Использование способов преобразования чертежа

Иногда, определяя точки пересечения прямой линии с кривой поверхностью и избегая построения лекальных кривых, целесообразно использовать способы преобразования чертежа.

П усть необходимо определить проекции точек пересечения прямой АВ (рис. 1.57) со сферой с центром в точке О.

В соответствии с п. 1 алгоритма заключим прямую АВ в горизонтально-проецирующую плоскость Т. Далее (см. п. 2) следует строить проекции линии пересечения плоскости Т со сферой. Плоскость пересекает сферу по окружности, горизонтальная проекция которой представляет отрезок прямой, а фронтальная – эллипс, построение которого достаточно трудоемко. Подобные трудности возникли бы и в случае заключения прямой во фронтально-проецирующую плоскость.

Однако построения эллипса можно избежать, если от заданной системы плоскостей проекций V,H перейти к новой системе плоскостей проекций H,S, введя плоскость S параллельно плоскости Т. Тогда окружность от пересечения плоскости Т со сферой спроецируется на плоскость S без искажения.

При построении проекции окружности, располагающейся в плоскости Т, следует учесть, что центр С этой окружности является основанием перпендикуляра, опущенного из точки О на плоскость Т. Поскольку плоскость Т перпендикулярна к плоскости Н, то перпендикуляр к плоскости Т параллелен горизонтальной плоскости проекций.

После построения на плоскость S проекций окружности с центром в точке С и прямой АВ можно определить проекции m_1s и m_2s точек пересечения прямой со сферой. Горизонтальные и фронтальные проекции точек М₁ и М₂ располагаются на соответствующих проекциях прямой АВ.

Видимость прямой относительно плоскостей проекций определяется видимостью точек пересечения прямой со сферой. Точка М₁ лежит перед плоскостью главного меридиана, а точка М₂ – за ней. Поэтому точка М₁ на фронтальной проекции видна, а точка М₂ – не видна. Точка М₁ располагается выше экватора сферы, поэтому на горизонтальной плоскости проекций точка М₁ видна. Точка М₂, находящаяся ниже экватора, относительно плоскости Н не видна.

Р ассмотрим еще один пример. Пусть задана прямая АВ (рис. 1.58) и торовая поверхность с осью О₁О₂. Требуется построить проекции точек пересечения прямой с тором.

Анализируя условия задачи, можно заметить, что ось тора перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, а прямая АВ пересекает ось О₁О₂ в точке В. Поэтому из возможных вариантов заключения прямой в плоскость предпочтительным является введение фронтально-проецирующей плоскости Т. В этом случае плоскость Т, проходящая через ось О₁О₂, рассекает тор по окружности с центром в точке С. Однако и в этом случае при построении проекций линии пересечения плоскости Т с тором пришлось бы на горизонтальной проекции выстраивать эллипс.

Построения эллипса можно избежать, если плоскость Т с находящимися в ней прямой и окружностью повернуть вокруг оси О₁О₂ в горизонтальное положение. При этом прямая АВ, точки которой будут перемещаться по окружностям во фронтальных плоскостях, займет положение А₁В. Окружность с центром в точке С при вращении вокруг оси О₁О₂ будет скользить по поверхности тора и в горизонтальном положении совпадет с окружностью нижнего основания тора – центр окружности переместится в положение С₁.

После поворота плоскости Т легко определить горизонтальные проекции m₁₁ и m₂₁ точек пересечения прямой с поверхностью тора. При возвращении прямой АВ в исходное положение горизонтальные проекции искомых точек займут положение m₁ и m_2.. Фронтальные проекции m'₁ и m'₂ находятся в проекционной связи на фронтальной проекции a'b'.

При взгляде на горизонтальную плоскость проекций точка М₁ видна, а точка М₂ не видна. Поэтому прямая будет видна на участке [AM₁] и после того как покажется из-под тора. При взгляде на фронтальную плоскость проекций видимость точек М₁ и М₂ в рассматриваемом примере не изменяется. Соответственно не изменяется и видимость прямой линии: прямая видна на участке [AM₁] и после того как покажется из-за тора.