4.2.СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

F = −rV = −

r dx

,

dt

где r – постоянный коэффициент. В этом случае добавление этого слагае-

мого к уравнению собственных колебаний типа (4.1.4)

приводит к выражению

md2x

+

r dx

+ kx = 0 .

(4.2.1)

dt2

dt

Это уравнение затухающих механических колебаний.

Для электрических колебаний в контуре при отличном от нуля сопротив-

лением R согласно второму правилу Кирхгофа

UC + UR = εS

или

q

+ iR = −

L di

, т.к.

i = dq ,

то

Ld2q

С

dt

dt

+

R dq

+

q

= 0

(4.2.2)

dt2

dt

C

Уравнения (24.1) и (24.2)

легко привести к одному виду:

d2x

+ 2β dx

+ ω02x = 0

(4.2.3)

dt2

dt

β =

r

,

ω02 =

k

;

(4.2.4)

2m

m

для электрических колебаний

β =

R

,

ω02 =

1

.

(4.2.5)

2L

LC

Решение такого уравнения будет

x(t) = A0e−βt cos(ωt + ϕ0 ),

(4.2.6)

где

А0

и ϕ0 – начальные амплитуда и фаза,

ω − частота затухающих ко-

лебаний, равная

ω =

ω2

−β2 .

(4.2.7)

0

Как видно, частота затухающих колебаний

x

e

−β t

меньше, чем у свободных, а период

T =

2π

−

ω

больше. Величина A = A0 e−βt есть амплитуда

t

затухающего колебания, убывающая со време-

нем по экспоненциальному закону (рис. 4.2.1).

Рис. 4.2.1

период A(t)

и A(t + T) видим, что

A(t)

= e−β t = const для данного колебания. Величина

A(t + T)

δ = ln e−βt = βT

(4.2.8)

называется логарифмическим декрементом затухания.

Она характеризует

скорость уменьшения амплитуды.

Затухание можно характеризовать также временем τ,

за которое амплиту-

τ = 1

(4.2.9)

β

Сравнивая это выражение с (4.2.8), находим, что

δ = T =

1

, где N

–

τ

Ne

e

число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в

е раз. Для характери-

Q =

2π

энергия, накопленная в системе

.

(4.2.10)

энергия, теряемая за один период

Вычислим для примера добротность колебательного контура. Энергия ко-

Li02

2

1

лебаний

W =

,

выделение тепла за период равно

W = iЭФRT =

2

i0RT .

2

Поэтому

Q =

2πL

. Обычно

в

колебательном контуре затухание

мало:

RT

1

R ВОЛН

β

2

2

. Поэтому

T ≈ 2π LC

и

Q =

=

.

<< ω0

L / C

R

R

Добротности важнейших колебательных систем, описываемых уравнений

типа (4.2.3) имеют следующий порядок величин:

обычный колебательный контур (радиочастоты)102

104

камертон

107

электрон в атоме

зывают резонансом,

а соответствующую частоту – резонансной,

ΩР. Ее нахо-

дят из условия

dA(Ω)

=

0,

отсюда

ΩP =

ω02 − 2β2 .(4.2.16)

dΩ

Как видно, с увеличением сопротивления среды уменьшается

ΩP и Amax.

В большинстве случаев

β2 << ω02 ,

поэтому часто резонансная частота нахо-

дится вблизи

частоты собственных

колеба-

R1<R2<R3

ний: ΩP ≈ ω0 .

Такие колебания называют

i0

резонансными. Резонансные колебания мож-

R1

но установить и в цепи колебательного кон-

тура. Для этого на него надо подействовать

R2

извне периодической ЭДС ε = ε0 cosΩt . При

этом в контуре возбуждаются вынужденные

R3

электрические колебания. Присоединенный к

контуру внешний источник (рис. 4.2.3) со-

вершает положительную работу за один пе-

ω0

Ω

риод, которая равна потере энергии контура

Рис. 4.2.4

за то же время. По закону Кирхгофа для дан-

ного случая UC + UR = εS + ε,

что приводит

к уравнению вынужденных электрических колебаний:

d2q

+ 2β dq

+ ω02q = E0 cosΩt ,

(4.2.17)

dt2

dt

где

R

1

ε0

β =

,

2

,

E0

=

.

(4.2.18)

2L

ω0 =

LC

L

внешней ЭДС,

который можно получить из (24.14), (24.15) и (24.18):

i0 =

ε0

(4.2.19)

1

2

2

R

+ LΩ −

ΩC

tg ϕ = LΩ − (1/ CΩ).

(4.2.20)

R

1

Амплитуда тока достигает максимального значения при

Lω =

или

CΩ

1

ε0

Ω =

= ω0 ,

при этом

i0

=

. Равенство частоты внешней

ЭДС

и собст-

LC

R