Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

ны единицы каждого продукта по прежним маршрутам, а другой половины — непосредственно от источника в пункт назначения. Тогда соответствующие минимальные затраты на единицу продукта составят 3/2с. Таким образом, объединение трех потоковых задач путем простого наложения общих ограничений по пропускной способности приводит к тому, что теорема о целочисленности, сформулированная в конце разд. 6.8, уже не выполняется. Вычислительные трудности, связанные с отысканием оптимальных потоков в таких сетях, также значительно возрастают.

что фирма, владеющая двумя предприятиями и имеющая трех собственных потребителей продукции этих предприятий, разрабатывает календарный план производства и снабжения на четыре плановых периода. Примем, что в течение периодов 1, 2, 3, 4 предприятие 1

а) Сформулируйте задачу оптимизации в табличной форме, аналогичной таблице на рис. 6.2, а. Не забудьте указать, какие величины Xfj необходимо исключить.

б) Существует ли допустимое решение этого числового примера? Обоснуйте свой вывод. Сформулируйте общее правило, позволяющее определить, существует ли допустимое решение такой задачи.

в) Объясните, как изменить постановку задачи в случае, когда суммарные поставки превышают суммарный спрос.

в конце любого периода, приходятся h единиц затрат. Повлияет ли учет этих затрат на оптимальное решение задач п. а)? п. в)?

Упражнения 4—9 относятся к примеру фирмы «Универсал», показанному на рис. 6.3.

4. В каждом из указанных ниже пунктов определите, какие склады являются источниками, стоками и промежуточными (перевальными). Определите также, допускает ли полученная схема маршрутов перевозок удовлетворение спроса. Положим, что исключен маршрут

а) склад 4 — склад 5; б) склад 5 — склад 4; в) склад 6 — склад 7; г) склад 2 — склад 5; д) склад 4 — склад 7; е) склад 4 — склад 3.

5. В каждом из указанных ниже пунктов определите, какие склады являются источниками, стоками и промежуточными. Положим, что добавлен маршрут

а) склад 7 — склад 4; б) склад 6 — склад 8; в) склад 8 — склад 6; г) склад 3 — склад 4; д) склад 1 — склад 3; е) склад 3 — склад 1.

6. Для каждого из указанных ниже пунктов постройте матрицу, аналогичную матрице на рис. 6.4. Определите допустимое решение и укажите, следует ли из этого решения наличие единственного маршрута от поставщика к потребителю. Постройте матрицу, аналогичную

в 2 и 8 единиц требуются соответственнона складах 3 и 8. Ни на одном другом складе избытка запасов и потребностей в них нет.

б) Избыточные запасы в 10 и 4 единицы имеются соответственно на складах 1 и 5, запасы в 3, 2, 1 и 8 единиц требуются на складах 3, 4, 6 и 8. На остальных складах избытки запасов и потребности отсутствуют.

г) Рассмотрите упражнения всех предыдущих пунктов для случая отсутствия маршрута со склада 6 на склад 7. Укажите также, существует ли допустимое решение в этом случае.

7. а) Рассмотрите план перевозок, заданный матрицей на рис. 6.6. Объясните подробно, почему этот план предусматривает доставку трех единиц со склада 1 на склад 3 через склад (пункт) 2, одной едини-

252 ГЛАВА е

цы на склад 6 через пункты 2 и 5 и шести единиц на склад 8 через пункты 2, 5, 4 и 7, а также доставку двух единиц со склада 4 на склад 8

отправляют шесть единиц на склад 8 через пункты 2, 5, 6 и 7.

в) Покажите, как изменится матрица на рис. 6.6, если со склада 1 вместо шести отправляют восемь единиц на склад 8, а со склада 4 — две единицы на склад 3 вместо склада 8.

г) Подробно объясните, какой план перевозок определит матрица на рис. 6.6, приняв

на склад 4, со склада 5 на склад 3, со склада 7 на склад 6 и со склада 3

9. Предположим, что на складах 1, 4 и 5 имеется по одной единице избыточных запасов, а на складах 3, 7 и 8 требуется по одной единице. Избытка или дефицита запасов на складах 2 и 6 нет.

оназначениях.

10.Объясните, каким образом классическую транспортную задачу можно преобразовать в задачу о назначениях. Проиллюстрируйте предлагаемый вами метод на примере двух поставщиков с мощно-

на рис. 6.8.

б) Примите все с,-7- ^> 0. Покажите, что ограничения (2) можно выразить неравенствами вида ^-. Сформулируйте соответствующую двойственную задачу максимизации.

12. Рассмотрите пример выбора кратчайшего пути, показанный на рис. 6.8. Добавьте дуги из узла 4 в узел 7, из узла 6 в узлы 3 и 7, исключите дуги из узла 4 в узел 3, из узла 6 в узел 5 и из узла 7

выбора кратчайшего пути, постройте матрицу, аналогичную матрице рис. 6.9, и составьте матрицу, соответствующую условиям задачи

(1)— (3) разд. 6.5. Найдите кратчайший путь а) от склада 1 до склада 3; б) от склада 1 до склада 8; в) от склада 4 до склада 8.

15.Замена оборудования. Рассмотрите пример фирмы «Таксолюкс», показанный на рис. 6.10.

а) Покажите на сети маршрут, соответствующий замене оборудования в начале 3-го и 5-го годов, в начале 2-го и 5-го годов, в начале 3-го и 4-го годов, только в начале 3-го года, только в начале 4-го

года. Определите соответствующие затраты в течение всего плано-

ния в течение одного, двух, трех, четырех и пяти последовательных периодов составляют соответственно 1, 3, 6, 10 и 15. Предположим также, что если аренда оборудования продолжается в течение одного, двух, трех, четырех или пяти последовательных периодов, то арендная плата составляет соответственно 5, 9, 13, 16 или 19. Эти арендные платежи увеличиваются на единицу в каждый период. Например, если оборудование взято в аренду в начале третьего периода и аренда продлена на один, два или три последовательных периода, то арендная плата составит соответственно 7, 11, 15. Вычислите каждое Сц по этим данным.

д) Пусть все сц ^> 0. Покажите, что ограничения (2) можно записать в виде неравенств ^-. Сформулируйте соответствующую двойственную задачу максимизации.

и каждая бригада нанимается не менее чем на один период, но не более чем на четыре. Выполните все пункты упражнения 19 при этих условиях.

21. Календарнсе планирование трудовых ресурсов. Предположим, что в модели разд. 6.7 величина п = 6. Обозначим заработную плату бригады в периоде k символом u?ft, где

wi = 100, и?а = 150, w3 = 180, «74 = 200, w5 = 120.

Найм бригады, которая должна начать работать в периоде k, обходится в gh единиц, где

точек (узлов). Постройте связную сеть, используя ровно пять дуг.

узлов сети общего вида, содержащей р узлов, в конечный узел. Предположим, что эти кратчайшие пути являются единственными. Тогда решение будет представлять собой некоторое множество ориентированных путей, заканчивающихся в конечном узле. Упростите структуру сети, исключив из нее все дуги, не принадлежащие ни одному из найденных путей. Поясните, почему в результате получится связная сеть, почему она не содержит контуров и почему в ней имеется ровно р — 1 дуг.

24. Многопродуктоеая сеть. Рассмотрите пример, приведенный на рис. 6.22. Составьте полную матрицу для этой модели с учетом ограничения, что сбщий поток всех продуктов по дуге не должен

УПРАЖНЕНИЯ НА ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ

27. Фирма «Всякая всячина», выпускающая лезвия для бритв, объявила о переходе к производству совершенно новых лезвий улучшенного качества. Реакция потребителей на проведенную фирмой рекламную кампанию оказалась вполне удовлетворительной. Фирма имеет два предприятия и три оптовых склада, размещенных в различных географических пунктах США. Лезвия на склады доставляются по железной дороге партиями. Выпуск лезвий в течение одного месяца на предприятиях 1 и 2 составляет Si = 100 и 52 = 200 соответственно. Возможности сбыта на складах 1, 2 и 3 в течение этого месяца равны соответственно DI = 150, D2 = 200 и D3 = 250. Как видно, возможный сбыт, т. е. спрос, значительно превышает поставки, вследствие чего часть потребностей останется неудовлет-

воренной.

Предположим, что транспортные расходы на доставку одного вагона лезвий с предприятия i на склад j равны t t j и что доход от сбыта этого вагона на складе j равен р]. (Фирма может продавать свои лезвия по различным ценам в различных пунктах страны.)

а) Постройте транспортную модель с целевой функцией, тождественной прибыли. Укажите, каким образом вычисляется каждый коэффициент ci}, входящий в целевую функцию.

б) Постройте соответствующую матрицу, аналогичную показанной на рис. 6.2, а. Обязательно проставьте значения всех S^ DJ

иctj.

28.Фирма «С дальним прицелом» должна выполнить обязательства по поставке DI, D2, . . ., DN единиц своей продукции в течение

258 ГЛАВА 6

должительность рейса из порта в порт (в сутках) в обоих направле-

Предположим, что в день 1 три судна находятся в порту X и три — в порту Y. Пусть затраты, связанные с возвращением судна в порт X из портов 4, В и С, равны соответственно рА, рв и рс, а затраты, связанные с возвращением в порт Y, равны qA, qB и g<>

Руководство компании «Синбад-пароход» стремится найти маршруты из портов А, В и С в порты X и Y, при которых минимизируются общие затраты. Покажите, как можно решить эту задачу, используя транспортную модель.

Пусть поставщик соответствует дате t, порту назначения i, т. е- в день t одно или более судов (в зависимости от приведенного выше расписания рейсов) прибывают в порт назначения i (порт А, В или С) и готовы отплыть в порт отправления (порт X или Y). Так, например, поскольку при t = 6 одно судно должно выйти из порта X в порт С и этот рейс имеет продолжительность два дня, то у поставщика имеется по крайней мере одно судно (6 -f 2, С).

Пусть потребитель соответствует дате t, порту отправления j, т. е. в день t одно или более судов (в зависимости от приведенного выше расписания рейсов) отплывают из порта отправления / (порт X или У). Так, например, потребитель определяется парой (9, X).

Заметим, что возникают ситуации, когда некоторые поставщики не могут удовлетворить спрос определенных потребителей. Например, поставщик (6 -f- 2, С) не может удовлетворить спрос потребителя (9, X), так как рейс из порта С в порт X занимает

два дня.

Постройте матрицу транспортной задачи, описывающую структуру модели. Обязательно укажите соответствующие величины S(, DJ и c i j . Отметьте в матрице допустимое решение и интерпретируйте его, сопоставив с фактическим расписанием движения шести грузо-

вых судов.

30. Рассмотрите вновь пример компании «Синбад-пароход» (упражнение 29). Предположим, что независимо от транспортных затрат фирма хочет найти минимальное число судов, необходимых для обеспечения принятого расписания рейсов. Покажите, как решить эту задачу, используя транспортную модель. Постройте матрицу транспортной задачи, определяющую структуру такой модели. Обязательно укажите соответствующие величины St,Dj и сц.