Первая и вторая матрицы инциденций
При расчете установившихся режимов электрические схемы наиболее удобно представлять в виде матриц инциденций.
Первая матрица
инциденций , называется также матрицей
соединений, обозначается
.
Показывает взаимосвязь между узлами и
ветвями исходного графа. Матрица
прямоугольная матрица число строк
которой определяется числом узлов сети,
а число столбцов числом ветвей. Элементы
матрицы
могут принимать одно из трех значений
Здесь
-
ветви соответствующего графа схемы
замещения,
-
узлы соответствующего графа схемы
замещения. Для графа представленного
на рис.1 первая матрица инциденций будет
выглядеть следующим образом:
.
Условием правильности заполнения матрицы является наличие в каждом столбце только одной 1 со знаком «+» и только одной 1 со знаком «-». Это обусловлено тем, что любая ветвь всегда исходит из одного узла и всегда входит в один узел. Таким образом, сумма всех элементов в первой матрице инциденций равна нулю.
Если в матрице выделить строку, соответствующую некоторому узлу, принятому за балансирующий узел, то матрица без последней строки называется матрицей соединений без балансирующего узла и обозначается .
Вторая матрица
инциденций называется также матрицей
контуров и обозначается
.
Она связывает ветви и независимые
контуры соответствующего графа схемы
замещения. Для составления матрицы
нужно определить число независимых
контуров схемы. Это число определяется
по формуле
,
где
-
число независимых контуров,
-
число ветвей,
число
узлов.
Строки матрицы соответствуют независимым контурам схемы, столбцы ветвям. Элементы матрицы определяются по следующим правилам
Вторая
матрица инциденций для графа на рис.1
имеет вид:
.
Матричная форма записи уравнений состояния электрической сети
Целью расчета установившегося режима является определение мощностей и токов в ветвях схемы замещения и напряжений в узлах.
Исходными данными
о нагрузках потребителей обычно служат
значения мощностей
,
которые принимаются постоянными, или
как функции напряжения узлов. Исходными
данными об источниках питания служат
постоянные значения активных и реактивных
мощностей или значения активной мощности
и напряжения в точках их подключения.
Один из источников питания, обычно самый мощный, играет роль балансирующего узла, для него задается базисное напряжение. Для решения поставленной задачи, т.е. для определения напряжений в узлах, токов и мощностей в ветвях схемы могут быть использованы различные формы уравнений состояния: обобщенное уравнение состояния, уравнения узловых напряжений, уравнения контурных токов.
Обобщенное уравнение состояния
Обобщенное уравнение состояния для схемы произвольной конфигурации имеет вид
(1)
Матричная форма
записи уравнения, где
матрица параметров схемы замещения,
где
вектор-
столбец токов в ветвях,
-
число ветвей в схеме замещения,
-
вектор- столбец исходных параметров
режима.
Уравнение (1) объединяет два матричных уравнения.
Уравнение по первому закону Кирхгофа
.
Уравнение по второму закону Кирхгофа
,
где
матрица размерностью
матрица соединений ветвей в узлах ( без
балансирующего узла), здесь
-
число узлов схемы замещения,
-
число ветвей,
-
матрица размерностью
,
матрица соединений ветвей в независимые
контуры,
-
число независимых контуров.
диагональная
матрица сопротивлений ветвей.
-
вектор-столбец задающих токов в узлах.
-
вектор-столбец контурных ЭДС ветвей,
входящих в каждый независимый контур.
Матрицы
и
можно рассматривать как блоки одной
объединенной матрицы параметров схемы
замещения
,
а вектор–столбцы
и
как блоки одной объединенной матрицы
исходных параметров режима
.
Для формирования
обобщенного уравнения состояния (1)
необходимо предварительно определить
матрицы инциденций
и
,
которые в аналитическом виде отображают
конфигурацию схемы замещения электрической
сети. Матрица
обобщенного уравнения состояния является
квадратной матрицей порядка
.
Тогда из уравнения (1) используя метод
обратной матрицы можно сразу определить
токи в ветвях
При известных токах в ветвях можно определить напряжения в узлах. Для этого сначала по закону Ома определяем падение напряжения в ветвях схемы
.
Если
ЭДС в ветвях отсутствует
,
то закон Ома принимает вид
Затем из уравнения
определяем напряжения в узлах схемы
замещения. Здесь матрица
представляет собой напряжения узлов
относительно базисного
.
Покажем применение описанной методики на примере решения следующих задач.
При расчетах режимов электрических сетей могут иметь место два случая:
схема замещения электрической сети не содержит замкнутых контуров,
схема замещения электрической сети содержит замкнутые контуры.
Первая из рассмотренных ниже задач посвящена расчету установившегося режима электрической сети, не содержащей замкнутых контуров, вторая расчету установившегося режима для сетей, содержащих замкнутые контуры.
Пример.
Рис. 2
Для схемы,
представленной на рис.2 найти токи в
ветвях разомкнутой электрической сети,
используя матричную форму записи 1-го
закона Кирхгофа. Токи нагрузки узлов
равны
.
Матрица задающих токов принимает вид
Матрица задающих
токов равна матрице токов нагрузок,
взятой с противоположным знаком. Выберем
в качестве балансирующего узла
узел. Обозначим через
первую матрицу инциденций без
балансирующего узла.
Из обобщенного
уравнения состояния
