6.Методы оценки параметров ур-ия линейной регрессии.Метод наим-х квадратов-класс-ий подход оценки параметров ур-ия лин регр.

_{Пост-ие лин регр свод-ся к оценке ее парам-ов – a и b. Оценки пар-ов лин регр могут быть найдены разными методами. Можно обратиться к полю коррел. При этом парам. а опред как точку пересечения линии регр с осью OY, а пар. b оценим исходя из угла наклона линии регрессии как dy/dx, где dy-приращение рез-та y, а dx-приращ-е фактора x,т.е.}

_{Классич подход к оцен-ию пар-ов лин регр основан на методе наименьших квадратов(МНК). Он позволяет пол-ть такие оценки пар-ов а и b, при кот-ых сумма кв откл-ий факт-их знач-й рез-ого признака Y от расчетных (теорет) минимальна:}

_{Иными словами, из всего множ-а линий линия регр на графике выбирается так, чтобы сумма кв-ов расстояний по вертикали м/у точками и этой линией была бы мин. =>}

_{Чтобы найти мин функции, надо вычислить частные производные по каждому из пар-ов а и b и приравнять их к нулю. Обазначим через S, тогда:}

₍₁₎

_{Преобразуя формулу (1), получим след систему норм ур-ий для оценки пар-ов а и b:}

_{(2). Решая сист (2) либо методом последоват-го искл-я переем-ых, либо методом опред-лей, найдем искомые оценки параметров a и b: (3). Фор-ла (3) пол-на из первого ур-ия системы(2), если все его члены разделим на n: , где cov(x;y)-ковариация признаков; -дисперсия признака x. Поскольку , получим след формулу расчета оценки параметра b: (4). Формула (4) пол-ся также при решении системы (2) методом определителей, если все Эл-ты расчета разделить на . Парам b наз-ся коэф-том регр. Его вел-на пок-ет средн изм-е рез-та с изм-ем фактора на одну ед-у.Знак b пок-ет напр связи: при b>0-связь прямая, а при b<0-связь обратная. Формально а – значение У при х=0.если признак-факт Х не имеет и не может иметь нулевого значения, то трактовка свободного члена а не имеет смысла. Пар а может не иметь эк содерж. Попытки экон-ки интерпр-ть пар а могут привести к абсурду, особенно при а<0. интерпр-ть можно знак при а.если а>0, то отн-ое изм-ие рез-та происходит медленнее, чем измен-е фактора. Иными словами, вар-я рез-та меньше вар-и фак-ра-коэф-т вар-и по фактору х выше коэф вар-и для рез-та у:Vx>Vy. Для док-ва рассм: =>a>0}

7.Примеры применения парной лин регр в эконометр иссл-ях.

_{Парная лин регр применяется при изучении функции потребления: , где С-потр-е; К и L- параметры функции; у-доход. Данное ур-ие лин регр исп-ся обычно в увязке с балансовым равенством , где I- размер инв-ций; r-сбережения. Для простоты предположим, что доход расходуется на потр-е и инв-и. Т.о. рассм-ся система ур-ий: . Наличие в данной сист балансового рав-ва накладывает ограничение на вел-ну коэф-та регр,которая не может быть ед-цы, т.е. К< либо=1.}

_{Предположим, что функция потребления составила: . Коэф-т регр хар-ет склонность к потр-ию. Он пок-ет, что из каждой тыс дохода на потр-ие расх-ся в средн 650р, а 350р инвест-ся. Если рассчитать регр размера инвестиций от дохода, т.е. , то ур-ие регр сост-ит: . Это ур-ие можно не опред-ть, т.к. оно выводится из функции потрб. Коэф-ты регр данных двух ур-ий связаны равенством 0,65+0,35=1. Если коэф-т больше 1, то , т.е. на потр-е расход-ся не только доходы, но и сбережения. Коэф-т регр в функции примен-ся для расчета мультипл-ра m: , где b-коэф-т регр в функции полребл(вел-на К). в нашем примере m=1/(1-0,65)=2,86. это озн-ет, что дополн влож-я в размере 1 т.р. на длит-ый срок приведут при прочих равных условиях к дополн доходу в 2,86 т.р.}