Глава 1 Основные положения начертательной геометрии

1.1. Предмет начертательной геометрии

Изображение пространственного объекта путем проведения линий на плоскости называют чертежом. Теоретической основой для создания чертежа и восприятия содержащейся в нем информации является начертательная геометрия.

Начертательная геометрия – один из разделов геометрии, в котором рассматриваются две основные проблемы:

как геометрический объект, реально или мысленно существующий в пространстве, отобразить на плоскости и

как по существующим плоским изображениям представить действительный геометрический объект.

Под геометрическим объектом (фигурой) понимается некоторое множество точек, объединенных между собой определенными условиями. Для того, чтобы отобразить весь геометрический объект (все множество), необходимо отобразить каждую из точек его составляющих (каждый элемент множества). Способ, который используют в начертательной геометрии для изображения геометрического множества или его элемента на плоскости, носит название метода проецирования, а результат этого действия называют проекцией множества или его элемента.

1.2. Прямоугольное проецирование на две и три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, образование чертежа

Одним из приемов отображения геометрического объекта на плоскости является способ прямоугольного проецирования. Пусть в пространстве имеется некоторая точка А (рис. 1.1) и плоскость Р (плоскость проекций). Для получения отображения (проекции) точки А на плоскость необходимо провести из нее проецирующий луч перпендикулярно к плоскости Р. Точка a₀, в которой проецирующий луч пересекает плоскость проекций, является проекцией точки А на плоскость Р.

О днако, если прямую задачу – отобразить на плоскости геометрический объект, находящийся в пространстве, – решить вполне возможно, то решение обратной задачи – по заданной проекции точки однозначно определить ее положение в пространстве – оказывается невозможным: располагая проекцией a₀ на плоскости P можно лишь реконструировать проецирующий луч, каждая точка которого будет иметь проекцию a₀. Это недостаток можно преодолеть, если около точки a₀ указать удаление точки А от плоскости проекций P. Такой способ определения положения объекта в пространстве носит название метода проекций с числовыми отметками и широко используется, например, при составлении географических карт для изображение рельефа местности. Но он совершенно неприменим для создания и восприятия чертежа сколько-нибудь сложной машиностроительной детали.

Прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Современные правила и приемы построения плоских изображений пространственных форм были систематизированы и развиты французским ученым Гаспаром Монжем (1746 – 1818).

В трудах, опубликованных Г.Монжем в 1799 году, предлагалось использовать систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (рис. 1.2 а). Одна из них (Н) расположена горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций, а вторая (V) расположена вертикально и называется фронтальной плоскостью проекций. Линия пересечения плоскостей Н и V называется осью проекций (x).

а б в

Рис. 1.2

Ось делит каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости. Две взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на четыре четверти. Пространство, ограниченное передней полуплоскостью Н и верхней полуплоскостью V, принимают за I четверть, пространство между верхней полуплоскостью V и задней полуплоскостью Н называют П четвертью. Пространство между задней полуплоскостью Н и нижней полуплоскостью V – III четверть и пространство между нижней полуплоскостью V и передней полуплоскостью Н – IV четверть.

Для получения проекций точки А в системе V,Н следует осуществить прямоугольное проецирование на каждую из плоскостей проекций. Пересечение проецирующего луча с плоскостью Н определит положение горизонтальной проекции a точки А, а пересечение проецирующего луча с плоскостью V даст фронтальную проекцию a’ точки А.

Полученные таким образом изображения позволяют, располагая только проекциями точки, определить положение самой точки в пространстве. Действительно, если восставить перпендикуляр в точке a к горизонтальной плоскости проекции, а в точке a’ – к фронтальной плоскости проекций, то пресечение этих перпендикуляров определит положение точки А в данной системе плоскостей проекций. Мы пришли к очень важному выводу: две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

Однако пользоваться изображениями геометрического объекта, полученными на двух взаимно перпендикулярных плоскостях, было бы весьма затруднительным, поэтому следующей задачей является переход к такому изображению, где бы обе проекции располагались на одной и той же плоскости. Для этого отметим несколько закономерностей (см. рис. 1.2 а). Отрезок Aa, перпендикулярный к плоскости H, и отрезок Aa’, перпендикулярный к плоскости V, определяют плоскость Q, перпендикулярную к каждой из плоскостей проекций и, следовательно, перпендикулярную к линии пересечения плоскостей проекций – оси x. Поскольку ось x перпендикулярна к плоскости Q, то она должна быть перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе к прямым aa_x и a’a_x, представляющими линии пересечения плоскости Q с соответствующими плоскостями проекций. Таким образом, фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на прямых, перпендикулярных к оси проекций x и пересекающих ее в одной и той же точке.

Для получения изображений на плоскости горизонтальную и фронтальную плоскости проекций совмещают. При этом фронтальная плоскость проекций остается неподвижной, а горизонтальную плоскость проекций поворачивают вокруг оси x так, что передняя полуплоскость Н опускается. (Обратим внимание: задняя полуплоскость Н при этом поднимается.) После совмещения плоскостей V и Н получим чертеж, показанный на рис. 1.2 б. Заметим, что фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на одной прямой, перпендикулярной к оси x. Прямая a’a называется линией связи. На рис. 1.2 б прямоугольники, имитирующие плоскости V и Н, оставлены для наглядности. В действительности чертеж точки в системе V,H имеет вид, показанный на рис. 1.2 в.

Обратим самое серьезное внимание на то, что на чертеже, как правило, сам геометрический объект отсутствует, а имеются лишь отображения этого объекта на плоскостях проекций. Так на рис. 1.2 в точка А отсутствует, а имеются лишь горизонтальная a и фронтальная a’ проекции этой точки.