V. Оценка практической значимости решения задачи

а) результаты решения задачи ориентированы на бытовую сферу жизнедеятельности человека.

б) для того, чтобы оценить значимость решенной задачи, необходимо дать ответ на следующие вопросы:

• знание формулы подсчета стоимости израсходованной энергии необ­ходимо всем людям или только узкому кругу людей?

• как часто приходится пользоваться этой формулой?

в) платить за электроэнергию людям приходится каждый месяц, поэтому знание формулы для подсчета стоимости израсходованной энергии необходимо каждому человеку.

г) возможности получения того же результата из других данных для этой задачи не существует.

VI. Рефлексия деятельности по решению задачи

а) использованные при решении приемы:

движение от условия к требованию;

перевод одних единиц измерения в другие;

работа с единицами измерения искомой величины;

перевод неявных данных в явные.

б) наиболее удачные приемы: перевод неявных данных в явные (с занесением результата в краткую запись);

- перевод одних единиц в другие с точки зрения экономичности решения.

в) ранее решенные задачи были связаны с применением формулы для расчета стоимости энергии, израсходованной одним прибором; общая закономерность: от известной мощности делается переход к работе, от работы - к стоимости.

г) возможен метод решения задачи от требования к условию (синтетический метод):

Чтобы найти стоимость израсходованной энергии, нужно знать величину этой энергии, то есть работу электрического тока и тариф;

Чтобы найти работу тока в приборе, необходимо знать его электрическую мощность и время работы.

В заключение отметим, что знание студентом основных структурных эле­ментов деятельности по решению задач с практическим содержанием позволит ему осознанно и успешно осуществлять эту деятельность.

Мы знакомимся с задачей

С чего мне начать? Начните с формулировки за­дачи.

Что я могу сделать? Представьте себе задачу как целое, как можно яснее и нагляднее. Пока не вдавай­тесь в детали.

Чего я смогу этим добиться? Вам нужно понять задачу, освоиться с ней, запечатлеть ее в своем созна­нии. Сосредоточивая на задаче свое внимание, вы подготовляете свою память к тому, чтобы извлечь из нее все, что может принести вам пользу.

Эвристический план решения прикладной задачи

Мы вникаем в задачу

С чего мне начать? Начните опять с формулировки задачи. Начните тогда, когда задача стала столь ясной и столь прочно запечатлелась в вашем сознании, что вы в состоянии на время расстаться с ней без риска забыть ее.

Что я могу сделать? Разделите задачу на главные элементы. Предпосылка и заключение представляют собой главные элементы «задачи на доказательство»; неизвестное, данные и условие — главные элементы «задачи на нахождение». Изучите главные элементы вашей задачи, рассматривая их поодиночке, затем последовательно одну за другой, затем в разнообразных

Мы ищем плодотворную идею

С чего мне начать? Начинайте с рассмотрения глав­ных элементов задачи. Начинайте тогда, когда в ре­зультате предшествующей работы вы их хорошо уясни­ли себе и привели в определенную систему, и тогда, когда ваша память наиболее ясна и послушна вам.

Что я могу сделать? Рассмотрите задачу с различ­ных сторон и найдите ее точки соприкосновения с вашими, ранее приобретенными знаниями.

Рассмотрите задачу с различных сторон. Делайте упор на различные элементы, исследуйте различные детали, исследуйте одни и те же детали по нескольку раз, но с различных точек зрения, по-разному сопостав­ляйте детали, подходите к ним с различных сторон. Пытайтесь усмотреть новое в каждой детали, некото­рую новую интерпретацию задачи в целом.

Ищите точки соприкосновения с вашими ранее при­обретенными знаниями. Старайтесь вспомнить, что вам помогало прежде в подобных случаях. Пытайтесь уви­деть нечто знакомое в том, что вы исследуете, и нечто полезное в том, что оказалось знакомым.

На что я мог бы натолкнуться? На плодотворную идею, может быть, на решающую идею, которая мгно­венно указала бы путь к цели.

В чем может состоять плодотворность идеи? Такая идея указывает вам весь путь или его часть; она более или менее ясно подсказывает вам, как нужно действо­вать. Идеи бывают более или менее полные. Вам повез­ло, если у вас есть хоть какая-нибудь идея.

Что мне делать с неполной идеей? Надо ее рассмот­реть. Если она оставляет впечатление полезной в той или иной мере, вам следует рассмотреть ее подробнее. Если кажется, что на нее можно опереться, нужно проверить, как далеко вы можете продвинуться при ее помощи, и вновь рассмотреть создавшееся положение. Ситуация изменилась благодаря тому, что теперь у вас имеется полезная идея. Рассмотрите создавшееся поло­жение с различных сторон и ищите точки соприкоснове­ния с вашими ранее приобретенными знаниями.

Чего я смогу этим добиться? Вам может повезти, вы можете натолкнуться на новую идею. Возможно, следу­ющая идея приведет вас прямо к решению. Возможно, вам потребуется еще несколько удачных идей и после следующей. Тем не менее вам следует быть благодар­ным за все новые идеи, в том числе и за скромные, и за расплывчатые, и за вспомогательные, уточняющие рас­плывчатые или улучшающие другие, не очень удачные. Даже если пока вам не удается натолкнуться на какую-нибудь ценную новую идею, вы должны быть до­вольны уже тем, что приходите к более полному, более связному, более однородному восприятию задачи.

Мы осуществляем план.

С чего мне начать? Начинайте со счастливой идеи, приведшей вас к решению. Начинайте, когда вы увере­ны в том, что крепко ухватили главную мысль, и чувствуете себя в состоянии проанализировать детали, которые могут понадобиться.

Что я могу сделать? Закрепите свой успех. Выпол­ните во всех деталях те алгебраические или геометри­ческие действия, которые вы предварительно сочли выполнимыми. Убедитесь в правильности каждого ша­га либо при помощи логических рассуждений, либо при помощи интуитивных рассмотрений, либо, если воз­можно, обоими способами. Если задача очень сложна, вы можете различать «большие» шаги и «малые» шаги, разделяя каждый большой шаг на несколько малых. Проверяйте вначале большие шаги, а затем переходите к малым.

Чего я смогу этим добиться? Того, что в ваших руках окажется решение, каждый шаг которого будет, без сомнения, правилен.

Мы оглядываемся назад

С чего мне начать? С решения, полного и правиль­ного в каждой своей детали.

Что я могу сделать? Рассмотрите решение с различ­ных сторон и найдите точки соприкосновения с вашими ранее приобретенными знаниями.

Рассмотрите детали решения, стараясь максималь­но упростить их; обратите внимание на громоздкие части решения и попытайтесь сделать их короче; поста­райтесь охватить все решение одним взглядом.

Постарайтесь улучшить малые или большие части решения и усовершенствовать все решение в целом, сделать его интуитивно ясным. Найти для него естест­венное место в системе ваших ранее приобретенных знаний.

Вглядитесь в метод, приведший вас к решению; постарайтесь выяснить, что в нем является главным, и применить его к другим задачам.

Всмотритесь в результат и попытайтесь использо­вать его, чтобы решить другие задачи.

Чего я смогу этим добиться? Вы можете найти новое, лучшее решение, можете обнаружить новые ин­тересные факты. Во всяком случае, если вы приобрете­те привычку рассматривать и оценивать полученные решения указанным образом, вы сможете пополнить свои знания новыми, приведенными в стройную систему и готовыми к применению, и развить свои способности к решению задач.

Продвижение и достижение. Вы продвинулись в решении задачи? В чем суть вашего достижения? Воп­росы такого рода мы можем задавать как себе, когда мы сами решаем задачу, так и учащемуся, решающему ее под нашим руководством. Мы привыкли более или менее уверенно судить о продвижении и о достижениях в конкретных случаях. Но перейти от таких конкретных случаев к обобщенному изложению вопроса очень не­легко. Однако, если мы желаем изложить учение об эвристике более или менее полно, мы должны попы­таться уяснить себе, из чего состоит в общих чертах продвижение и достижение при решении задач.

Чтобы решить какую-нибудь задачу, мы должны иметь определенный запас знаний в той области, к которой наша задача относится, и нам приходится собирать и отбирать все имеющиеся у нас сведения, связанные с нашей задачей. Эти сведения до начала решения были лишь потенциальными. Наше понимание задачи значительно полнее в конце, чем оно было, когда мы только приступали к ней; что добавилось? То, что нам удалось вспомнить. Для того чтобы решить задачу, нам приходится припоминать различные су­щественные факты. Если наша задача математическая, приходится вспомнить ранее решенные задачи, знако­мые теоремы, определения. Восстановление в памяти сведений, относящихся к задаче, можно назвать мо­билизацией.

Однако, чтобы решить какую-нибудь задачу, не­достаточно вспомнить изолированные сведения, мы должны комбинировать эти факты, и их комбинация должна быть хорошо приспособлена к решению имею­щейся у нас задачи. Таким образом, при решении математической задачи мы должны объединить все, что мы вспомнили, и на этом основании выдвинуть такой отдельный довод доказательства, который был бы хо­рошо приспособлен к целому. Эту работу по приспособ­лению и комбинированию фактов можно назвать ор­ганизацией.

По существу, отделить мобилизацию от органи­зации невозможно. Сосредоточивая все свое внимание на задаче, мы припоминаем лишь те факты, которые более или менее связаны с нашей задачей, и соединяем и организуем лишь то, что вспомнили и мобилизовали.

Мобилизация и организация лишь два аспекта од­ного и того же сложного процесса, имеющего еще много других аспектов.

Другой аспект продвижения в работе заключает­ся в том, что характер нашего понимания задачи меняется. Понимание задачи у нас значительно полнее в конце, чем оно было вначале, когда мы только приступали к решению, ибо добавилось все, что мы вспомнили, обработали и приспособили к решению. Желая перейти от первоначального понимания данной задачи к более точному, более полному ее пониманию, мы подходим к ней с разных точек зрения, рассматри­ваем ее с разных сторон. Едва ли мы могли бы продви­нуться в решении без такого видоизменения задачи.

Цель вырисовывается все более и более отчетли­во по мере приближения к ней. А когда мы видим цель яснее, мы считаем, что мы к ней ближе. По мере того как изучение задачи продвигается, мы все яснее и яснее можем предвидеть, что следует предпринять для решения задачи и каким образом надо действовать.

Если удача нам сопутствует, то при решении математи­ческой задачи мы сможем предусмотреть возможность использования известной нам теоремы, полезность рас­смотрения ранее решенной задачи, необходимость до­полнительного уточнения значения того или иного ма­тематического термина. Такие предвидения не являют­ся безошибочными, они лишь до известной степени правдоподобны. Полное подтверждение правильности своего предвидения мы получаем с окончательным ре­шением, а до этого мы часто вынуждены довольство­ваться более или менее правдоподобной догадкой. Нам никогда не удалось бы прийти к точному и окончатель­ному решению, не прибегнув к соображениям лишь правдоподобного и предварительного характера. Нам необходимо эвристическое рассуждение.

В чем заключается продвижение к решению? В мобилизации и организации знаний, ведущих нас к решению, в эволюции нашего понимания задачи, во все возрастающем предвидении тех шагов, которые приведут к окончательному обоснованию решения. Мы можем продвигаться вперед постоянно, но незаметно, потом вдруг продвинуться резко семимильными шага­ми. Стремительное продвижение в решении называется счастливой идеей (bright idea), хорошей, удачной, внезапно осенившей вас мыслью (в немецком языке есть более специальный термин Einfall). Что такое счастливая идея? Резкое и очень существенное изменение в нашей точке зрения на задачу, стремитель­ная перестройка характера нашего понимания задачи, только что возникшее уверенное предвидение шагов, необходимых для решения задачи.

Вышеизложенные соображения служат хорошим фоном для вопросов и советов нашей таблицы.

Многие из этих вопросов и советов направлены непосредственно на мобилизацию наших, ранее приоб­ретенных знаний: Не встречалась ли вам эта задача ранее? Или подобная задача, но в несколько другой форме? Не знаете ли вы какой-нибудь похожей задачи? Не знаете ли вы теоремы, которая могла бы оказаться полезной? Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь припомнить знакомую задачу с тем же или сходным неизвестным.

Бывает такое характерное состояние, при котором нам кажется, что нами собраны нужные сведения и что усилия направлены на лучшую организацию того, что мы мобилизовали: вот задача, которая похожа на вашу и уже решена. Сумеете ли вы воспользоваться ею? Сумеете ли вы применить ее результат? Сумеете ли использовать ее метод? Сумеете ли ввести какой-ни­будь вспомогательный элемент, чтобы молено было воспользоваться этой задачей?'

Есть другие типические ситуации, при которых мы думаем, что собранные нами сведения недостаточны. Мы задумываемся — чего же не хватает? Все ли дан­ные мы использовали? Все ли условия? Приняли ли мы во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?

Некоторые вопросы непосредственно направлены на видоизменение задачи: сможете ли вы изложить задачу иначе? А еще иначе? Многие вопросы имеют своей целью варьировать задачу специальными приемами, например возвращением к определениям или пользуясь аналогией, обобщением, спе­циализацией, разложением и обобще­нием.

Иные же вопросы предлагают проверку, чтобы предвидеть характер решения, которое мы хотим полу­чить: возможно ли удовлетворить условию? Достаточ­но ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?

В вопросах и советах нашей таблицы нет непосред­ственных упоминаний о счастливой идее, но по сущест­ву они все связаны с ней.

Вникая в суть задачи, мы создаем благоприятные условия для возникновения счастливой идеи, составляя план, мы стараемся вызвать ее. Вызвав счастливую идею, осуществляем ее в решении, а потом при изуче­нии хода и результата решения мы стараемся макси­мально использовать ее.

Противоречивость (см. «У с л о в и е») Работать от конца к началу. Если мы хотим понять поведение человека, нужно сравнить его с поведением животного. Животные тоже «имеют проблемы» и «ре­шают задачи». За последние десятилетия эксперимен­тальная психология существенно продвинулась в об­ласти исследования деятельности различных животных при «решении задач». У нас нет возможности рассмат­ривать эти исследования, но мы опишем один простой и поучительный опыт, и наше описание послужит свое­го рода пояснением к методу анализа или, как мы его называем, методу «работать от конца к началу».