Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

Р и с . 7.24.

а) Пронумеруйте узлы с помощью алгоритма, изложенного в начале разд. 7.7.

б) Найдите кратчайшие маршруты из всех узлов в узел 1 и определите их длину.

в) Найдите максимальные маршруты из всех узлов в узел 1 и определите их длину.

68. Замена оборудования. Примените алгоритм отыскания кратчайшего маршрута, изложенный в разд. 7.7, для решения задачи компании «Таксолюкс», приведенной в п. г) упражнения 15 гл. 6.

69. Замена оборудования. Рассмотрите задачу фирмы «Резвая фреза», приведенную в упражнении 41 гл. 6.

а) Примените алгоритм отыскания кратчайшего маршрута, изложенный в разд. 7.7, для определения оптимальной стратегии замены.

б) Определите диапазон изменения величины р2 (стоимости новой модели на интервале 2), в котором стратегия, найденная в задаче п. а), остается оптимальной. Выполните это же задание

для рз> pt, р5.

в) Определите диапазон изменения величины г2 (затрат на эксплуатацию единицы оборудования в течение второго последовательного интервала его использования), в котором стратегия, найденная в задаче п. а), остается оптимальной. Выполните это же задание

для г3, г4, г5.

70. Замена оборудования. Рассмотрите сеть, приведенную на рисунке 6.10. Дайте интерпретацию величин, последовательно вычисляемых с помощью алгоритма (1) — (2), изложенного в разд. 7.7, через величины, фигурирующие в этой сети.

г) Решите задачу с помощью алгоритма отыскания кратчайшего маршрута, изложенного в разд. 1.2.

72. Рассмотрите задачу, приведенную в упражнении 44, но при условии Si = Dj = 1 для всех i и ;'.

а) Решите задачу транспортным симплексным методом.

б) Решите задачу с помощью алгоритма отыскания максимального потока, изложенного в разд. 1.2.

в) Решите задачу с помощью алгоритма минимальной стоимости/максимального потока, изложенного в разд. 1.2.

г) Решите задачу с помощью алгоритма отыскания кратчайшего маршрута, изложенного в разд. 1.2.

73. Рассмотрите задачу, приведенную в упражнении 45, но при условии Si = DJ = 1 для всех г и ;'.

а) Решите задачу транспортным симплексным методом.

б) Решите задачу с помощью алгоритма отыскания максимального потока, изложенного в разд. 1.2.

в) Решите задачу с помощью алгоритма минимальной стоимости/максимального потока, изложенного в разд. 1.2.

г) Решите задачу с помощью алгоритма отыскания кратчайшего маршрута, изложенного в разд. 1.2.

74.Решите транспортную задачу, приведенную в упражнении 43, пользуясь алгоритмом определения максимального потока, изложенным в разд. 1.3.

75.Решите транспортную задачу, приведенную в упражнении 44, пользуясь алгоритмом определения максимального потока, изло-

женным в разд. 1.3.

76. Решите транспортную задачу, приведенную в упражнении 45, пользуясь алгоритмом определения максимального потока, изложенным в разд. 1.3.

УПРАЖНЕНИЯ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ

Упражнения 77—81 относятся к транспортным задачам с промежуточными пунктами. Рассмотрите каждый пример на сети общего вида в соответствии с правилами (1) — (4), приведенными в конце разд. 7.4, и начертите соответствующую сеть. В некоторых задачах для соблюдения равенства (4) может оказаться необходимым введение фиктивного узла. Можно выполнять вычисления по симплекс-

312 ГЛАВА 7

ному методу непосредственно на сети, не прибегая к помощи как редуцированной, так и расширенной матрицы.

Прежде всего найдите исходное базисное решение. Добейтесь того, чтобы в нем использовалось р — 1 дуг, где р — число узлов сети, и чтобы сетевая модель не содержала замкнутых контуров. (Иными словами, выберите дерево, соответствующее допустимому базисному решению. В пробном решении по некоторым из выбранных дуг могут иметь место нулевые потоки.)

Далее с помощью р — 1 уравнений z/j — у, = сц вычислите

стимо ли решение двойственной задачи, т. е. выполняется ли условие 4 разд. 7.4. Прекратите вычисления, если все двойственные ограничения удовлетворяются. Найденное при этом решение оптимально. В противном случае введите новый маршрут, соответствующий двойственному ограничению, нарушенному сильнее всего. Направьте такой поток по этому новому маршруту, чтобы один из маршрутов в предыдущем пробном решении не содержал потока и, следовательно, исключался из базиса. Повторите проверку на оптимальность. В случае необходимости продолжите вычисления по ука-

ритмом для транспортной задачи с ограниченньши пропускными

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Алгоритмы решения сетевых задач

1.1.МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК В СЕТИ

СОГРАНИЧЕННЫМИ ПРОПУСКНЫМИ СПОСОБНОСТЯМИ

Для разработки эффективных методов решения для сложных сетевых моделей важнейшую роль играет следующая задача: какова максимальная величина потока из источника в сток для заданной сети с ограниченными пропускными способностями дуг, в которой узел 0 является единственным источником, а узел р — 1 является единственным стоком? Математически задача формулируется следующим образом:

алгоритма, требующейся для отыскания решения в общем случае. Начнем с любого допустимого потока. Является ли поток максимальным или возможно его дальнейшее увеличение, можно опреде-

лить следующим образом:

Шаг 1. Начиная с узла 0, поставить знак + на каждой дуге (О, /) с нулевым потоком, а узел j пометить знаком \/. Узел 0 поме-

тить знаком V •

Шаг 2. Рассмотреть любой узел /, помеченный знаком V • Поставить знак + на каждой дуге (/, k) с нулевым потоком, исходящей из узла /, если узел k не помечен, и пометить узел k знаком V • Затем проставить знак — на каждой дуге (k, j) с ненулевым потоком, входящей в узел /, если узел k не помечен, и пометить узел k зна-

|Д^Х И

Конечный

пункт

на единицу поток по каждой дуге, помеченной знаком —. Вернуться к шагу 1. Однако, если по окончании шага 2 узел р -+- 1 остается непомеченным, текущее решение определяет максимальный поток в сети.

Работа алгоритма иллюстрируется на примере, приведенном на рис. 1.1. В исходном решении величина потока в сети равна двум единицам. Существует несколько вариантов реализации рассматриваемого алгоритма. Проследите за ходом излагаемого ниже варианта, делая легкие карандашные пометки на рисунке.

Источник

Сток

Поток= 2 Одна евиниа,а: Одна единица\(о

Р и с . 1.2. Процесс просмотра сети.

3) добавить единичный поток по дуге (0, 5).

Новое решение приведено на рис. 1.3. Повторив все шаги алгоритма, покажите, что теперь поток максимален. Последовательность

316 ПРИЛОЖЕНИЕ I

просматриваемых узлов включает узлы 0, 4 и 5. Ни один другой узел

на каждой исходящей ненасыщенной дуге, т. е. дуге, пропускная способность которой превышает величину дугового потока, ставится знак +. Далее, когда путь, увеличивающий поток, обнаруживается, по этому пути направляется максимально допустимый поток с учетом величины недоиспользованной пропускной способности каждой дуги, помеченной знаком +> и текущей величины дуговых потоков по каждой дуге, помеченной знаком —. Таким образом, при решении

смотренного узла и входящей в помеченный узел, равен ее пропускной способности, а поток по дуге, исходящей из непомеченного узла и входящей в просмотренный узел, равен нулю.

На каждой итерации выполнение шага 3 приводит либо к увеличению потока в сети на одну или более единиц, либо к останову. Вследствие этого алгоритм сходится за конечное число итераций, ибо максимальный допустимый поток ограничен сверху. Теперь остается только показать, что при завершении симплекс-процедуры решение действительно является оптимальным. С этой целью разобьем

на указанные подмножества определяет верхнюю границу максимально возможной величины потока в сети. (Если пропускная способность разреза равна нулю, то узел 0 в буквальном смысле отделен от узла р ~\- 1 и поток из источника в сток оказывается невозможным.) Следовательно, если допустимый поток равен пропускной способности любого разреза, то он должен быть оптимальным. Кроме того, в силу ограничений (2), (3) и (4), определяющих условия сохранения потока, значение F в любом допустимом решении должно быть равно сумме потоков по всем дугам (i, j) минус сумма всех потоков по дугам (;', i), где узел i содержится в подмножестве С0, а узел / — в подмножестве Cp+i-

Учитывая все эти замечания, легко доказать оптимальность. Рассмотрим некоторое допустимое решение при остановке алгоритма. Определим С0 как подмножество всех просмотренных узлов, a Cp+i как подмножество всех остальных узлов. В соответствии с правилом останова поток из любого узла, принадлежащего подмножеству

CP+I, в любой узел, принадлежащий подмножеству С0, равен нулю. Поэтому общая величина потока в сети равна сумме потоков по всем дугам, исходящим из подмножества Со и входящим в подмножество Cp+i. Всем этим дугам соответствуют потоки, равные их пропускным способностям. Следовательно, общая величина потока в найденном решении равна пропускной способности разреза, и дальнейшее увеличение потока оказывается уже невозможным.

Приведенные рассуждения резюмируются в виде следующей важной теоремы.

Т е о р е м а о м а к с и м а л ь н о м п о т о к е/ми н и м а л ь- н о м р а з р е з е . Максимальная величина потока F в любой сети при условиях (2) — (5) равна минимальной пропускной способности разреза, отделяющего источник от стока.

Из этой теоремы вытекает следствие о том, что алгоритм дает целочисленные значения всех величин xtj.

1.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ

Вспомним модель назначений, подробно рассмотренную в разд. 6.4:

В силу характера задачи допустимое решение содержит ровно п переменных, равных единице, тогда как любое базисное решение включает п -}- п — i переменных. Следовательно, при применении симплексного алгоритма решения сетевых задач к модели назначений (1) — (4) каждый базис содержит п — 1 нулевых переменных (маршрутов). Это обстоятельство приводит к выводу, что применение симплексного алгоритма не обеспечивает в полной мере учета особой структуры модели назначений. В данном разделе будут изложены три отличных от симплексного метода решения задачи о назначениях.

Первый метод основан на использовании алгоритма отыскания максимального потока, рассмотренного в предыдущем разделе; второй — на объединении алгоритмов отыскания максимального потока и кратчайшего маршрута. Третий метод еще глубже раскрывает связь между задачей о назначениях и задачей выбора кратчайшего