- •В помощь первокурснику
- •Аудиторные виды учебной деятельности Лекции
- •Практические занятия
- •Семинарские занятия
- •Лабораторные работы
- •Консультации
- •Работа на лекции
- •Ведение записей
- •Отдельные виды записей
- •Самостоятельная работа студентов
- •Доработка материала после лекции
- •Проработка лекционного материала
- •Подготовка к практическим занятиям
- •Подготовка к семинарским занятиям
- •Некоторые советы
- •Подготовка к сессии
- •Подготовка к экзамену во время сессии
- •Сдача экзамена
- •Ответ на экзамене
- •11. В сессии, как и в длительных состязаниях, нужна выдержка и воля к победе! Не падайте духом при неудачах! Стремитесь к победе! вопросы экзамена
- •Памятка
- •Необходимые и достаточные условия
- •Список рефератов
- •Основные направления научно-исследовательской работы студентов- электриков
- •Примеры учебно-профессиональных задач для создания проблемных ситуаций и реферативных работ по емд (естественно- математических дисциплин)
- •Решение задач
- •2. Элементы векторНой алгебРы
- •Самостоятельная работа
- •Самостоятельная работа
- •3. Аналитическая геометрия
- •Найдем координаты точки м(хм;ум) – пересечения высоты cd и медианы ве, решив систему их уравнений методом Крамера:
- •Самостоятельная работа
- •4. Математический анализ
- •Самостоятельная работа
- •Физическая и техническая интерпретация математических понятий
- •2.1. Сущность физико-математических понятий
- •1. Изучение условия.
- •2. Выработка плана решения.
- •3. Реализация плана.
- •4. Проверка и анализ решения.
- •1. Ознакомление с условием задачи и его анализ
- •2. Составление плана решения задачи
- •III. Осуществление решения задачи
- •IV. Проверка результата решения задачи
- •V. Оценка практической значимости решения задачи
- •VI. Рефлексия (ретроспективный анализ) деятельности по решению задачи
- •I. Ознакомление с условием задачи и его анализ
- •II. Составление плана решения задачи
- •III. Осуществление решения
- •IV. Проверка результата решения задачи
- •V. Оценка практической значимости решения задачи
- •VI. Рефлексия деятельности по решению задачи
- •Эвристический план решения прикладной задачи
- •Понимание постановки задачи
- •Приложения математики
- •Системы уравнений
- •Вектора
- •Б олее сложные задачи
- •Аналитическая геометрия
- •Упражнения
- •Некоторые задачи, решаемые при помощи уравнения прямой линии
- •Упражнения
- •Функция и предел
- •Литература по прикладные задачи
Некоторые задачи, решаемые при помощи уравнения прямой линии
Многие практические задачи, в которых исследуемые функции на заданном интервале с достаточной для практики точностью представимы линейными функциями, можно решать при помощи уравнения прямой. При этом, в отличие от предыдущих параграфов, рассмотрим также более общий случай, когда искомую функцию можно представить ломаной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых. Не входя в подробности, ограничимся только двумя характерными задачами, предоставив остальное самостоятельной работе читателя.
Задача 1. Вода вливается в бассейн через трубу I со скоростью 3 единицы в час. По трубе II вода вытекает со скоростью 2,4 единицы в час. На высоте h от дна бассейна помещена труба III с пропускной способностью 1,6 единицы в час, перекрываемая краном К и работающая только 8 часов в сутки (рис. 27). Глубина бассейна 3h. Требуется исследовать режим уровня воды х в бассейне, т. е. выразить х как функцию времени t.
Решение.
Р ежим работы бассейна можно охарактеризовать двумя периодами: первым — при открытом кране К (8 часов) и вторым — при закрытом кране К (16 часов).
Допустим, что кран К открывают в момент, когда бассейн полон (х = 3h; t = 0) Тогда в первый период
x = 3h + 3t - 2,4t – 1,6t = -t + 3h
до х = h, т. е. до тех пор, пока х не достигнет уровня h. Начиная с этого момента, для всего остального времени первого периода установится так называемое динамическое равновесие, так как при x < h действуют только трубы I и II и приток больше расхода, а при x > h действуют все три трубы и приток меньше расхода.
По прошествии восьми часов выключаем трубу III. Начинается второй период: х = h + 3 (t - 8) - 2,4 (t - 8) = 0,6 (t - 8) + h,
до х = 3h.
Выше 3h уровень подняться не может, так как вода польется через край. Представим все это графически (рис. 28). По этому графику мы можем в любой момент времени t определить, каков уровень воды х в бассейне.
С аналогичной задачей столкнулись проектировщики Ново- Краматорского машиностроительного завода имени В. И. Ленина.
Завод, потреблявший огромное количество воды, надо было снабжать от небольшой реки, притока Донца. Для того чтобы «утолить жажду» этого гиганта первой пятилетки в часы его полной нагрузки, на реке надо было установить плотину для круглосуточного сбора воды, т. е. соорудить «бассейн» (рис. 29), в котором: труба I — количество воды, приносимое течением реки, труба II — потери воды на просачивание (фильтрацию) в грунте под плотиною и круглосуточное обслуживание основных цехов завода, труба III — увеличение расхода воды заводом при работе на полную мощность в первую смену. (Высота А необходима для того, чтобы водоотсосные трубы не засасывали ил.)
Из графика режима реки (рис. 28) замечаем два возможных неприятных момента. В первом периоде, начиная с момента, отвечающего точке В, начинает не хватать воды, а во втором периоде от точки D происходит бесполезный сброс воды через плотину.
Верхний бьеф реки Водоотсосные трубы
Рис. 29.
Найдем, насколько надо увеличить высоту плотины, чтобы обеспечить восьмичасовую работу по первому периоду, т. е. чтобы устранить горизонтальную ступеньку графика ВС.
Для этого надо через точку С провести прямую, параллельную отрезку АВ, и определить начальную ординату b этой прямой.
Уравнение любой прямой, параллельной прямой х= — t + 3h, будет иметь тот же угловой коэффициент k= —1, т. е. его вид будет
х = — t + b.
Но по условию эта прямая должна пройти через точку С (8; h) и, следовательно, 8 = —h + 6; отсюда b = 8 + h. На рис. 28 принят масштаб 3h = 8 единицам по оси t, так что b = 8 + h = 3h + h = 4h. Следует отметить, что при некотором соотношении между притоком воды и ее расходом для каждого данного отношения продолжительности первого и второго периодов задача не имеет решения. (Найдите это соотношение для данной задачи.)
Если природные условия в этом смысле неблагоприятны, решение ищут путем искусственного увеличения стока реки, как это имело место, например, для Москвы-реки (сооружение канала им. Москвы). Вторым аналогичным примером является проблема обмеления Каспийского моря, для решения которой в качестве одного из вариантов рассматривают переброс части стока северных рек — Вычегды и Печоры — в бассейн реки Волги.