Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
6.68 Mб
Скачать

100

ГЛАВА 2

зуется показателями, указанными в таблице на рис. 2.3. Предполагается, что технологические условия остаются неизменными, а все прочие показатели (запасы химических компонентов, спрос на каждый вид продукции и доход в расчете на единицу продукции) в различные периоды оказываются разными. Как изменится модель, если:

1)излишки химических компонентов 1 и 2 можно складировать

втечение одного периода, с тем чтобы использовать их (по необходимости) в последующие периоды;

2)продукты 1, 2 и 3, произведенные в течение того или иного периода, можно складировать, с тем чтобы реализовать их в последующие периоды. Все необходимые обозначения читатель может ввести самостоятельно.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

 

30. У фирмы «Гидрокран» имеется

две фабрики: одна из них

находится на

Восточном

побережье, другая — на Западном побе-

режье. Чтобы

различать

эти фабрики,

воспользуемся индексом i

(i = 1, 2). Для

простоты предположим, что обе фабрики выпускают

водопроводные краны одного и того же типа. Фирмой разрабатывается календарный производственный план (план выпуска продукции) на два ближайших квартала (которые назовем условно период 1 и период 2). В каждый из этих периодов производственная мощность фабрики i равняется Lt.

Водопроводные краны доставляются фирмой на два пункта сбыта (пункт 1 и пункт 2). Чтобы различать эти пункты, воспользуемся индексом ; (/ = 1, 2). Минимальный спрос, удовлетворить который

требуется через пункт ; к концу периода t,

равен Rtj (t = 1, 2;

i = i, 2).

 

 

 

 

Введем следующие обозначения:

 

 

 

 

xt — количество водопроводных кранов, изготовленных на фабри-

ке i и доставленных на пункты сбыта к концу первого квартала;

 

yt — количество водопроводных кранов, изготовленных на фабри-

ке i и доставленных на пункты сбыта к концу второго квартала;

 

Sj — количество водопроводных кранов, изготовленных на фабри-

ке

i и заскладированных в конце первого

квартала;

 

 

 

Z j j — количество водопроводных кранов, доставленных

с

фабри-

ки

г на пункт / к концу первого квартала;

 

 

 

 

v t j — количество водопроводных кранов, доставленных

с фабри-

ки i на пункт ;' к концу второго квартала;

 

 

 

 

W) — количество водопроводных кранов, хранящихся

на

складе

в пункте j в конце первого квартала.

 

 

 

 

Дополнительные обозначения читатель может ввести самостоя-

тельно по мере необходимости.

 

 

 

 

Фирмой продиктовано следующее условие: суммарный

объем

продукции, выпускаемой в течение указанных двух кварталов фаб-

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

101

рикой 1, должен составлять не менее 80% объема продукции, выпускаемой за этот период фабрикой 2. Поскольку возможности складских помещений ограничены, в конце первого квартала фабрикой i может быть заскладировано не более s, водопроводных кранов.

Себестоимость водопроводного крана, изготовленного на фабрике г, равняется Pf. Расходы на хранение одного водопроводного крана, отправленного на склад в конце первого квартала фабрикой i, составляют kt. Стоимость хранения одного крана, заскладированного в конце первого квартала в пункте /, равняется h]. Перевозка одного водопроводного крана с фабрики i на пункт j обходится фирме в ctj. Допустим, что по сравнению с интервалом времени в один квартал время, необходимое для транспортировки готовой продукции к пунктам сбыта, ничтожно мало (практически равно нулю), так что продукция, отправляемая на пункты сбыта в течение квартала, прибывает на эти пункты до истечения квартала.

Требуется показать, каким образом с помощью линейного программирования можно определить оптимальный уровень производства для каждой фабрики, а также построить оптимальный график перевозок готовой продукции с мест производства на пункты сбыта.

31. У компании «Сталълитье» имеется два горнообогатительных завода (будем их различать с помощью индекса г). Каждый из этих заводов перерабатывает железную руду, получая при этом два различных вида литого железа (будем их различать с помощью индекса s). Литое железо поставляется на три металлообрабатывающих завода (будем их различать с помощью индекса /). Каждый завод производит два вида продукции (индексу). Фирма разрабатывает текущий план, стремясь минимизировать тоннаж железной

руды, подлежащей переработке на горнообогатительных

заводах,

с

учетом производственно-технологических

условий и ограничений

на

уровень сбыта.

 

 

 

 

Пусть управляемыми переменными являются

следующие:

 

х — суммарный тоннаж железной руды, перерабатываемой на гор-

нообогатительных заводах;

 

 

 

 

J/s/r — суммарный тоннаж железной

руды,

перерабатываемой

горнообогатительным заводом г на литье

s-ro сорта для

отправки

на

металлообрабатывающий завод /;

 

 

 

 

z sp/ — суммарный тоннаж литья s-ro сорта, израсходованного для

изготовления продукции р-го вида на металлообрабатывающем завоДе /.

К

числу технологических характеристик относятся следующие:

аег

— вес литья s-ro сорта, получаемого из 1 т железной руды

на

горнообогатительном заводе г;

 

bspf

— объем

продукции р-то вида, получаемой из 1 т

литья

s-ro

сорта на металлообрабатывающем заводе /;

 

сг — максимальное количество (в тоннах) железной руды,

кото-

рое

может быть

переработано на горнообогатительном заводе г;

102

ГЛАВА

2

kj — максимальное

количество

литья обоих сортов, которое

может быть переработано в процессе получения обоих видов продукции на металлообрабатывающем заводе /;

Dp — спрос на продукцию р-го вида (в тоннах). Производственно-технологические и коммерческие условия фор-

мулируются следующим образом:

1) суммарный тоннаж железной руды, перерабатываемой обоими горнообогатительными заводами, должен быть равен тому тоннажу, который расходуется для получения литья в объеме, предусмотренном для поставки металлообрабатывающим заводам обоими горнообогатительными заводами;

2)суммарный тоннаж железной руды, перерабатываемой на горнообогатительном заводе, ограничен производственными мощностями данного завода;

3)суммарный тоннаж литья, расходуемого металлообрабатывающим заводом для получения готовой продукции, должен равняться количеству литья, поставляемого на данный завод горнообогатительными заводами;

4)суммарный тоннаж литья, перерабатываемого на металлообрабатывающем заводе, ограничен производственными мощностями

данного завода; 5) суммарный объем каждого вида продукции должен в точно-

сти соответствовать имеющемуся на него спросу.

Требуется:

а) построить для данной задачи модель линейного программи-

рования; 6) доказать приемлемость используемой целевой функции или

предложить другой, более удачный вариант.

32. Внутренняя телефонная сеть фирмы «Вавилон» при существующей конфигурации оказывается не в состоянии удовлетворить требованиям нормального функционирования в периоды ее макси-

мальной загрузки.

В данной

сети (рис.

2.15) телефонные звонки

поступают из точек

1 и 2 и адресованы в точки 5, 6 и 7; сигналы

распространяются

по линиям

связи и

коммутируются в точках

З и 4 .

 

 

 

Задача заключается в том,

чтобы увеличить возможности теле-

фонной сети при минимальных

затратах. При этом речь идет не о на-

ращивании пропускной способности сети до такой степени, чтобы даже в периоды максимальной загрузки все коммуникационные потребности фирмы были удовлетворены (это было бы связано со слишком большими затратами), а лишь о частичном совершенствовании существующей сети телефонной связи.

Обозначим через ац максимальную интенсивность телефонных вызовов, возникающих в точках i (£ = 1, 2) и адресованных в точки ; (/ = 5, 6, 7). Пусть при этом Chj означает существующую пропускную способность на линии между коммутатором k и абонентом /'

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ЮЗ

(& = 3, 4; / = 5, 6, 7). Через Sh обозначим существующую пропуск-

ную способность

коммутатора

k.

 

 

Введем также

следующие

обозначения:

 

 

Xfkj — число

вызовов, возникающих в

точке

i, адресованных

в точку / и проходящих

через

коммутатор

/с;

 

СЮ — дополнительная пропускная способность линии между ком-

мутатором k и абонентом /;

 

 

 

S)j — дополнительная

пропускная способность

коммутатора k.

Коммутаторы

Ъыэов

X X ^& Абоненты

Р и с . 2.15.

Имеют место следующие ограничения:

1)интенсивность вызовов, возникающих в точках 1 и 2 и адресованных в точки 5, 6 и 7, не может быть больше той, которая имеет место в периоды максимальной загрузки телефонной сети;

2)суммарное количество телефонных переговоров, обслуживаемых линией связи «коммутатор — абонент», ограничено пропускной способностью этой линии;

3)суммарное количество телефонных переговоров, обслуживаемых коммутатором, ограничено пропускной способностью последнего;

4)дополнительные пропускные способности линий связи и коммутаторов не должны превышать существующих.

Требование к уровню обслуживания формулируется следующим образом: отношение суммарного количества действительно реализуемых телефонных переговоров к суммарному количеству телефон-

ных вызовов в период максимальной загрузки сети должно быть

не менее / (/ < !)• Стоимость увеличения на одну единицу пропускной способности

линии связи между коммутатором k и абонентом j равняется dhf, стоимость увеличения на одну единицу пропускной способности коммутатора равняется dk.

Требуется продемонстрировать возможности линейного программирования в связи с разработкой наиболее экономичного плана, предусматривающего увеличение пропускной способности линий связи и коммутаторов при наличии указанных выше ограничений.

ГЛАВА 3

Алгебраическое и геометрическое представления линейных оптимизационных моделей

3.1.ВВЕДЕНИЕ

Вгл. 2 был рассмотрен ряд линейных оптимизационных моделей. При этом в большинстве случаев ограничения записывались в форме,

являющейся непосредственным отображением словесных описаний. Вопросы перехода от одной возможной математической записи той или иной задачи к другой, ей эквивалентной, обсуждались лишь весьма поверхностно. Не было подробно показано, с какой степенью гибкости следует подходить к выбору конкретной математической формулировки той или иной задачи. Ниже этим вопросам уделяется должное внимание.

Первые разделы данной главы посвящены изучению различных по форме, но математически эквивалентных представлений линейных ограничений. Излагаемые здесь методы представляют практический интерес по двум причинам. Во-первых, они помогают сформулировать любую конкретную задачу в таком виде, когда оказывается практически возможным нахождение ее численного решения с помощью математических приемов, изложенных в гл. 4 и 5. Во-вто- рых, они позволяют придать математической модели форму, облегчающую в дальнейшем применение для ее анализа мощных математических методов.

В конце данной главы рассматриваются наглядные геометрические представления линейных оптимизационных моделей. Разумеется, двумерных и трехмерных геометрических построений далеко не достаточно для решения задач большой размерности, встречающихся на практике. Тем не менее рассмотренные примеры способствуют развитию интуиции, помогающей анализировать модели линейного программирования.

Тем, кто стремится как можно быстрее познакомиться с численными методами решения задач линейного программирования, можно посоветовать перейти сразу же к изучению гл. 4. К материалу, изложенному в данной главе, можно вернуться позднее.

3.2. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ В ОБЩЕМ ВИДЕ

Математические представления, сформулированные для ряда моделей в гл. 2, можно обобщить следующим образом. [Пусть Xj есть /-я управляемая переменная (/ = 1, 2, . . ., п). Требуется опре-

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ 105

делить такие значения ж/, чтобы выражение

р2Х2 + . . . + рпХп

в зависимости от содержания задачи было максимизировано или минимизировано. На Xj наложен ряд ограничений, каждое из которых относится к одному из следующих типов:

• • • + апхп а,

+Ь2х2 + . . . + bnxn = Ъ,

+С2Х2 + . . . + СпХп < С.

Кроме того, может иметь место ограничение

Xj ^0.

Задача оптимизации

при такого вида ограничениях:

1) может не иметь ни одного допустимого решения, т. е. может

не существовать таких

значений переменных Xj (j = 1, 2, . . ., п),

которые удовлетворяли

бы всем ограничениям;

2) может иметь единственное допустимое

оптимальное решение j

3)может иметь несколько допустимых оптимальных решений;

4)может иметь такое допустимое решение, для которого целевая функция оказывается неограниченной, т. е. значение целевой функции может быть сделано сколь угодно большим для задачи максимизации или сколь угодно малым для задачи минимизации за счет

выбора соответствующего

допустимого решения 1).

В гл. 2 на отдельных

примерах было показано, что возможны

различные представления линейных соотношений, характеризующих линейную оптимизационную модель. В частности, в модели, рассмотренной в разд. 2.7, знак неравенства в (3) был заменен на обратный после изменения знака каждой из фигурирующих в данной модели констант.

Переход от максимизации к минимизации. В линейном программировании любая задача максимизации может быть сведена к эквивалентной задаче минимизации (и наоборот), если одновременно с изменением «знака» оптимизации произвести изменение знаков

перед^всеми коэффициентами в

выражении для целевой

функции.

 

 

 

п

 

 

Так, например,

максимизация

V CjX,

эквивалентна минимизации

 

 

з=1

 

 

Vп (—С]) х3. Если при этом V

— оптимальное значение

линейной

i=i

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формы V (—Cj)

Xj, то —V представляет

собой оптимальное значение

3=1

п

линейной формы

 

 

3=1

!) Такая ситуация может иметь место в задаче коммерческого арбитража, рассмотренной в разд. 2.5.

106

ГЛАВА 3

Переход к эквивалентной системе неравенств. Каждое из неравенств, фигурирующих в модели линейного программирования, можно записать в инверсивной форме, если учесть, что

п

п

 

~ y \ a j X j ^ . b

эквивалентно У] (— aj)zj> Ь.

(1)

3=1

3=1

 

Так, например, неравенство

ixi 2 ^ —4 эквивалентно неравенству -lst + 1я2 > 4.

Обращение неравенства в равенство. Любое фигурирующее в линейной модели неравенство можно представить в виде равенства, если ввести в рассмотрение новую неотрицательную переменную,

следующим образом:

 

 

п

 

 

^b

можно записать в виде

У\ a,jXj-\- \s = b,

где

s > 0,

 

 

3=1

 

(2)

 

 

 

 

 

 

и

 

 

>. Ь

можно записать в виде

2 ЯЯ^—l£ = 6,

где

t > 0.

7 = 1

3=1

 

 

(3)

 

 

 

 

Переменную типа s в (2) принято называть остаточной переменной, а переменную типа t в (3) обычно называют избыточной переменной 1).

Так, например, в задаче, рассмотренной в разд. 2.2, ограничение на количество имеющегося в наличии материала Y имело вид

7xi + 5х2 + Зх3 + 2хь ^ 120.

Эквивалентная форма представления для данного ограничения выглядит следующим образом:

7xi + 2 + Зх3 + 2хь + 1г/ = 120, где у > 0.

Здесь г/ интерпретируется как остаток (или неиспользованная часть) материала Y, т. е. у является остаточной переменной.

Аналогично для модели, представленной в разд. 2.3, ограничение, относящееся к ингредиенту А, можно записать в виде

2xi + 3z2 + 3 — ia = 1250, где а > 0.

В этом случае а интерпретируется как мера превышения потребности в ингредиенте А, т. е. а является избыточной переменной.

Обращение равенств в неравенства. Любое линейное уравнение, а также любую систему линейных уравнений можно представить

г) Как правило, используется общее для обоих типов название «свободная переменная».— Прим. перев.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ 107

в виде некоторой совокупности линейных неравенств с помощью одного дополнительного ограничения. С целью пояснения этого утверждения заметим, что равенство х = 8 эквивалентно комбинации неравенств х ^8 и х ~^> 8, которая в свою очередь может быть записана в виде пары неравенств х ^ 8 и —х ^ —8. Как нетрудно проверить графически, система уравнений х = 1, у — 2 эквивалентна комбинации неравенств х ^. 1, у ^.2, х -}- у ~^- 3, которую в свою очередь можно представить в виде х ^ 1, у ^ 2, —х — у ^ —3. Изложенные выше соображения допускают следующее обобщение:

 

 

п

 

 

 

систему

уравнений 2аг'Л'= ^

(£ = 1,

2, . . ., wi)

(4)

 

 

3=1

 

 

 

можно записать

в

виде

 

 

 

п

 

 

п

 

 

2 atixj

< bi (i= 1, 2, . . ., m),

2ajxj

< P'

(5)

3=1

 

j=l

 

 

 

где

 

 

 

 

 

a;- = - S a,*

P = - S bi.

(6)

 

1=1

i=l

 

Таким образом, при т = 1 соотношения (5) сводятся к

 

п

 

п

 

3=1

3=1

*i-

(7)

 

 

В качестве примера

рассмотрим систему уравнений

 

IXj

-(- 1*2 = 1»

 

2a;4

— 4r3

= —5.

 

С помощью формул (5) и (6) нетрудно показать, что эта система экви-

валентна следующей системе

неравенств:

iXi + 2

^ 1,

2%i 3 ^ —5, —3xi — lxz + 4х3 ^ 4.

Переход от переменных, не имеющих ограничения в знаке, к неотрицательным переменным. Когда для некоторого j значение переменной Xj, фигурирующей в той или иной линейной модели, не ограничено в знаке, в процессе нахождения численного решения оказываются полезными следующие два типа преобразований. Преобразование первого типа заключается в следующем. Вначале выбирается одно из ограничений, содержащее переменную Xj и записанное в виде равенства (т. е. в виде линейного уравнения). Это всегда можно сделать (возможно, после обращения неравенства в равенство). Затем

108

ГЛАВА 3

это уравнение разрешается относительно X) и полученный результат

подставляется

во все остальные линейные ограничения, а также

в выражение для целевой функции. После этого производятся упрощения путем приведения подобных членов.

Предположим, например, что в соотношении (1) переменная xt

не ограничена

в знаке. Тогда [после обращения

(1) в равенство]

 

3=2

 

Правую часть

соотношения (8) требуется теперь

подставить вместо

Xi всюду, где только эта переменная фигурирует в модели. Легко убедиться, что полученные в результате такой подстановки соотношения сохраняют линейный характер и содержат все переменные, кроме #1.

В процессе нахождения оптимального решения на соотношение, полученное в результате решения относительно Xj выбранного вначале уравнения, можно не обращать внимания. Это соотношение позволит вычислить Xj после того, как будет получено решение для остальных переменных.

Преобразование второго типа состоит в том, что х; полагается равным разности двух неотрицательных переменных и затем эта

разность подставляется вместо переменной xj

всюду, где

она фигу-

рирует. Другими

словами, полагается

 

 

Xj

== x'j x'j, где х] ^0 и

х] ^- 0.

(9)

Таким образом, данное преобразование увеличивает число переменных в модели, сохраняя линейность, имевшую место в исходных

соотношениях. Правомерность подстановки (9) требует

доказатель-

ства. Но поскольку это доказательство

не сопряжено

со сколько-

нибудь значительными трудностями,

читатель может

справиться

с ним самостоятельно.

Преобразование третьего типа^тееяе связанное с соображениями, с помощью которых были получены соотношения (4) — (6),"заключается в добавлении к каждой переменной x'j, не имеющей ограничения в знаке, одной и той же неотрицательной переменной z с последующим обращением

Xj s= x'j z,

где x'j ^0 и z ^- 0.

(I)

Пусть переменная Xj для

/ = 1, 2, . . ., k ^ п не ограничена

в знаке. Тогда ограничения

 

 

 

)

(II)

3=1

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ 109

преобразуются

к

виду

 

 

 

 

 

h

 

n

 

 

 

 

 

^aijx'j+

 

2 aijXj

—a.iZ = bi

(i = 1, 2, ..., т),

(III)

j=l

 

j=h+i

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«i = S «г;

(t = 1, 2, . . .,

те).

(IV)

 

 

 

з=1

 

 

 

 

 

Переход от

переменных,

значения

которых

ограничены

снизу,

к неотрицательным

переменным. Когда Xj ограничена снизу

неко-

торой константой

bj

=^= 0, возможен переход к такой формулировке

задачи линейного программирования, в которой вместо Xj фигури-

рует неотрицательная

переменная

x'j.

Это достигается

с помощью

преобразования

 

 

 

 

х}

= b} + x'j,

где

x'j > 0,

(10)

и последующей подстановки правой части соотношения (10) вместо переменной Xj всюду, где она фигурирует.

3.3.КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

В последующих главах мы убедимся, насколько удобно представлять любую линейную оптимизационную модель в компактном и полностью детерминированном виде. Различного рода преобразования, рассмотренные выше, вполне позволяют справиться с этой задачей, несмотря на то что в настоящее время существует большое разнообразие канонических форм, находящих практическое применение. Рассмотрим канонические представления следующих двух типов.

Любую задачу линейного программирования можно рассматривать как задачу

 

n

 

максимизации 2cixi

(1)

 

i=l

 

при наличии ограничений

 

 

и

 

 

^atjxj^bi

(i = l,2, ...,т),

(2)

3=1

 

 

xj>0

(/=1,2,..., п).

(3)

Одновременно любую задачу линейного программирования можно свести к

n

минимизации 2cixi

(4)

3=1