1.9. Взаимное пересечение кривых поверхностей

Две поверхности, пересекаясь, образуют некоторые линии, представляющие собой множество точек, общих как для одной, так и для другой поверхности. Задача построения линии пересечения двух заданных поверхностей состоит, таким образом, в определении точек, принадлежащих обеим поверхностям.

Р ассмотрим общий способ определения линии пересечения двух поверхностей на некотором отвлеченном примере. Пусть заданы поверхности P и Q (рис. 1.47), линию пересечения которых следует построить.

Для определения одной из общих точек необходимо ввести некоторую вспомогательную поверхность T_i, и найти линии пересечения этой поверхности с каждой из заданных. Пусть пересечение поверхности T_i с поверхностью Р дает линию n⁰_i, а с поверхностью Q – линию m⁰_i. Линия n⁰_i представляет множество точек, общих для поверхностей P и T_i. Линия m⁰_i – множество точек, общих для поверхностей Q и T_i. Поскольку линии n⁰_i и m⁰_i принадлежат одной и той же поверхности T_i, то в общем случае они пересекутся в точке L_i. Точка L_i будет принадлежать всем трем поверхностям – P, Q и T_i, а следовательно, будет являться общей для поверхностей P и Q, т.е. представлять собой одну из точек линии пересечения поверхностей P и Q. Вводя новые вспомогательные поверхности и повторяя описанные операции, можно определить сколько угодно точек линии пересечения заданных поверхностей, для окончательного построения которой остается найденные точки соединить плавной кривой.

Таким образом, для определения линии пересечения двух поверхностей в общем случае необходимо выполнить следующие действия.

1. Пересечь заданные поверхности вспомогательной: T₁.

2. Построить линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных: Т₁ Р = n⁰₁

T₁Q = m⁰₁

3. Определить точки пересечения построенных линий: n⁰₁ m⁰₁ = L_1,2...

4. Вводя новые вспомогательные поверхности и повторяя действия по п.п .1...3, построить необходимое количество точек линии пересечения заданных поверхностей: L_j ...L_n.

5. Найденные точки соединить плавной кривой: l⁰ = L₁L₂L₃...L_n

При построении линии пересечения двух поверхностей, следует стремиться к тому, чтобы вводимые вспомогательные поверхности были достаточно простыми (плоскости, сферы), а линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными были наиболее простыми (прямые, окружности).

Число точек линии пересечения, которое должно быть определено в ходе построения, зависит от условия задачи и точности, с которой выполняются построения. Как правило, для построения линии пересечения сложных кривых поверхностей приходится находить значительное количество точек. Однако при этом в первую очередь должны быть определены, так называемые, характерные точки линии пересечения: наиболее высокая и наиболее низкая, ближайшая и наиболее удаленная от наблюдателя, точки, ограничивающие видимость линии пересечения, точки касания кривой к очерку поверхности и т.п.

Общий способ построения линии пересечения двух поверхностей обладает абсолютной универсальностью и может быть применен во всех без исключения случаях.