![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •4.1. Метод деления отрезка пополам………………………………..36
- •4.2. Метод Ньютона…………………………………………………..38
- •Программа курса
- •Общие положения о курсовой работе
- •Методические указания по выполнению курсовой работы
- •Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов.
- •1.1 Представление синусоидального тока комплексными величинами
- •1.2 Матричная алгебра
- •1.3 Определитель матрицы и его свойства
- •Основные свойства определителей матрицы
- •Вычисление определителя матрицы путем разложения по элементам строки или столбца
- •1.4 Вычисление обратной матрицы
- •Решение задач линейной алгебры в системе matlab
- •Индивидуальные задания
- •Содержание соответствующего раздела в пояснительной записке
- •2. Расчет установившихся режимов электрических систем
- •Первая и вторая матрицы инциденций
- •Матричная форма записи уравнений состояния электрической сети
- •Обобщенное уравнение состояния
- •Индивидуальные задания
- •Содержание соответствующего раздела в пояснительной записке
- •Индивидуальные задания
- •Содержание соответствующего раздела в пояснительной записке
- •Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •3.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •3.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений в системе matlab Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса
- •Индивидуальные задания
- •Содержание соответствующего раздела в пояснительной записке
- •4. Приближенные методы решения нелинейных алгебраических уравнений
- •Метод деления отрезка пополам
- •Метод Ньютона
- •Метод простой итерации
- •Решение нелинейных алгебраических уравнений в системе matlab
- •Индивидуальные задания
- •Содержание соответствующего раздела в пояснительной записке
- •Применение вероятностно – статистических методов в задачах электроснабжения
- •5.1 Основные определения
- •Свойства вероятности
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Принцип равных возможностей
- •5.2 Прогнозирование уровня электропотребления на промышленном предприятии
- •5.3 Вычисление числовых характеристик случайных величин в системе matlab
- •Для статистической обработки в matlab-е имеются две основные функции для вычисления ковариации и коэффициентов корреляции:
- •Индивидуальные задания
- •Содержание соответствующего раздела в пояснительной записке
- •Библиографический список
Содержание соответствующего раздела в пояснительной записке
Данный раздел должен содержать:
краткие теоретические сведения,
первую и вторую матрицы инциденций,
обобщенное уравнение состояния,
решение матричного уравнения состояния двумя способами (методом обратной матрицы, методом Гаусса),
решение матричного уравнения состояния методом Крамера в системе MATLAB,
сравнение полученных промежуточных результатов, найденных разными способами,
вычисление узловых напряжений аналитически,
нахождение узловых напряжений с помощью MATLAB- программы,
сравнение полученных результатов, найденных разными способами.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две группы :
точные методы;
методы последовательных приближений.
С помощью точных методов, проделав конечное число операций, можно получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления проводятся без округлений. К точным методам решения систем линейных алгебраических уравнений относятся такие методы как метод обратной матрицы, метод Крамера (определителей), метод Гаусса и др.
Точные методы
решения систем линейных алгебраических
уравнений применяют для решения систем
относительно небольшой размерности
(до
).
Привлекательными в методах последовательных
приближений является их самоисправляемость
и простота реализации на ПК. Для начала
вычислений требуется задание начальных
приближений для искомых неизвестных.
К числу методов последовательных
приближений относятся: метод простой
итерации, метод Зейделя, метод релаксации
и др.
Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Решить систему линейных алгебраических уравнений - значит определить, является ли она совместной или нет. В случае если система совместна, нужно найти ее решение.
Для определения совместности системы можно использовать теорему Кронекера - Капелли, смысл которой состоит в следующем: для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы был равен рангу ее расширенной матрицы коэффициентов.
3.1 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
В электроэнергетических задачах наибольшее распространение получил метод последовательных исключений Гаусса. Он относится к классу точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход метода и обратный ход. На первом этапе (прямой ход) система приводится к треугольному виду, на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой треугольной системы.
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений - го порядка.
(2)
Будем считать, что
коэффициент
,
который называют ведущим элементом
первого шага, отличен от нуля (в случае,
если
,
нужно поменять местами первое уравнение
с
-
тым уравнением, в котором
).
Разделим теперь почленно первое уравнение
системы на коэффициент
.
Введем множители
.
Прибавим теперь
к каждому
-
тому уравнению системы первое уравнение,
умноженное на
.
Проделав эту операцию, мы исключим
неизвестное
из всех уравнений, начиная со второго.
Преобразованная система примет вид:
(3)
Здесь индекс
означает новые значения коэффициентов
и правых частей, которые получаются
после выполнения первого шага прямого
хода метода Гаусса.
Переходя, к
выполнению второго шага прямого хода
метода Гаусса предположим, что элемент
,
который называют ведущим элементом
второго шага, не равен нулю. Разделим
второе уравнение на коэффициент
.
Введем множители
Прибавим к
-тому
уравнению системы (3),
второе уравнение, умноженное на
,
в результате исключим неизвестное
из всех уравнений , кроме первых двух.
Проведя далее аналогичные преобразования, после - го шага придем к треугольной системе вида :
(4)
Второй этап –
обратный ход метода Гаусса реализуется
следующим образом. Из последнего
уравнения системы (4) определяем
.
По найденному значению
из
-
го уравнения определяем неизвестное
.
Затем по значениям
и
из
-
го уравнения находим
и т.д. Последовательное вычисление
неизвестных продолжается до тех пор,
пока из первого уравнения системы (4) не
определим
.
На этом процесс решения заканчивается.
Отметим некоторые специфические особенности изложенного метода Гаусса, характерные для ЭЭС. Основная из них заключается в погрешностях вычислений в результате округления чисел по причине конечной длины разрядной сетки ПК. Погрешности зависят в основном от величины ведущего элемента. На шаге исключения, прямого хода метода Гаусса погрешности возрастают, если ведущий элемент мал по сравнению с другими коэффициентами соответствующего столбца матрицы коэффициентов . Поэтому с целью снижения погрешностей вычислений производят специальный выбор ведущего элемента – перестановкой уравнений добиваются того, чтобы на данном шаге исключения в качестве ведущего элемента оказался наибольший коэффициент уравнения.
Пример: для заданной системы линейных алгебраических уравнений найти решение методом Гаусса.
В начале исследуем заданную систему на совместность. Для этого вычислим ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной матрицы коэффициентов. Для этого воспользуемся системой MATLAB.
>> A=[2, -1, 1, -1;2, -1, 0,-3;3 -1, 1, 1;1, 2, -4, 5]; rank(A)
ans =
4
>> A1=[2, -1, 1, -1, 1; 2 ,- 1, 0,- 3,5;3,-1, 1, 1, -3;1, 2, -4, 5, -6]; rank(A1)
ans =
4
Получили, что ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы коэффициентов, отсюда следует, что система совместна и имеет единственное решение (ранги матриц равны порядку системы).
Проведем преобразования по прямому ходу метода Гаусса
На главной диагонали, преобразованной матрицы коэффициентов, стоят 1. Теперь проведем преобразования в соответствии с обратным ходом метода Гаусса.
Из последнего
уравнения системы определяем
.
Из предпоследнего уравнения находим
.
Проведя аналогичные вычисления, получаем
В результате получаем вектор-столбец искомых неизвестных