1.8. Кривые линии и поверхности Общие сведения

Существует несколько представлений о кривой линии как геометрической фигуре. Одно из них базируется на кинематической модели, согласно которой кривая линия есть траектория (все последовательные положения) перемещающейся точки.

Если перемещение точки происходит в одной и той же плоскости, то траектории движения точки представляют собой плоские кривые (эллипс, парабола, синусоида и др.). Во всех других случаях образуются пространственные кривые, примерами которых могут служить цилиндрические и конические винтовые линии.

Если движение точки подчиняется определенному закону, то траектория ее движения представляет собой закономерную кривую. В противном случае кривые называют незакономерными или случайными. Если закономерные кривые могут быть описаны алгебраическими уравнениями, то такие кривые называют алгебраическими: окружность, гипербола и др.

Д ля того, чтобы получить проекцию кривой на некоторую плоскость Р (рис. 1.36), необходимо спроецировать каждую точку кривой. Практически проецирование точек кривой осуществляют с некоторым шагом, величина которого зависит от конкретной ситуации. Выбрав на кривой точки А, В, С ... и построив их проекции a_p, b_p, c_p ..., соединяют последние плавной кривой и получают проекцию кривой на плоскость Р.

Возьмем на кривой точку К и несовпадающую с ней точку М₁. Проведя прямую КМ₁, получим некоторую секущую. Если точку К оставить неподвижной, а точку М начать перемещать по кривой в сторону точки К, то положение секущей начнет изменяться: из положения КМ₁ она перейдет в положение КМ₂, и при дальнейшем приближении точки М к точке К секущая будет изменять свое положение, вращаясь вокруг точки К. Предельное положение секущей, при котором точка М совпадет с точкой К, называется касательной к кривой в данной точке. Следует отметить, что проекция k_pl_p касательной KL к пространственной кривой является в общем случае касательной к проекции кривой.

Одним из возможных представлений о криволинейной поверхности является кинематическая модель, согласно которой поверхность рассматривается как все последовательные положения движущейся в пространстве линии.

Если движение линии происходит по какому-либо закону, то возникающую поверхность рассматривают как закономерную, в противном случае поверхность считают незакономерной или случайной. Поверхности, которые могут быть описаны алгебраическим уравнением, называют алгебраическими. Примерами алгебраических поверхностей могут служить поверхности цилиндра, конуса, сферы и др.

В начертательной геометрии закон образования поверхности задают графически, при этом геометрические образы удобно условно разделять по их функциональному назначению. Пусть, например, некоторая поверхность образуется перемещением линии l⁰ (рис. 1.37) из положения l⁰₁ в положение l⁰₅, и пусть это перемещение обусловлено какими-то не рассматриваемыми здесь условиями, одно из которых состоит в том, что во всех своих положениях линия l⁰ должна проходить через все точки некоторой линии t⁰.

Линию (l⁰), производящую поверхность в каждом своем положении, называют образующей.

Линию (t⁰), задающую закон перемещения образующей, называют направляющей.

Поверхности, которые могут быть образованы перемещением прямолинейной образующей, называют линейчатыми. Все другие поверхности называют нелинейчатыми.