|||
сопла вытекает струя газов со скоростью U и массой dM < 0, |
т.к. М убывает |
||||
(рис. 1.2.3). Проекция скорости газов на на- |
|
|
x |
||
правление оси Х отрицательна, поэтому из- |
|
|
dV |
||
менение импульса системы: |
|
dM |
M |
||
U |
V0 |
||||
− U (− dM) + (M + dM) dV = 0, |
|
|
|||
− U dM + M dV + dM dV = 0. |
|
Рис. 1.2.3 |
|||
Разделим переменные и проинтегриру- |
|
|
|
||
ем почленно полученное дифференциальное уравнение |
|
|
|||
− U (dM / M) = dV. |
|
|
|
|
|
V = − U ln M + ln Const. |
|
|
|
|
|
Константу интегрирования найдем из начальных условий: t = 0, M = M0, |
|||||
V = V0. |
ln Const = V0 + U ln M0. |
|
|||
V0 = − U ln M0 + ln Const => |
|
||||
После подстановки в предыдущее уравнение получим так называемую |
|||||
формулу Циолковского |
|
|
|
|
|
V = V0 + U ln (M0 / M). |
|
|
|
(1.2.14) |
|
Как видно скорость ракеты сильно зависит от отношения стартовой массы и массы, выведенной на орбиту. В современной ракетной технике скорость ра-