Системы уравнений

Пример. На предприятие с работниками четырех категорий привезли заработную плату в купюрах следующего достоинства: по 100 рублей – 1850 купюр, по 50 рублей – 230 купюр, по 10 рублей – 250 купюр, по 1 рублю – 740 купюр. Заработная плата работника первой категории составляет 962 рубля, 2-й категории – 713 руб., 3-й категории – 452 руб., 4-й категории – 261 руб. Определить, сколько сотрудников каждой категории работает на предприятии, если каждому сотруднику выдали заработную плату минимальным числом купюр.

Решение. Условие об оплате минимальным числом купюр является основным в определении количества купюр разного достоинства, выданных сотрудникам разных категорий. Исходя из величины заработной платы по категориям, однозначно определяем таблицу распределения купюр.

Пусть х₁, х₂, х₃, х₄ – количество работников категорий соответственно с первой по четвертую. Тогда по данным таблицы 1 составляем уравнения «баланса», которые образуют систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

Эту систему можно решить методом Крамера, но удобно решать методом Гаусса, для чего выпишем расширенную матрицу системы, предварительно переместив для удобства первое уравнение на последнее место. Прямой ход метода последовательно меняет вид матрицы:

Таблица 1

Достоинство купюры, руб.	Распределение купюр по категориям				Общее количество купюр
	1	2	3	4
100	9	7	4	2	1850
50	1	-	1	1	230
10	1	1	-	1	250
1	2	3	2	1	740

Третий переход состоял в перемене мест 3-й и 4-й строк. Полученная в цепочке прямого хода расширенная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной системе:

Обратным ходом метода получаем последовательно неизвестные:

x₄ = 80, x₃ = 100, x₂ = 120, x₁ = 50.

Вектора

1. В игpe по перетягиванию каната участвуют 4 человека. Двое из них тянут в одну сторону с силами 330 Н и 380 Н, а два - в другую с силами 300 Н и 400 Н. В каком направлении будет двигаться канат и как велика сила, двигающая его?

2. Сила тяги тепловоза 120 000 Н, а сила сопротивле­ния 110 кН. Определите равнодействующую силу.

3. Может ли числовое значение равнодействующей силы быть меньше числовых значений составляющих сил? Ответ поясни­те примерами.

4. На тело действуют 4 силы: 15 Н, 77 Н, 89 Н, 120 Н. Найдите их равнодействующую, если известно, что первые две силы направлены в одну сторону, а остальные по той же прямой в противоположную сторону.

5. Пять сил: 600 Н, 250 Н, 750 Н, 100 Н и 300 Н дей­ствуют на точку тела по одной прямой. Может ли величина равнодействующей быть равной 1,2 кН, 100H, нулю? Что для этого необходимо?

6. Подъемный кран движется v скоростью и поднимает груз cо скоростью v . Какую фигуру представляет траектория груза?

7. Тело движется со скоростью 10 м/с под углом 30 к го­ризонтали. С какой скоростью тело поднимается вертикально вверх к с какой скоростью движется тень тела по земле, если солнце находится в зените?

8. Тело весом 30 Н находятся на наклонной плоскости. Найти какая сила скатывает его с наклонной плоскости и с какой силой нормально давит это тело на нее, если угол наклона пло­скости 60.

9. Из точки, данной на берегу реки, отправляется к противоположному берегу катер со скоростью 40 км/ч. Скорость те­чения реки 5 км/ч. В каком направлении следует плыть катеру, чтобы приплыть в ближайшую точку противоположного берега река? Задачу решить графически.

10. Паpaшютист спускается к земле со скоростью 2 м/с. Скорость ветра равна 3 м/с. С какой скоростью движется парашю­тист?

11. Почему в безветренную дождливую погоду мы наклоняем зонтик вперед?

12. Почему в безветренную дождливую погоду капли дождя на окне движущегося поезда оставляют не вертикальные следы?