Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

Такая форма записи является чрезвычайно неудобной. При построении моделей желательно избегать подобных громоздких формул, когда почленно, начиная с периода 1 и кончая периодом Т, выписываются все компоненты целевой функции, имеющей вид суммы стоимостных характеристик для каждого из рассматриваемых периодов. Длинные выражения целесообразнее представлять в сжатой форме с помощью общепринятого знака суммы Е (сигма), который часто

динамического (мультивременного) плана. Например, решение увеличить на тот или иной период число рабочих, занятых в производстве, естественно сразу же сказалось бы на соответствующих денежных затратах. Однако такое решение может привести к сокращению используемой на производстве рабочей силы в будущем, если планом предусматривается создание к концу этого периода определенных запасов. В точности так же экзогенное повышение уровня сбыта в тот или иной период может вызвать необходимость пересмотра планов относительно использования рабочей силы на протяжении целого ряда предшествующих периодов. Приведем еще один пример: политика временного неиспользования части рабочих на производстве может сложным образом отразиться на ситуации в будущем и привести к уменьшению потребностей в найме новых рабочих в последующий период. Читателю предоставляется случай самостоятельно ответить на вопрос, в чем мог бы руководитель фирмы видеть полезность рассмотренной выше модели.

|* В начале данного раздела упоминалось о том,что возможны различные, но, разумеется, математически эквивалентные методы рассмотрения такого рода моделей. Проиллюстрируем это путем приведения соотношений, содержащихся в таблице на рис. 2.6, к другому имеющему физический смысл эквивалентному виду. Для этого проделаем следующие операции:

так называемую сетевую структуру, которая приводит к оченьпростому табличному представлению. Типичный пример такого рода моделей и пояснения по поводу того, почему рассматриваемая задача эквивалентна сетевой, приводятся ниже. Укажем, однако, сразу же специфические особенности табличного представления таких моделей, с тем чтобы читатель мог с первого взгляда их распознавать.

Сетевая структура обладает той особенностью, что во всех ограничениях коэффициенты при управляемых переменных могут принимать одно из двух ненулевых значений, а именно +1 или — 1 в соответствии с установленным правилом выбора знака. В тех случаях, когда возможны два значения, одно из них равняется -fl,

а другое —1. При наличии такой структуры задачу можно свести

коптимизации потоков однородной продукции на некоторой сети. Иногда для выявления сетевой структуры той или иной задачи уравнения соответствующей модели необходимо преобразовать. Под-

робному рассмотрению сетевых моделей посвящена гл. 6.

В порядке напоминания. В предыдущем разделе отмечалось, что

использование знака суммирования У] в значительной степени сокращает количество записей в случае, когда имеют место длинные выражения. Это еще раз подтверждается на описанной ниже модели. Тем, кому не приходилось слушать лекции по статистике (или же приходилось, но слишком давно), необходимо освежить в памяти

правила использования символа 2- Попытаемся пояснить этиправила с помощью примеров. (Если читатель с ними знаком, он может перейти сразу же к рассмотрению предлагаемой модели.)

1. Пусть мы имеем сумму

С&1 + С2Х2 + С&з + С&Ь + • • • + СпХп.

С помощью знака 2 данная сумма принимает вид

п

S

где в качестве так называемого индекса суммирования может быть выбрана любая «удобная» буква. Так, например, приведенную выше сумму можно было бы записать, используя другой индекс:

2. Выражение

dzy2 + ...-)- Cnxn + dnyn

74 ГЛАВА 2

3. Допустим, что все коэффициенты cs в приведенных выше выражениях равны между собой; пусть, например, с, = 5. Тогда выражению

можно придать следующий простой вид:

5 2 х . i=i }

4. Рассмотрим выражение

«a^i + ai2x2 + aisxa + • • • + atnxn.

Здесь коэффициент при каждом х, обозначен через atj, где индекс г фиксирован, но не задан в виде конкретного числа. Данное выражение можно записать следующим образом:

п

2 ацХ].

3 = 1

5. Пусть суммирование проводится по двум индексам

спхц + ci2xiz + c2ixZi + c22x2z + C3ix3i + c32X3Z.

•Заметим, что первый индекс принимает значения 1, 2 и 3, тогда как второй — значения 1 и 2, кроме того, имеют место все возможные комбинации этих индексов. Это так называемое двойное суммирование можно записать сокращенно в виде

32

/1 / > СцХц»

1=1 3=1

Приведенные выше примеры исчерпывают почти все возможные

варианты использования символа 2 в Данной книге.

Пример. Крупная молочная фирма (назовем ее «Кислое молоко») имеет т заводов, которые находятся в различных районах одного из штатов. Ежедневно производство молочной продукции на заводе г (i = 1, 2, . . ., т) не превышает St литров. Чтобы удовлетворить имеющийся спрос, фирма должна ежедневно поставлять на каждый из п пунктов сбыта не менее DJ (/ = 1, 2, . . ., п) литров свежей продукции. Экономическая задача заключается в том,чтобы определить, какие сливные пункты какими заводами следует обеспечить, чтобы транспортные издержки были минимальными.

Пусть Xij — число литров молока, поставляемого на /-и сливной пункт j-м заводом, а с^ — соответствующие транспортные расходы

zz

*22 *23 2п

Мзз

*32 хзз

Ри с. 2.8. Транспортное расписание.

врасчете на один литр. Математически задача формулируется следующим образом:

Читателю предоставляется возможность интерпретировать ограничения (2) и (3), а также записать (1), (2) и (3) для случая, когда т = 3,

всегда можно найти допустимый график перевозок, когда используется не более т + п — 1 маршрутов. Как показано в гл. 6, при

76 ГЛАВА 2

Пункт сбыта

сформулированных выше условиях существует также оптимальное

Р и с . 2.10. Пример транспортной сети.

Отличительной чертой сетевой модели, определяемой соотношениями (1)— (4), является то, что в случае, когда имеет место хотя бы одно допустимое решение, всегда существует оптимальное решение, для которого все хц принимают целочисленные значения (при условии, если £г и DJ принимают целые значения). Более тщательно этот результат рассматривается в гл. 6. Вообще же говоря, сетевые модели, характеризующиеся наличием ассоциированных с различными дугами «выигрышей» и «проигрышей», не обладают свойством целочисленности оптимальных решений.

2.8. ЗАДАЧА ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО ТРАНСПОРТНОГО МАРШРУТА

Перейдем к рассмотрению еще одной исключительно важной задачи сетевого характера (более подробно эта задача обсуждается в гл. 6 и 10). Пусть имеется сеть, наглядно представленная на рис. 2.12

няющей рассматриваемые узлы, либо по ряду дуг через промежуточные узлы, если / — i > 1. Так, например, путь от узла 1 к узлу 5 может быть прямым (вдоль дуги (1, 5)), «окольным» (вдоль (1, 3), (3, 5)) или же вдоль (1,3), (3, 4), (4, 5). Аналогично можно указать возможные пути для любой другой пары узлов.

Допустим, что с перемещением вдоль каждой дуги (i, /') связаны

изображение модели на рис. 2.12 сделано без учета длин дуг (i, j). Так, например, в конкретной задаче значение с15 могло бы быть либо меньше, либо больше значения с13 -f c35. Как правило, ci} ^- 0; однако в рассматриваемом случае в таком предположении нет никакой необходимости.

Возникновение такого рода сети можно проиллюстрировать следующим образом. Представим себе фирму, занимающуюся перевозкой грузов. Предположим, что данной фирме необходимо взять.

в аренду на четыре года определенное количество транспортных средств. Фирма может удовлетворить свои потребности, взяв нужное

средств в течение четырех лет. Возможен другой вариант: фирма может арендовать дополнительное количество транспортных средств на срок с начала первого до начала третьего года, а затем взять в аренду другое количество транспортных средств на срок с начала третьего до начала пятого года. Во втором варианте затраты, включающие те же компоненты, что и в первом случае, равняются ci3 -f- 4- с35. В большинстве случаев с15 ^= с43 + с36- В поисках стратегии, обеспечивающей минимальные затраты, можно, естественно, рассмотреть и ряд других вариантов. В этом смысле сетевая модель, изображенная на рис. 2.12, является иллюстрацией задачи динамического планирования.

Вопросы, ответы на которые требуется дать в связи с рассмотрением сети, представленной на рис. 2.12, связаны с нахождением наилучшего маршрута из узла 1 в узел 5. Эти вопросы можно поста-

2. Какой маршрут от узла 1 до узла 5 сопряжен с наименьшими затратами?

Интуиция подсказывает, что, отвечая на один вопрос, мы одновременно получаем ответ и на другой вопрос. Однако, переходя к построению модели линейной оптимизации, мы будем искать ответ на каждый вопрос отдельно, а затем проанализируем взаимосвязь между сформулированными выше задачами. Начнем с первого вопроса.

Затраты, связанные с использованием наиболее дешевого маршрута. Пусть

yt — затраты, связанные с использованием наиболее дешевого маршрута от узла i до узла 5, где i принимает одно из значений i = 1, 2, 3, 4.

Можно определить z/;, подсчитав затраты для прямого маршрута от узла 1 до узла / (; >г)и прибавив к нимзатраты для оптимального маршрута от узла j до узла 5. Наименьшие из всех производимых при этом затрат определяют значение yt. Математически это можно сформулировать следующим образом: