Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Если необходимо построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью общего положения, например, прямой АВ с плоскостью Р (рис. 1.20), то следует поступить следующим образом.

1. Заключить прямую в плоскость:

(АВ) Т

2. Построить прямую, по которой вспомогательная плоскость пересекается с заданной:

Т Р = (КL).

3. Найти точку пересечения построенной прямой с заданной прямой:

(KL) (АВ) = М.

Прямая КL – прямая, по которой пересекается заданная плоскость Р со вспомогательной плоскостью Т – является общей для плоскостей Р и Т. Заданная прямая АВ и прямая KL пересекаются, т.к. лежат в одной и той же плоскости Т. При этом точка М пересечения этих прямых будет принадлежать как прямой АВ, так и плоскости Р, поскольку является одной из точек прямой KL, принадлежащей плоскости Р.

Рассмотрим реализацию изложенного плана решения подобной задачи на чертеже.

Пусть заданы прямая АВ (рис. 1.21) и плоскость треугольника CDE. Требуется построить проекции точки пересечения прямой и плоскости.

Д ействуя в точном соответствии с приведенным выше планом, заключаем прямую АВ в горизонтально-проецирующую плоскость Т, задав ее на чертеже горизонтальным следом Т_h. Строим проекции kl и k'l' прямой KL, по которой плоскость Т пересекает плоскость CDE. Пересечение фронтальных проекций a’b’ и k'l' определяет фронтальную проекцию m' точки пересечения. Горизонтальная проекция m строится из соображений принадлежности точки М прямой АВ (прямой KL, плоскости Т).

Для определения видимости прямой на различных плоскостях проекций следует рассмотреть видимость конкурирующих точек на скрещивающихся прямых. Так для определения видимости относительно горизонтальной плоскости проекций можно рассмотреть видимость точек К и 1⁰, принадлежащих соответственно прямым CD и АВ. Из взаимного положения проекций k' и 1' следует, что точка К расположена выше, чем точка 1⁰, и, следовательно, точка К (и прямая CD в этом месте) видна, а точка 1⁰ (и прямая АВ) не видна. Прямая АВ станет видна после того, как она пересечет плоскость треугольника.

Для определения видимости на фронтальной плоскости проекций можно рассмотреть видимость конкурирующих точек 2⁰ и 3⁰, расположенных соответственно на скрещивающихся прямых DE и АВ. Из взаимного расположения горизонтальных проекций 2 и 3 следует, что точка 2⁰ расположена дальше от плоскости V (и ближе к наблюдателю), чем точка 3⁰. Поэтому точка 2⁰ (и прямая DE) видна, а точка 3⁰ (и прямая АВ) не видна. Прямая АВ станет видна, когда пересечет плоскость треугольника.

Построение проекций линии пересечения двух плоскостей общего положения

Д ля построения прямой, по которой пересекаются две плоскости (рис. 1.22), например, плоскость Q, заданная параллельными прямыми АВ и СD, и плоскость Р, заданная треугольником DEF, как правило, необходимо располагать двумя точками, принадлежащими как одной плоскости, так и другой плоскости – точками общими для двух пересекающихся плоскостей. Одним из способов построения таких точек является определение точек пересечения прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Например, можно выяснить положение точки М, в которой прямая АВ пересекает плоскость Р, и положение точки N пересечения прямой CD с плоскостью Р. Полученные точки соединить прямой линией.

Рассмотрим реализацию этого пространственного плана на чертеже, где одна из плоскостей задана треугольником EFG (рис. 1.23), а другая – параллельными прямыми AB и CD. Требуется построить проекции прямой, по которой эти плоскости пересекаются.

Д ля определения точки пересечения прямой с плоскостью необходимо выполнить действия, изложенные выше. Заключим прямую CD в горизонтально-проецирующую плоскость Т₁, задав ее горизонтальным следом Т_1h. Тогда горизонтальная проекция прямой, по которой плоскость Т₁ пересекает плоскость EFG, есть прямая 1-2. Фронтальные проекции 1' и 2' точек пересечения прямых EF и EG с плоскостью Т₁ располагаются на соответствующих фронтальных проекциях прямых, и прямая 1'2' – фронтальная проекция прямой, по которой плоскость Т₁ пересекает плоскость треугольника. Пересечение прямой 1⁰2⁰ с прямой CD определяет положение точки N – точки пересечения прямой CD с плоскостью EFG.

Для построения точки пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника через прямую АВ провели горизонтально-проецирующую плоскость Т₂, задав ее горизонтальным следом Т_2h. Поскольку плоскости Т₁ и Т₂ взаимно параллельны, то плоскость EFG пересекается с ними по прямым параллельным друг другу, и направление прямой, по которой плоскость Т₂ пересекает плоскость EFG, известно заранее. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей Т₂ и EFG достаточно проекций лишь одной точки 3⁰, в которой прямая EF пересекает плоскость Т₂: направление горизонтальной проекции определено следом Т_2h, а фронтальная проекция прямой проходит через точку 3^' и параллельна уже построенной прямой 1^'2^'. Пересечение прямой, проходящей через точку 3⁰, с прямой АВ позволяет найти точку М, в которой прямая АВ пересекает плоскость треугольника. Соединив одноименные проекции точек М и N, получим проекции прямой, по которой плоскость, заданная параллельными прямыми пересекает плоскость треугольника.

При определении видимости будем считать, что плоскость, заданная параллельными прямыми АВ и СD, ограничена участком между этими прямыми, а вторая плоскость ограничена контурами треугольника. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций можно рассмотреть взаимное положение конкурирующих точек 2⁰ и 4⁰. Из расположения их фронтальных проекций 2^' и 4^' следует, что точка 4⁰ находится выше точки 2⁰, и потому на горизонтальной проекции точка 2⁰ закрыта точкой 4⁰. Следовательно, прямая CD в рассматриваемом месте видна, а прямая EG не видна – плоскость параллельных прямых закрывает часть треугольника. По другую сторону от прямой MN ситуация изменится: плоскость треугольника оказывается выше плоскости параллельных прямых и закрывает последнюю. Плоскость, заданная прямыми АВ и СD, вновь станет видна на горизонтальной проекции лишь за пределами треугольника EFG.

Для определения видимости плоскостей на фронтальной проекции взяты конкурирующие точки 5⁰ и 6⁰, принадлежащие соответственно прямым FG и АВ. Из рассмотрения взаимного положения горизонтальных проекций 5 и 6 следует, что точка 6⁰ расположена дальше от фронтальной плоскости проекций (и ближе к наблюдателю), чем точка 5⁰. Поэтому точка 6⁰ (и прямая АВ в этом месте) будет видна, а точка 5⁰, расположенная за ней, (и прямая FG) будет не видна. Плоскость параллельных прямых выше линии пересечения закрывает часть плоскости треугольника. По другую сторону от линии пересечения плоскостей видимость изменяется: плоскость параллельных прямых скрывается за плоскостью треугольника, и становится видна лишь за пределами треугольника.