Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
6.68 Mб
Скачать

70

ГЛАВА 2

 

Построение целевой функции также не вызывает затруднений,

а

именно требуется

 

минимизировать [(c^i + 481 + hi^i + /ij/i + n\d^ +

 

+ (czez + izsz + hzxz + fzy2 + nzdz) +

 

h3x3 + /3j/3 + Мз) + (1)

 

fTyT -f nTdT)].

Такая форма записи является чрезвычайно неудобной. При построении моделей желательно избегать подобных громоздких формул, когда почленно, начиная с периода 1 и кончая периодом Т, выписываются все компоненты целевой функции, имеющей вид суммы стоимостных характеристик для каждого из рассматриваемых периодов. Длинные выражения целесообразнее представлять в сжатой форме с помощью общепринятого знака суммы Е (сигма), который часто

будет встречаться ниже и особенно в разделах,

посвященных

стати-

стическим методам. В частности, выражение

(1)

можно записать

в следующем виде:

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

минимизировать [ 2 (cttt + itst + htxt + ftyt

-f- ntdt] .

(2)

Приведенная

на рис. 2.6

таблица дает достаточно полное

пред-

ставление о тех

трудностях,

которые возникают

при составлении

динамического (мультивременного) плана. Например, решение увеличить на тот или иной период число рабочих, занятых в производстве, естественно сразу же сказалось бы на соответствующих денежных затратах. Однако такое решение может привести к сокращению используемой на производстве рабочей силы в будущем, если планом предусматривается создание к концу этого периода определенных запасов. В точности так же экзогенное повышение уровня сбыта в тот или иной период может вызвать необходимость пересмотра планов относительно использования рабочей силы на протяжении целого ряда предшествующих периодов. Приведем еще один пример: политика временного неиспользования части рабочих на производстве может сложным образом отразиться на ситуации в будущем и привести к уменьшению потребностей в найме новых рабочих в последующий период. Читателю предоставляется случай самостоятельно ответить на вопрос, в чем мог бы руководитель фирмы видеть полезность рассмотренной выше модели.

|* В начале данного раздела упоминалось о том,что возможны различные, но, разумеется, математически эквивалентные методы рассмотрения такого рода моделей. Проиллюстрируем это путем приведения соотношений, содержащихся в таблице на рис. 2.6, к другому имеющему физический смысл эквивалентному виду. Для этого проделаем следующие операции:

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

71

Сложим строку 1 со строкой 3; результат поместим в новую строку 3'.

Сложим новую строку 3' со строкой 5; результат поместим в новую строку 5'.

Сложим новую строку 5' со строкой 7; результат запишем в новую строку 7' и т. д.

Аналогичные операции проделаем с четными строками, начиная со строки 2 и строки 4.

Результаты выполнения указанных операций приведены в таблице на рис. 2.7. Законность такого рода преобразований вытекает непосредственно из утверждения: при сложении равенств получаем равенство. Каждая из упомянутых выше операций сводилась к сложению левых и соответственно правых частей уравнений, в результате чего получилось новое уравнение с большим числом членов.

Ограничения на сбыт в этом случае выражаются через суммарный сбыт. В каждый период t* суммарный сбыт плюс складские потери, плюс запасы в конце этого периода равняются полному объему

произведенной продукции

[строка

(2t* — 1)'], т. е.

(*

i*-l

t*

SS, +5 S ^ + 2^ = 4 Se*-

t=i

t=i

t=i

Аналогично этому ограничение в рабочей силе в период t* [строка (2t*)'] состоит в том, что рабочая сила в начальный момент времени плюс суммарное количество рабочих, принятых на работу, равняется суммарному количеству рабочих, уволенных фирмой, плюс «усушка» за счет увольнения рабочих по собственному желанию в периоды незанятости, плюс состав, занятый в данный момент времени в производстве, плюс состав, входящий в штат фирмы, но в рассматриваемый момент времени не занятый в производстве, т. е.

. (II)

i=l t=l t=l

Читателю рекомендуется закрепить навыки в выполнении такого рода преобразований на таблице, получаемой из таблицы на рис. 2.7, в случае, когда складские потери отсутствуют (т. е. когда число 20

втаблице, приведенной на рис. 2.5, заменено на число 25) и нет «усушки» рабочей силы за счет увольнения по собственному желанию

впериоды незанятости (т. е. когда в таблице, приведенной на рис. 2.5,

9 заменено на —10). Дайте интерпретацию получаемых при этом уравнений, аналогичных только что приведенным (в словесной

форме).

ei

«! xi

i/l di

e2

s2 z2

J/2 d2

«3

Ss

г/з 4«4

 

6p 5y XT Ут dy

 

Стро-

»4 x\ У4 ^4

 

ка

4

-25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ^

1'

1

— 1

1 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= PFj

4

-5

 

 

4

-25

 

 

 

 

 

 

 

= 5j+52

3'

 

—1

1

1

1

—1

1 10

 

 

 

 

 

 

= Wi

4'

4

—5

 

 

4 - 5

 

4

—25

 

 

 

=S1+...+S3

5'

 

—1

1

1

 

— 1

1 1

1

 

—1

1 10

 

 

=w,

6'

4

-5

 

 

4 - 5

 

4 - 5

 

4

-25

 

=51+..,+54 7'

 

-1 1 1

 

—1 1 1

1

 

— 1 1 1

—1 1 10

 

= Wj

8'

4

-5

4 - 5

4 - 5

 

4 — 5

 

 

4

-25

 

=Si-\-...+ST

(2Г—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1)'

 

— 1 1 1

— 1 1 1

—1

1 1

 

-1

1 1

1

-1

1 10

= Wi

(2Г)'

ci

*i «j /i »!

C2 J2 ^2 /2 «2

C3 ^3 ^3 /3 "3

c4 г4

А4

/4 re4

cr

г'т г

/r rer

Мини-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мизиро-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вать

 

 

 

Р И С . 2.7. Видоизмененная

формулировка

задачи фирмы

«Гигант»,

 

 

 

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

73

2.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКОВ ТОВАРНЫХ ПОСТАВОК

 

НА ТРАНСПОРТНОЙ СЕТИ

 

Многие важные модели линейного программирования

имеют

так называемую сетевую структуру, которая приводит к оченьпростому табличному представлению. Типичный пример такого рода моделей и пояснения по поводу того, почему рассматриваемая задача эквивалентна сетевой, приводятся ниже. Укажем, однако, сразу же специфические особенности табличного представления таких моделей, с тем чтобы читатель мог с первого взгляда их распознавать.

Сетевая структура обладает той особенностью, что во всех ограничениях коэффициенты при управляемых переменных могут принимать одно из двух ненулевых значений, а именно +1 или — 1 в соответствии с установленным правилом выбора знака. В тех случаях, когда возможны два значения, одно из них равняется -fl,

а другое —1. При наличии такой структуры задачу можно свести

коптимизации потоков однородной продукции на некоторой сети. Иногда для выявления сетевой структуры той или иной задачи уравнения соответствующей модели необходимо преобразовать. Под-

робному рассмотрению сетевых моделей посвящена гл. 6.

В порядке напоминания. В предыдущем разделе отмечалось, что

использование знака суммирования У] в значительной степени сокращает количество записей в случае, когда имеют место длинные выражения. Это еще раз подтверждается на описанной ниже модели. Тем, кому не приходилось слушать лекции по статистике (или же приходилось, но слишком давно), необходимо освежить в памяти

правила использования символа 2- Попытаемся пояснить этиправила с помощью примеров. (Если читатель с ними знаком, он может перейти сразу же к рассмотрению предлагаемой модели.)

1. Пусть мы имеем сумму

С&1 + С2Х2 + С&з + С&Ь + • • • + СпХп.

С помощью знака 2 данная сумма принимает вид

п

S

где в качестве так называемого индекса суммирования может быть выбрана любая «удобная» буква. Так, например, приведенную выше сумму можно было бы записать, используя другой индекс:

2. Выражение

dzy2 + ...-)- Cnxn + dnyn

74 ГЛАВА 2

можно записать по-разному;

в

частности,

возможны следующие

два вида записи:

 

 

 

 

П

 

П

п

 

2 (ctXi +dtyt)

и

2 ctx + 2

ui/j.

<=i

 

 

t=i

/=i

3. Допустим, что все коэффициенты cs в приведенных выше выражениях равны между собой; пусть, например, с, = 5. Тогда выражению

можно придать следующий простой вид:

5 2 х . i=i }

4. Рассмотрим выражение

«a^i + ai2x2 + aisxa + • • • + atnxn.

Здесь коэффициент при каждом х, обозначен через atj, где индекс г фиксирован, но не задан в виде конкретного числа. Данное выражение можно записать следующим образом:

п

2 ацХ].

3 = 1

5. Пусть суммирование проводится по двум индексам

спхц + ci2xiz + c2ixZi + c22x2z + C3ix3i + c32X3Z.

•Заметим, что первый индекс принимает значения 1, 2 и 3, тогда как второй — значения 1 и 2, кроме того, имеют место все возможные комбинации этих индексов. Это так называемое двойное суммирование можно записать сокращенно в виде

32

/1 / > СцХц»

1=1 3=1

Приведенные выше примеры исчерпывают почти все возможные

варианты использования символа 2 в Данной книге.

Пример. Крупная молочная фирма (назовем ее «Кислое молоко») имеет т заводов, которые находятся в различных районах одного из штатов. Ежедневно производство молочной продукции на заводе г (i = 1, 2, . . ., т) не превышает St литров. Чтобы удовлетворить имеющийся спрос, фирма должна ежедневно поставлять на каждый из п пунктов сбыта не менее DJ (/ = 1, 2, . . ., п) литров свежей продукции. Экономическая задача заключается в том,чтобы определить, какие сливные пункты какими заводами следует обеспечить, чтобы транспортные издержки были минимальными.

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

75

Пусть Xij — число литров молока, поставляемого на /-и сливной пункт j-м заводом, а с^ — соответствующие транспортные расходы

Пункт

сВыгпа

 

 

1

2

3

••• п

Завов

 

 

Предложения

\

 

 

 

zz

*22 *23 2п

Мзз

*32 хзз

Спрос D,

D2

О, • • • О„

Ри с. 2.8. Транспортное расписание.

врасчете на один литр. Математически задача формулируется следующим образом:

минимизировать

чи

(1)

 

1=1 3=1

 

при ограничениях

 

 

 

3=1

; = 1, 2, ..., тп)

(для предложения),

(2)

 

 

 

2 ж^- > DJ

( / = = 1 , 2 , . . . , тг)

(для спроса),

(3)

i=l

 

 

 

хц>в

(г = 1,2, ... ,m ;

/= 1, 2, . ...,тг).

(4)

Читателю предоставляется возможность интерпретировать ограничения (2) и (3), а также записать (1), (2) и (3) для случая, когда т = 3,

п = 4.

 

 

 

Удобное

для использования табличное

представление рассма-

 

 

m

n

триваемой ситуации дано на рис. 2.8. Если

У\ St ^ У]-Оь так что

 

 

i=i

j=i

полный спрос по крайней мере не превышает суммарного предложе-

ния (т. е.

полного объема выпускаемой

фирмой

продукции), то

всегда можно найти допустимый график перевозок, когда используется не более т + п — 1 маршрутов. Как показано в гл. 6, при

76 ГЛАВА 2

Пункт сбыта

\

1

2

3

4

 

Предложения

 

С|2

^11

 

С|4|

1

CM

 

 

 

10

ЗавоЭ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

 

 

 

 

 

2

C2I

 

С22

С23

 

С24

 

6

 

 

1

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

•\

C3I

 

С32

сзз

 

С34

 

|CL

Спрос

 

 

 

 

 

17

 

 

Р и с . 2.9. Предварительное

допустимое

решение.

сформулированных выше условиях существует также оптимальное

решение, причем такое, что используется

не более чем т -\-

п — 1

маршрутов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

построения одного из возможных

графиков

такого

рода

с числом маршрутов, не превышающим т -f

n — 1, следует

начать

с верхнего левого (или, как иногда говорят, с северо-западного)

угла

таблицы и распределять

продукцию в объеме Si по пунктам сбыта

(начиная с пункта, потребляемого D\ литров), пока S\ не будет пол-

 

.„*.*„...*„

•^21 '^-22

^23 • * •

^2П

•'•

 

 

 

 

1

1 1 1 ... -1

 

 

 

 

 

 

 

<*!

2

 

1 1

1 ...

1

 

 

 

 

<52

m

 

 

 

 

 

1 1

1 ...

1<sn

1 -1

—1

 

 

-1

 

 

<-А

2

—1

—1

 

 

 

—1

 

 

<-Д2

3

.-1

-1

 

 

—1

 

 

<-^з

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

га

—1

 

 

^

 

 

'-1

 

<-дп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С 2 1 С 2 2 С 2 3 ... С 2 П .. .

 

 

 

 

Мини-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мизи-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ровать

Р и с . 2.10. Пример транспортной сети.

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

77

ностью исчерпано. Затем аналогичные действия

проводятся

с Sz

и т. д. Таблица на рис. 2.9 является иллюстрацией

этой процедуры.

Нет необходимости объяснять, что получаемый при этом пробный маршрутный график может оказаться (и, как правило, оказывается) далеко не оптимальным.

Эквивалентные сети. Умножим на —1 каждое из соотношений (3). При этом знаки неравенства изменят направление. В результате табличное представление модели станет таким, как показано на рис. 2.10.

Заметим, что в столбце под каждым хц содержатся лишь два ненулевых коэффициента: +1 и —1. Первый соответствует выпуску продукции на заводе г, а второй — поступлению продукции на пункт сбыта ;'. Заводы и пункты сбыта можно мысленно представить в виде некоторой совокупности точек геометрического пространства, или, если обратиться к терминологии теории сетей, в виде некоторого множества узлов. Тогда каждая переменная хц соответствует потоку вдоль ориентированной линии или дуги, соединяющей i-й и ;'-й узлы, a ctj — затраты в расчете на единицу потока. Сеть для рассматриваемого примера приведена на рис. 2.11. Чтобы сделать сетевую модель полностью определенной, укажем объем продукции, выпускаемой каждым из заводов, а также уровень спроса на каждом пункте сбыта. В формулировке, типичной для транспортных моделей, задача заключается в том, чтобы распределить Sj, заданные в узлах с положительными значениями, по различным дугам так, чтобы при минимальных затратах удовлетворить «потребностям» узлов с отрицательными значениями. В научной литературе по организационному управлению такая задача часто называется транспортной задачей Хитчкока Купманса.

Наличные

Спрос

ресурсы

* nampsSumsfieu

-д..

Рис. 2.11. Транспортная сеть.

78

ГЛАВА 2

Отличительной чертой сетевой модели, определяемой соотношениями (1)— (4), является то, что в случае, когда имеет место хотя бы одно допустимое решение, всегда существует оптимальное решение, для которого все хц принимают целочисленные значения (при условии, если £г и DJ принимают целые значения). Более тщательно этот результат рассматривается в гл. 6. Вообще же говоря, сетевые модели, характеризующиеся наличием ассоциированных с различными дугами «выигрышей» и «проигрышей», не обладают свойством целочисленности оптимальных решений.

2.8. ЗАДАЧА ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО ТРАНСПОРТНОГО МАРШРУТА

Перейдем к рассмотрению еще одной исключительно важной задачи сетевого характера (более подробно эта задача обсуждается в гл. 6 и 10). Пусть имеется сеть, наглядно представленная на рис. 2.12

Р и с. 2.12. Задача определения кратчайшего

пути.

 

Отметим, что существует путь из каждого узла

i

(i = 1, 2,

3, 4)

в любой другой узел / при условии, если /' > i.

Этот путь (или мар-

шрут) может проходить либо по одной дуге, непосредственно

соеди-

няющей рассматриваемые узлы, либо по ряду дуг через промежуточные узлы, если / — i > 1. Так, например, путь от узла 1 к узлу 5 может быть прямым (вдоль дуги (1, 5)), «окольным» (вдоль (1, 3), (3, 5)) или же вдоль (1,3), (3, 4), (4, 5). Аналогично можно указать возможные пути для любой другой пары узлов.

Допустим, что с перемещением вдоль каждой дуги (i, /') связаны

соответственно затраты c t j .

Между значениями Сц не

устанавливает-

ся никакой определенной

взаимной зависимости,

а графическое

изображение модели на рис. 2.12 сделано без учета длин дуг (i, j). Так, например, в конкретной задаче значение с15 могло бы быть либо меньше, либо больше значения с13 -f c35. Как правило, ci} ^- 0; однако в рассматриваемом случае в таком предположении нет никакой необходимости.

Возникновение такого рода сети можно проиллюстрировать следующим образом. Представим себе фирму, занимающуюся перевозкой грузов. Предположим, что данной фирме необходимо взять.

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

79

в аренду на четыре года определенное количество транспортных средств. Фирма может удовлетворить свои потребности, взяв нужное

количество

транспортных средств в аренду ровно на четыре года

(с начала

первого года до начала

пятого года). Соответствующие

затраты с15

включают арендную плату, оплату за пробег и эксплуа-

тационные

расходы, связанные с

использованием транспортных

средств в течение четырех лет. Возможен другой вариант: фирма может арендовать дополнительное количество транспортных средств на срок с начала первого до начала третьего года, а затем взять в аренду другое количество транспортных средств на срок с начала третьего до начала пятого года. Во втором варианте затраты, включающие те же компоненты, что и в первом случае, равняются ci3 -f- 4- с35. В большинстве случаев с15 ^= с43 + с36- В поисках стратегии, обеспечивающей минимальные затраты, можно, естественно, рассмотреть и ряд других вариантов. В этом смысле сетевая модель, изображенная на рис. 2.12, является иллюстрацией задачи динамического планирования.

Вопросы, ответы на которые требуется дать в связи с рассмотрением сети, представленной на рис. 2.12, связаны с нахождением наилучшего маршрута из узла 1 в узел 5. Эти вопросы можно поста-

вить в двух различных,

хотя и взаимносвязанных вариантах:

1. Чему

равняются

затраты для самого дешевого маршрута

от узла 1

до узла 5?

 

2. Какой маршрут от узла 1 до узла 5 сопряжен с наименьшими затратами?

Интуиция подсказывает, что, отвечая на один вопрос, мы одновременно получаем ответ и на другой вопрос. Однако, переходя к построению модели линейной оптимизации, мы будем искать ответ на каждый вопрос отдельно, а затем проанализируем взаимосвязь между сформулированными выше задачами. Начнем с первого вопроса.

Затраты, связанные с использованием наиболее дешевого маршрута. Пусть

yt — затраты, связанные с использованием наиболее дешевого маршрута от узла i до узла 5, где i принимает одно из значений i = 1, 2, 3, 4.

Можно определить z/;, подсчитав затраты для прямого маршрута от узла 1 до узла / (; >г)и прибавив к нимзатраты для оптимального маршрута от узла j до узла 5. Наименьшие из всех производимых при этом затрат определяют значение yt. Математически это можно сформулировать следующим образом:

г/г = минимум [ci} + у}\ (i = 1, 2, 3, 4),

уь

= 0.

(1)

;=»+!,..., 5.

 

 

 

В частности, для г = 1 имеем

 

 

 

#! = минимум [с12 + У г, Cis + Уз, CM +

Уь

ск].

(2)