Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

Как было показано в гл. 6, пользуясь довольно простыми приемами, можно преобразовать многие оптимизационные задачи на сетях в эквивалентную классическую транспортную задачу.

Если учесть соотношения (2), (3) и (5), то станет очевидным, что модель содержит избыточное ограничение: если любые т -f- re — 1 ограничений (2) и (3) удовлетворяются, то оставшееся ограничение также удовлетворяется. [Это можно строго показать, умножив каждое из ограничений (3) на —1, а затем сложив любые т + п — 1

ствие чего в любое базисное решение входит именно такое число

где величины vt и Wj не ограничены по знаку.

Следствие теоремы двойственности и теоремы о дополняющей нежесткости, рассмотренных в гл. 5, заключается в том, что если величины x*j при всех (i, у) удовлетворяют (2), (3) и (4), а величины

Предположим, что имеется пробное допустимое базисное решение, содержащее т Ц- п — 1 маршрутов. Если единичный поток направляется по небазисному маршруту, то для сохранения допустимости по соответствующим строке и столбцу матрицы рис. 7.1 необходимо снять единицу с базисного маршрута в той же строке и в том же столбце. Однако эти два изменения в свою очередь ведут к единичным

изменениям потоков по всем остальным базисным переменным. По причинам, которые вскоре станут очевидными, введение каждой новой переменной в базис обусловливает однозначную схему изменения базисных переменных.

Поэтому окончательные изменения можно оценить следующим образом: из общего увеличения затрат, обусловленного добавлением единичного потока как по новому маршруту, так и по соответствующим базисным маршрутам, вычесть общее уменьшение затрат, вызванное сокращением на единицу потока по остальным базисным маршрутам, однозначно определяемым схемой изменений. Если полученный результат улучшает значение целевой функции и новый маршрут вводится в решение, то схема изменений указывает также, сколько единиц потока можно направить по этому новому маршруту. В частности, различные потоки увеличиваются и уменьшаются в соответствии со схемой, пока не достигается такой уровень, при котором базисная переменная уменьшается до нуля и поэтому выводится из базиса.

Если бы метод проверки целесообразности введения небазисного маршрута в пробное решение был в действительности слишком утомительным, как это представляется из приведенного выше описания, то он в лучшем случае позволял бы лишь несущественно сокра-

единичного потока по маршрутам (1, 2) и (3, 1). Таким образом, чистое улучшение значения целевой функции равно 2 (10 — 8).

Рассуждая аналогичным образом, можно получить оценки для всех остальных небазисных маршрутов (рис. 7.5). Каждая оценка равна значению коэффициента при соответствующем хц в нулевой

строке симплексной таблицы. Для проверки понимания процедуры вычисления оценок определите схему изменений при введении дополнительного единого потока по маршрутам (1, 3) и (2, 1), а также найдите, на сколько изменилось значение целевой функции.

Покажем теперь, что, для того чтобы получить оценки небазисных маршрутов, нет необходимости в каждом случае определять конкретную схему изменений. К такому же выводу можно прийти значительно быстрее, оценивая значения переменных двойственной задачи и сравнивая затем различия между левыми и правыми частями двойственных ограничений, соответствующих небазисным маршрутам. Структура сети позволяет легко реализовать этот прием. Опишем

сначала математические соотношения, на которых он базируется. Система линейных равенств, из которых получают пробные значения переменных двойственной задачи, показана выше [формула (1)]. Применив эту систему к исходному решению (рис. 7.3), получим следующие шесть соотношений для базисных маршрутов двойствен-

ной задачи:

Заметим, что это система из шести уравнений с семью неизвестными. Для получения решения необходимо выбрать одну переменную и при-

писать ей произвольное значение. Допускается выбор любой переменной и разрешается приписывать ей любое «удобное» значение. Возьмем v3, поскольку эта переменная входит в четыре соотношения, и примем для удобства ее значение равным нулю, т. е. v3 = 0. Причиной появления в (3) «лишней» переменной является избыточность т ~\- + п = 7 ограничений на спрос и поставки. Приписывание переменной v3 произвольного значения эквивалентно вычеркиванию строки 3 (уравнения поставки) с целью избавления от избыточности в т -{- п соотношениях.

Отметим, что при v3 = 0 чрезвычайно просто найти значения остальных переменных. В частности, можно вначале положить

Следовательно, зная значения переменных, найденные на предыдущем шаге, можно последовательно получить значения всех двойственных переменных. При наличии сетевой структуры всегда можно реализовать такие последовательные шаги.

Математический термин триангуляция используется для описания структуры, позволяющей последовательно отыскивать значения переменных, входящие в решение. Смысл этого термина становится ясным из рассмотрения структуры уравнений (3). Если исключить из них У3 (т- е. принять УЗ = 0), то уравнения приобретают треугольный вид. Говорят, что система из т линейных уравнений с т неизвестными имеет треугольную структуру, если после возможной перегруппировки переменных и уравнений переменная, стоящая на первом месте в /с-м уравнении, является также /с-й неизвестной и не

фигурирует ни в одном из уравнений, номер которого превышает k. Свойство треугольной структуры выполняется и для системы уравнений (3) двойственной задачи после того, как выбрана любая двойственная переменная и ей приписано произвольное значение. Однако, чтобы сразу обнаружить это свойство у системы уравнений, нужно изменить последовательность переменных и уравнений. Так, например, если положить vi = 0, то остальные переменные можно

упорядочить следующим образом: У2, wz, и?з, и>4> уз> "Ч, а Ддя маршрутов выбрать последовательность: (2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 1), (1, 1). При этом в явном виде выявляется треугольная структура системы. Запишите систему в таком виде, чтобы можно было показать ее треугольную структуру.

нения потока, исключив все маршруты, не вошедшие в базис, а также избыточное уравнение поставки, соответствующее строке 3 (что

Заметим, что строка коэффициентов k-то уравнения здесь является столбцом коэффициентов при /с-й переменной в (3) (не считая vs). Если система (3) имеет структуру верхнего треугольника, то система (5) соответствует структуре нижнего треугольника. Последнюю можно легко решить, начав с переменной Хц. [Как можно перегруппировать переменные и ограничения (5), чтобы система обладала свойством треугольной структуры в смысле данного выше определения?]

Теперь можно получить оценку каждого маршрута, не входящего в базис, по формуле

Используя значения двойственных переменных, найденные в (4),

Каждое положительное число указывает на возможность уменьшения значения целевой функции. Следовательно, три маршрута позволяют улучшить решение, и нужно выбрать маршрут (1, 2), поскольку

у него наибольшая оценка. Это в сущности эквивалентно симплексному критерию I (критерий минимизации).

На шаге 3 определяется величина потока, направляемого по маршруту (1, 2). Схема изменений базисных переменных исходного решения для этого маршрута уже установлена на рис. 7.4. Напомним, что потоки по маршрутам (1, 1) и (3, 2) уменьшаются и что текущие значения этих потоков равны соответственно 6 и 4. Следовательно, наибольшее допустимое увеличение потока по маршруту (1, 2) равно 4, вследствие чего маршрут (3, 2) из нового базиса исключается.

На шаге 4 вносятся изменения в маршруты грузопотока, что дает в результате второе пробное базисное решение, показанное на рис. 7.6, при котором значение целевой функции равно 104.

Итерация 2. Вернемся вновь к шагу 2 с целью проверки того,

Переменные и уравнения в (8) упорядочены таким образом, что треугольная структура системы при v3 = 0 является очевидной. Покажите, что переменные в решении имеют значения

иi = 2 — Wi = —3,

w2 — 3 — vi = 6, v2 = 0 — w2 = —6,