Пересечение прямой линии с поверхностью многогранника

Для построения точек пересечения прямой (АВ) с поверхностью многогранника (Мн) необходимо последовательно выполнить следующие действия.

1. Заключить прямую в плоскость: (АВ) Т.

2. Построить ломаную линию, по которой вспомогательная плоскость пересекает поверхность многогранника Т  (Мн) = l⁰.

3. Определить точки пересечения построенной ломаной с заданной прямой l⁰  (АВ) = М_i.

Пусть задана пирамида SABC (рис. 1.34) и прямая DE. Требуется построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды.

В соответствии с п.1 приведенного выше алгоритма заключим прямую DE во фронтально-проеци-рующую плоскость Т, задав ее фронтальным следом Т_v. Плоскость Т пересекает пирамиду SABC по треугольнику, фронтальная проекция которого 1'2'3' очевидна. Найдя горизонтальные проекции 1, 2, 3 вершин треугольника на проекциях соответствующих ребер пирамиды и соединив их прямыми, получим горизонтальную проекцию линии пересечения пирамиды вспомогательной плоскостью. Пересечение отрезков 1-2 и 2-3 с прямой de определяет горизонтальные проекции m и n точек пересечения. Фронтальные проекции m’ и n’ располагаются на фронтальной проекции прямой DE (на фронтальных проекциях прямых 1⁰2⁰ и 2⁰3⁰, на фронтальном следе плоскости Т). Поскольку грани SAB и SBC, на которых располагаются точки М и N, видны как на горизонтальной, так и на фронтальной проекции, то на обеих проекциях прямая DE будет видна на участках (DM] и [ND).

Взаимное пересечение многогранников

При построении проекций линий взаимного пересечения многогранников используют два приема. Согласно одному из них строят проекции отрезков, по которым грани одного многогранника пересекают грани другого многогранника, т.е., по существу, несколько раз решают задачу на построение проекций линии пересечения плоскостей. Другой прием состоит в том, что находят проекции точек, в которых ребра одного многогранника пересекают грани другого многогранника, а ребра второго многогранника – грани первого, т.е. многократно решают задачу на построение проекций точек пересечения прямой с плоскостью. Покажем использование обоих способов на примере решения конкретной задачи.

Пусть заданы проекции пирамиды SABC (рис. 1.35) и фронтальная проекция призмы, ограничивающей сквозной проем в пирамиде. Грани призматического отверстия перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций. Требуется построить проекции лини пересечения пирамиды и призмы.

Рис. 1.35

Поскольку грани призмы – фронтально-проецирующие плоскости, то можно утверждать, что фронтальной проекцией линии пересечения мы уже располагаем, и остается достроить лишь горизонтальную и профильную проекции. Обозначим фронтальные проекции точек, ограничивающих звенья искомых ломаных линий. Ребра призмы перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций, поэтому точка 1' -фронтальная проекция точки пересечения ребра с гранью SAB пирамиды, а невидимая точка 1₁' – проекция точки пересечения ребра с гранью SAC. Аналогично, 5' – фронтальная проекция точки пересечения ребра призмы с гранью SAB, а 5₁' – проекция точки пересечения того же ребра с гранью SAC. 3' и 3₁' – фронтальные проекции точек пересечения третьего ребра призмы соответственно с гранями SBC и SAC. Кроме того, следует отметить проекции 2' и 4' точек пересечения ребра SB с гранями призмы. Построив недостающие проекции обозначенных точек и соединив их отрезками прямых линий, найдем проекции линии взаимного пересечения призмы и пирамиды.

Если бы горизонтальная плоскость верхней грани призмы – плоскость Р – полностью пересекала пирамиду, то последняя пересекалась бы по треугольнику, вершинами которого служили точки пресечения ребер пирамиды с плоскостью Р. Фронтальная проекция треугольника определяется точками 2', 6' и 7'. Горизонтальные проекции 6 и 7 находятся на соответствующих проекциях ребер пирамиды. Некоторые сложности представляет определение горизонтальной проекции 2 точки 2⁰, поскольку точка лежит на профильной прямой SB. Один из вариантов построения состоит в использовании профильной проекции ребра SB: после определения проекции 2" выясняется недостающая для построения горизонтальной проекции величина координаты y. Соединив точки 2, 6 и 7 прямыми, получим горизонтальную проекцию линии пересечения пирамиды плоскостью Р. В действительности, линия пересечения ограничена размерами верхней грани призмы. Определив горизонтальные проекции 1, 1₁, 3, 3₁, найдем проекции отрезков прямых, по которым верхняя грань призмы пересекает соответствующие грани пирамиды.

Ребро SB пересекает грань призмы в точке 4⁰, которая, как и точка 2⁰, располагается на профильной прямой. Однако для построения горизонтальной проекции 4 не обязательно использовать профильную проекцию, можно принять во внимание принадлежность точки 4⁰ граням пирамиды. Например, учитывая принадлежность точки 4⁰ грани SBC, можно через точку 4⁰ провести горизонталь упомянутой грани. Фронтальная проекция 4'8' горизонтали очевидна. Все горизонтали одной и той же плоскости параллельны между собой, поэтому горизонталь 4⁰8⁰ параллельна горизонтали ВС. Построив горизонтальную проекцию 8, следует через эту точку провести прямую, параллельную отрезку bc. Пересечение проведенной прямой с отрезком sb определяет положение горизонтальной проекции 4. Соединив прямой точку 4 с точкой 3, получим горизонтальную проекцию отрезка 3⁰4⁰, по которому грань призмы пересекает грань SBC пирамиды.

Горизонтальная проекция 5 построена из соображений принадлежности точки 5⁰ грани SAB. Через точку 5⁰ проведена горизонталь этой грани, по точке 9⁰ пересечения горизонтали с ребром SA построены горизонтальная проекция горизонтали, на которой располагается горизонтальная проекция 5.

Для построения точки 5₁ можно использовать соображения, аналогичные тем, что использовались для построения точки 5. Через точку 5₁⁰ следует провести горизонталь грани SAC, построить ее фронтальную 5₁'9' и горизонтальную проекции, найти горизонтальную проекцию 5₁ точки 5₁⁰. Соединив точку 5₁ с точками 1₁ и 3₁ прямыми линиями, получим горизонтальную проекцию линии пересечения призмы с гранью SAC.

Для построения горизонтальных проекций ребер призмы следует провести прямые 1-1₁, 3-3₁ и 5-5₁, соблюдая условия видимости.

Располагая фронтальной и горизонтальной проекциями каждой точки линии пересечения призмы и пирамиды, можно построить профильную проекцию линии пересечения заданных многогранников.