−
1.3.РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
1.3.1.Работа
Количественной характеристикой процесса взаимодействия тел является работа, совершаемая силой A.
Работа есть скалярная величина, равная произведению проекции силы (на
направление перемещения) на величину перемещения точки приложения силы |
||
A = FScosα = FSS = (FS), |
(1.3.1) |
|
где α − угол между направлением силы и перемещением. Если |
α < 900, |
|
то сила совершает положительную работу (A > 0), |
если α > 900, то |
A < 0; |
при α = 900 сила работы не совершает, она лишь искривляет траекторию тела. Если работа совершается переменной силой F = F(S), то для элементарно-
го перемещения dS dA = FSdS, а для всего пути
S |
|
A = ∫FSdS. |
(1.3.2) |
0 |
|
Вычислим для примера работу, совершае- h мую силой тяжести при движении тела по наклонной плоскости (рис. 1.3.1):
S S
A = ∫FSdS = ∫mg sin αdS = mgS sin α = mgh ,
|
N |
|
|
FS = mg sinα |
|
mg |
α |
S |
|
||
|
|
|
|
Рис. 1.3.1 |
|
0 0
где h – высота наклонной плоскости. Как видно, работа силы тяжести не зависит от длины пути, а зависит от начального и конечного положений тела. Можно показать, что такой же результат получается для любой криволинейной
траектории. Таким же свойством обладает и сила упругости.
Силы, обладающие указанным свойством, называются консервативными
или потенциальными.
Для таких сил работа по любому замкнутому контуру равна нулю, или
∫ FSdS = 0 . |
(1.3.3) |
S |
|
Это и есть условие потенциального характера силы.
Работа, совершаемая за единицу времени, называется мощностью N
N = dAdt .
1.3.2. Энергия
Врезультате совершения работы в окружающих телах происходят определенные изменения – переход одних форм движения материи в другие. Общей
количественной мерой различных форм движения материи является физическая величина, которую называют энергией W.
Вфизике соответственно различным физическим процессам и взаимодействиям различают механическую энергию, тепловую, электромагнитную, ядерную и т.д.
−
Энергия может быть выражена через величины, характеризующие строение и состояние тела. Она является функцией его состояния. Изменение со-
стояния тела, например, его движение, приводит к изменению его энергии, а
сам процесс изменения есть результат работы, совершаемой силой, поэтому изменение энергии тела или системы тел определяется работой, совершенной приложенными к телу силами:
W = A . |
(1.3.4) |
Механическая энергия состоит из двух величин – кинетической энергии |
|
WK – энергии движения и потенциальной энергии WР |
энергии взаимодействия |
между телами: |
|
W = WK + WР. |
(1.3.5) |
1.3.3. Кинетическая и потенциальная энергии
Чтобы получить выражение для кинетической энергии, подсчитаем работу силы, необходимую для изменения скорости тела от V1 до V2:
dA = F dS = m dV Vdt = mVdV |
|
|||||
S |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
V2 |
|
mV2 |
|
mV2 |
||
|
|
|
||||
A = ∫ mVdV = |
|
2 |
− |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
||||
V1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Итак, совершенная силой работа равна приращению кинетической энергии тела:
A = |
W |
= W |
−W , где |
W |
= |
mV2 |
. |
(1.3.6) |
|
||||||||
|
K |
K2 |
K1 |
K |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потенциальная энергия обусловлена характером взаимодействия между тела-
ми, их взаимным расположением. Поэтому вид формулы для потенциальной
энергии зависит от конкретного вида силы.
Так, работа силы тяжести, необходимая для изменения положения тела относительно Земли, равна
A = mgh = mgh1 − mgh2 ,
где h1 и h2 – начальная и конечная высоты тела относительно Земли. Эта
работа равна изменению потенциальной энергии тела:
A = − WP = WP1 − WP2 ,
т.е. совершенная силой работа равна убыли потенциальной энергии тела. Т.к.
A = F S, то |
F |
= − |
WP |
или F |
= − |
dWP |
. |
(1.3.7) |
|
|
|||||||
S |
S |
S |
S |
dS |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Эта формула, связывающая между собой силу, перемещение тела и соответствующее этому изменение его потенциальной энергии, дает возможность вычис-
лить потенциальную энергию в отдельном случае.
Вычислим, |
например, потенциальную |
энергию |
силы тяготения |
|||||
F = γ |
m1m2 |
. Из (1.3.7) находим dW = −γ |
m1m2 |
и W |
(r)= γ |
m1m2 |
+const . |
|
|
|
|
||||||
|
r2 |
P |
r2 |
P |
r |
|
||
|
|
|
|
|
||||
−
Const − есть так называемый нулевой уровень потенциальной энергии, который обычно выбирается из условия WP (r)r →∞ = 0 , тогда const = 0 и
WP (r)= γ m1rm2 .
1.3.4. Закон сохранения механической энергии
В изолированной системе кроме полного импульса сохраняющейся величиной является и полная механическая энергия. Так, для двух взаимодействующих материальных точек уравнения движения будут
m |
|
dV1 |
= F ; |
m |
|
= |
dV2 |
|
= F |
|
(1.3.8) |
|
|
|
|
dt |
|
|
|||||||
|
1 |
dt |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
dS1 = V1dt; |
|||
Под |
действием |
сил |
|
точки совершают перемещения |
||||||||
dS2 = V2dt. |
|
Умножив каждое из уравнений |
(1.3.8) на соответствующее пере- |
|||||||||
мещение, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m1V1dV1 − F1dS1 = 0, m2V2dV2 − F2dS2 = 0 ; |
|
|||||||||||
сложив их, получим |
(F1dS1 + F2dS2 )= 0 , |
|
||||||||||
(m1V1dV1 + m2V2dV2 )− |
(1.3.9) |
|||||||||||
т.к. mVdV = dWK ; FdS = dA = −dWP , |
то вместо (1.3.9) имеем |
|||||||||||
(dWK1 + dWK2) + (dWP1 + dWP2)= 0 или |
dWK + dWP = 0, |
|
||||||||||
где |
dWK и |
dWP – изменение кинетической и потенциальной энергии всех |
||||||||||
тел системы. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dW = d(WK + WP )= 0, |
|
W = WK + WP = const . |
(1.3.10) |
|||||||||
¾Полная энергия изолированной системы есть величина постоянная. Это и есть формулировка закона сохранения энергии.
1.3.5.Удар абсолютно упругих и неупругих тел
Под ударом понимают кратковременное взаимодействие соударяющихся тел, в результате которого их скорости изменяются на конечную величину.
Прямая, проходящая через точку соприкосновения обоих тел, называется линией удара (рис. 1.3.2). Если она проходит через центры масс тел, то удар центральный. Отношение относительных скоростей шаров после удара U к скорости их V до удара называют коэффициентом восстановления
ε = |
U2 |
− U1 |
. |
А |
В |
V − V |
|
|
|||
2 |
1 |
|
|
|
|
Если ε = 0, |
то удар абсолютно неупругий, если |
ε = 1, |
|
||
то удар абсолютно упругий. |
|
Рис. 1.3.2 |
|||
При абсолютно неупругом ударе часть механиче- |
|
||||
ской энергии тел переходит в другие формы энергии(например, в тепловую). В этом случае выполняется лишь закон сохранения импульса, на основании которого и находим скорость шаров после столкновения:
m V |
+ m |
V |
= (m |
+ m |
)U U = m1V1 + m2V2 . |
(1.3.11) |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|