Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

рования имеет конечное (ограниченное) оптимальное решение, то для нее существует базисное оптимальное решение.

Следует напомнить, что для линейной модели с т ограничениями базис представляет собой набор т переменных с однозначно определенными значениями, удовлетворяющими имеющимся ограничениям. При этом значения всех остальных переменных принимаются равными нулю.

Чтобы убедиться в том, что данная теорема действительно играет исключительно важную роль, рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, что требуется найти решение задачи линейного программирования с 50 линейно независимыми ограничениями и 300 неизвестными. Если сформулированная выше теорема справедлива, то можно утверждать, что в данном случае существует оптимальное решение, содержащее не более чем 50 переменных (с положительными значениями). Введение в рассмотрение других переменных может улучшить оптимальное значение целевой функции, однако число переменных, требуемых для получения оптимального решения, не должно при этом превышать 50. Обратим внимание на то, что увеличение числа линейно независимых ограничений в той или иной модели приводит к расширению базиса. Следовательно, количество переменных, входящих в оптимальное решение, тем больше, чем больше ограничений содержит модель.

Откуда следует, что теорема о базисе справедлива? Доказательство данной теоремы представляется излишним по той простой причине, что симплексный метод дает рецепт фактического построения оптимального базисного решения.

И с т о р и ч е с к а я с п р а в к а . Формулируя теорему о базисе, мы исходили из самого факта справедливости симплексного метода. В работах по линейному программированию, относящихся к более раннему периоду, можно встретить доказательство данной теоремы, не опирающееся на практический метод построения оптимального решения (так называемая теорема о существовании). При этом наблюдалось обратное явление: теорема о базисе использовалась как средство обоснования симплексного метода, который трактовался как последовательный поиск в пределах множества наборов базисных переменных.

4.7. СВОЙСТВА СХОДИМОСТИ

Доказательство сходимости обычно является наиболее трудной самостоятельной задачей, которая возникает при разработке любого алгоритма. Постараемся понять, чем это объясняется.

Мы убедились, что в процессе реализации симплекс-критериев I и II каждое последующее пробное решение оказывается допустимым, причем значение целевой функции при переходе от одного пробного

на каждой итерации значение максимизируемой целевой функции строго возрастает. Одного этого предположения для доказателы/гва сходимости ряда пробных значений к оптимальному за конечное число итераций недостаточно. Возрастание значения целевой функции при увеличении номера итерации может становиться все менее и менее значительным (см. случай 2 на рис. 4.1), и, что еще хуже, значение целевой функции может стремиться к пределу, лежащему ниже

ееоптимального значения (см. случай 3 на рис. 4.1).

Однако мы можем опираться на другие (известные нам) харак-

теристики рассматриваемого алгоритма. Как было показано, симплексный метод заключается в переходе от одного базисного решения к другому. Поскольку значения переменных для каждого пробного базиса определены однозначно, предположение относительно обязательного улучпгения значения целевой функции при переходе от одного пробного варианта к другому исключает повторы в выборе пробных базисов. Число же базисных наборов ограничено и для тг-мерной задачи с т ограничениями не может превышать число сочетаний из п

конечно, и решение, полученное на заключительной итерации, является оптимальным.

Можно ли считать доказанным, что сходимость всегда имеет место? К сожалению, нельзя. В предыдущем разделе наши рассуждения основывались на предположении, что при каждой очередной итерации значение целевой функции возрастает. Однако для многих линейных оптимизационных моделей увеличение значения целевой функции на некоторых итерациях приостанавливается. Это происходит следующим образом.

На одной из итераций при проверке по критерию II может обнаружиться, что среди всех отношений правых частей уравнений, задающих ограничения, к коэффициентам при новой базисной

двух переменных, входивших ранее в базис, обращаются в нуль. Таким образом, при рассматриваемой итерации значение по крайней мере одной базисной переменной оказывается равным нулю, т. е. базисное решение является вырожденным.) Отсюда следует, что новая базисная переменная принимает нулевое значение, а значения остальных переменных, так же как и значение целевой функции, не меняются. Реализация шага 4 в процессе замены базиса с необходимостью приводит к изменению коэффициентов в строке 0. Поэтому на этапе использования критерия II на следующей итерации наименьшее из всех отношений указанного выше типа оказывается строго положительным. Однако вполне возможна новая задержка

152 ГЛАВА 4

в возрастании значения целевой функции. Такие ситуации могут возникать неоднократно, причем не исключено, что на каком-то этапе мы придем к одному из предыдущих базисных решений. В этом случае вычислительный процесс оказывается «зацикленным» и сходимость отсутствует.

Таким образом, сходимость за конечное число итераций была бы доказанной, если бы строго положительное приращение значения целевой функции было обеспечено при всех итерациях без исключения. Чтобы успокоить читателя, сразу же заверим его в том, что проблема сходимости разрешима. Если воспользоваться несколько более сложным (по сравнению с применяемым здесь) математическим аппаратом, то можно показать, что симплексный метод при надлежащем обращении с ним оказывается в состоянии обеспечить строгое возрастание значения целевой функции. Чтобы доказать наличие сходимости, необходимо несколько пересмотреть критерий II, с тем чтобы устранить неоднозначность процедуры исключения переменной из базиса в случае, когда оказываются допустимыми различные варианты выбора. Кроме того, следует надлежащим образом уточнить, что понимать под «строгим возрастанием значения целевой функции».

Вырожденность базиса практически не влияет на число итераций, требуемое для нахождения решения задачи линейного программирования. Опыт показывает, что при решении большинства практических задач число итераций, необходимое для получения окончательного результата, лежит в пределах от 1,5т, до Зт, где т — число ограничений (Данная оценка справедлива лишь в том случае, если исходный базис содержит только свободные или искусственные

ничения. Для развития интуитивного представления о том, что может произойти в процессе выполнения симплекс-итераций, полезно рас-

На рис. 4.8 показана последовательность пробных решений. Заметим, что при переходе от первоначального решения к следующему переменная t заменяется на z, а при переходе от четвертого пробного решения к пятому в последнем вместо z появляется t. Наконец, при переходе от шестого пробного решения к седьмому t снова заменяется на z. Переменная z в исходном варианте в базис не входит. Затем она становится базисной. После этого ее снова

Пр и м е ч а н и е : Целевая функция=1у.

Ри с . 4.8. Пример медленной сходимости.

исключают из базиса. И наконец, переменная z опять оказывается в числе базисных. Переменная t вначале является базисной, потом выпадает из базиса, на следующей итерации вновь становится базисной, а затем выпадает из базиса окончательно. Обратим внимание также на то, что переменная х в третьем пробном решении заменяет и, а в шестом пробном варианте вместо х снова фигурирует v. В итоге после семи симплекс-итераций процесс сходимости завершается. (Следует отметить, что в данном случае значение целевой функции улучшается на каждой итерации.)

Пытаясь доказать сходимость симплекс-процедуры за конечное число итераций, мы констатировали лишь принципиальную возможность зацикливания. Пока не было дано ни одного примера, когда зацикливание в случае неоднозначности выбора новых базисных переменных, обусловленной вырожденностью базиса, действительно имеет место. Ниже приводится пример, иллюстрирующий именно такую ситуацию. (Ее удалось «сфабриковать» чисто искусственным путем.)

В этом примере используется следующее произвольным образом установленное правило выбора для критерия II. Если из базиса подлежат исключению сразу две переменные, то предпочтение отдается переменной с меньшим значением индекса. Рассмотрим

значение составляет 0,05. Зацикливание можно устранить, если математически более строго определить правило выбора новой базисной переменной в тех случаях, когда имеет место неопределенность указанного выше типа.

4.8.ТРЕБОВАНИЯ К ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ПРОЦЕДУРАМ

Для большинства практических задач модели линейного программирования содержат несколько десятков, а нередко несколько сотен ограничений. Следовательно, вопрос о трудоемкости вычислительных симплекс-процедур следует обсуждать с ориентацией на использование быстродействующих электронно-вычислительных машин. В предыдущих разделах дано описание основных этапов реализации рассматриваемого алгоритма. Любая машинная программа, составленная для симплексного метода, включает в том или ином виде все указанные выше этапы вычислительного процесса. Однако в рамках основных предписаний симплексного алгоритма структуры машинных программ могут варьироваться. Специфика вычислительных программ, определяемая различными нюансами их построения, может оказать решающее влияние на количество итераций, которые необходимо выполнить, чтобы обеспечить полную сходимость.

Некоторые вычислительные программы для ЭВМ построены по принципу, которым пользуются шахматисты: такого рода программы предусматривают перебор различных вариантов на несколько итераций вперед и выбирают наиболее выгодную стратегию для ряда (ближайших) операций перехода от одного базиса к другому. Такой способ программирования увеличивает объем вычислений на каждом шаге, но сокращает суммарное количество итераций, необходимое для нахождения окончательного решения. Другие программы строятся таким образом, чтобы при каждой итерации поиск в соответствии с критерием I ограничивался лишь некоторым подмножеством переменных. Когда возможности улучшения решения в пределах некоторого подмножества исчерпываются, осуществляется переход к рассмотрению другого подмножества. Вычислительный процесс заканчивается, когда оптимизационные возможности всех подмножеств оказываются полностью исчерпанными. Такой метод построения программ сокращает объем вычислений на каждой итерации, но может увеличить число итераций, обеспечивающих сходимость к предельному значению.

Таким образом, суммарное число вычислительных операций, необходимое для решения какой-либо конкретной задачи симплексным методом, как правило, в сильной степени зависит от используемых программ для ЭВМ. При решении практических задач число арифметических операций обычно достигает порядка нескольких миллионов. Как показывает опыт, трудоемкость вычислений возрастает в грубом приближении пропорционально кубу числа ограни-