1. Обе поверхности представляют собой поверхности вращения, но оси их не пересекаются.

2. Одна из поверхностей представляет собой поверхность вращения, а другая не является таковой.

При этом общие условия использования сфер, сформулированные выше, должны выполняться обязательно.

П риведем некоторые соображения, которые имеют непосредственное отношение к рассматриваемому вопросу. Пусть заданы проекции горизонтальной окружности с центром в точке О (рис. 1.52). Если через точку О провести перпендикуляр к плоскости окружности, то эта прямая представляет собой множество центров сфер, которым могла бы принадлежать заданная окружность. Иными словами, если на этом перпендикуляре произвольным образом выбирать точки (С₁ или С₂), то всегда можно построить сферу (с радиусом R₁ или R₂), на которой лежала бы окружность с центром О.

Пусть необходимо построить фронтальную проекцию линии пересечения поверхностей двух торов (рис. 1.53), один из которых характеризуется диаметром D₁ и радиусом R₁, а другой – диаметром D₂ и радиусом R₂. Пересекающиеся поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии.

Последнее условие задачи и то, что обе поверхности представляют собой поверхности вращения, отвечают необходимым условиям применения сфер. Оси поверхностей торов являются скрещивающимися прямыми (ось О₁О₂ перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, а ось I₁I₂ параллельна плоскости V), и это дает возможность использовать в качестве вспомогательных поверхностей сферы с переменным центром. Наличие фронтальной плоскости симметрии пересекающихся поверхностей позволяет утверждать, что видимая и невидимая части линии пересечения будут иметь совпадающие фронтальные проекции.

Поскольку очерковые образующие поверхностей торов лежат в плоскости симметрии, то они пересекаются, и это позволяет отметить фронтальные проекции 1' и 2' точек линии пересечения.

Рис. 1.53

Выделим на торе с осью О₁О₂ некоторую окружность m⁰₁ (ее фронтальная проекция – m'₁). Напомним, что такая окружность может быть получена как результат пересечения торовой поверхности плоскостью, проходящей через ось вращения. Выделенная окружность имеет центр в точке С₁ (фронтальная проекция – c'₁). Если теперь через точку С₁ провести перпендикуляр к плоскости окружности, то, согласно ранее приведенным соображениям (см. также рис. 52), этот перпендикуляр будет представлять множество центров сфер, которые могли бы содержать окружность m⁰₁. Проведенный перпендикуляр будет находиться в общей фронтальной плоскости симметрии пересекающихся поверхностей, и потому пересечет ось I₁I₂ в точке Р₁ (фронтальная проекция – р'₁). Если из центра Р₁ провести сферу с радиусом r₁, то эта сфера пересечет тор с осью О₁О₂ как раз по окружности m⁰₁. Поскольку центр Р₁ сферы лежит на оси вращения I₁I₂ второго тора, то сфера с тором образуют соосные поверхности вращения. Эти поверхности пересекутся по окружности n⁰₁, фронтальная проекция n'₁ которой представляет собой отрезок, соединяющий точки пересечения очерков тора и сферы. Окружности m⁰₁ и n⁰₁ лежат на одной и той же сфере с центром Р₁, и потому пересекаются в двух точках, являющихся общими для обеих пересекающихся поверхностей, т.е точками искомой линии пересечения. На рис. 1.53 отмечена проекция 3' одной из точек – видимой на фронтальной проекции.

Для построения проекций других точек линии пересечения следует повторить описанные выше действия. Так на торе с осью О₁О₂ выделена новая окружность m⁰₂ с центром С₂. Из точки С₂ восставлен перпендикуляр к плоскости окружности до пересечения с осью I₁I₂ в точке Р₂. Введена сфера с радиусом r₂ и с центром Р₂, которая пересекла второй тор по окружности n⁰₂. Окружности m⁰₂ и n⁰₂ пересекаются в двух точках, проекция 4' одной из которых отмечена на чертеже.

Повторяя подобные действия и построив проекции достаточного количества точек, следует соединить их плавной кривой.

Рассмотрим еще один пример. Пусть требуется построить проекцию линии пересечения прямого кругового конуса (рис. 1.54) с диаметром основания D₁ и вершиной S₁, а также наклонного кругового конуса с вершиной S₂, имеющим в основании окружность с диаметром D₂. Пересекающиеся поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии.

Рис. 1.54

Проанализируем соблюдение необходимых условий использования сфер в качестве вспомогательных поверхностей. О наличии плоскости симметрии указывается в условии задачи. Но соблюдается и второе условие: конус с вершиной S₁ – поверхность вращения, а конус с вершиной S₂ может быть представлен как множество окружностей, плоскости которых параллельны плоскости основания, а диаметры – уменьшаются по направлению к вершине в соответствии с очерковыми образующими.

Рассматривая другие условия использования сфер, можно заметить: одна из заданных поверхностей есть поверхность вращения, а вторая – не является таковой, что указывает на возможность использования сфер с переменным центром.

Наличие фронтальной плоскости симметрии позволяет утверждать, что видимая и невидимая части линии пересечения будут иметь совпадающие фронтальные проекции.

Очерковые образующие поверхностей лежат в общей плоскости симметрии и потому пересекаются, что позволяет отметить проекции 1' и 2' точек, принадлежащих линии пересечения. Для построения других точек выделим на конусе окружность m⁰₁ (фронтальная проекция – m'₁). Такая окружность может рассматриваться как результат пересечения конуса с плоскостью, параллельной основанию. Центр О₁ (фронтальная проекция – o'₁) выделенной окружности находится на оси конуса. Если из точки O₁ восставить перпендикуляр к плоскости окружности, то, согласно приведенным выше соображениям (см. также рис. 1.52), он будет представлять множество центров сфер, которые могли бы содержать выделенную на конусе окружность. Перпендикуляр располагается в плоскости симметрии заданных поверхностей, и потому пересекает ось цилиндра в точке С₁ (фронтальная проекция – c'₁). Если из точки С₁ как из центра провести сферу с радиусом r₁ то окружность m⁰₁ можно рассматривать как линию пересечения сферы и конуса с вершиной S₂. Поскольку центр Q сферы лежит на оси вращения конуса с вершиной S₁, то сфера с этим конусом образуют соосные поверхности вращения. Такие поверхности, как известно, пересекаются по окружностям. Сфера с радиусом r₁ пересекает конус по окружности, фронтальная проекция которой – n'₁. Окружности m⁰₁ и n⁰₁ принадлежащие одной и той же сфере с радиусом r₁, пересекаются в двух точках, – фронтальная проекция 3' одной из которых указана на чертеже.

Для построения проекций других точек линии пересечения следует повторять описанные выше действия. Так на конусе с вершиной S₂ выделена окружность m⁰₂ (фронтальная проекция – m'₂) с центром О₂. Через точку О₂ проведен перпендикуляр к плоскости окружности до пересечения с осью конуса с вершиной S₁ в точке С₂ (фронтальная проекция – с'₂). Из точки С₂ описана сфера с радиусом r₂, которая пересекла конус с вершиной S₁ по двум окружностям: n⁰₂ и n⁰₃ (фронтальные проекции – n'₂ и n'₃ соответственно). Эти окружности пересекают окружность m⁰₂ в четырех точках, проекции 4' и 5' двух из которых (видимых) отмечены на чертеже.

После построения подобным образом достаточного количества проекций точек следует соединить их плавной кривой.

Используя в качестве вспомогательных поверхностей сферы с переменным центром, следует обратить внимание, что этот прием не противоречит общему порядку действий для определения линии пересечения поверхностей. Поиск центра вводимой сферы и ее радиуса должны восприниматься как некоторые предварительные действия, позволяющие использовать одну из простейших поверхностей наиболее целесообразным образом. После определения положения и размеров вспомогательной поверхности порядок действий полностью соответствует изложенному выше.