Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

изложение методов оптимизации, основанных на применении нелинейных моделей, содержится в гл. 14 и 15.

Начиная с гл. 16, вводится понятие неопределенности, которой придается вероятностный смысл. Стохастическая природа тех или иных структурных элементов модели чаще всего обусловливает ^необходимость лишь некоторых вполне очевидных обобщений методов, применяемых в случае анализа детерминированных моделей (рассматриваемых в главах, предшествующих гл. 16). Однако в ряде •случаев вероятностный характер тех или иных элементов приводит к качественно новым ситуациям, требующим тщательного анализа.

-КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. В конце разд. 2.1 сформулированы вопросы, помогающие проверить степень усвоения пройденного материала. Попытайтесь -ответить на эти вопросы применительно к примерам, изложенным

вразд. 2.2—2.7.

2.Одна из причин того, что рассмотренные в данной главе модели описывают реальную действительность лишь приближенно,

заключается в том, что постулаты делимости и аддитивности далеко не всегда оказываются строго справедливыми. Насколько удовлетворительными являются с этой точки зрения модели, рассмотренные

вразд. 2.2—2.7?

3.Фирма «Мулыпиконвейер» (разд. 2.2). На графике, аналогичном графику, приведенному*на рис. 1.3 (гл. 1, проблема «двух картошек»), требуется представить допустимые варианты производственной стратегии, указать оптимальную стратегию и вычислить

•соответствующее значение целевой функции в предположении, что

тошек»), требуется представить допустимые варианты закупок, указать оптимальный вариант и вычислить соответствующее значение целевой функции в предположении, что имеется возможность

требований по каждому из ингредиентов без увеличения суммарных

9. Многосторонний коммерческий арбитраж (разд. 2.5). Докажите, что существует неограниченное оптимальное решение, если

а) щ = 0,75, г28 = 2; б) ги = 2, г26 = 0,75;

в) г11-г2в> 1.

10.Автомобильная компания «Гигант» (разд. 2.6). Объясните, каким образом руководящее лицо могло бы найти практическое применение такого рода модели планирования.

11.Автомобильная компания «Гигант» (разд. 2.6). Требуется

записать в явном виде соотношения для уровня сбыта и ограничений в рабочей силе:

12. Автомобильная компания «Гигант» (разд. 2.6). Предположим, что число периодов, на которые распространяется планирова-

на рис. 2.6 вместо числа 20 должно стоять число 25. Допустим также, что не происходит «усушки» рабочей силы за счет увольнения по собственному желанию в периоды незанятости и, следовательно, в упомянутой таблице вместо —9 должно быть проставлено —10. Требуется составить такой план, чтобы:

а) Складские запасы в каждый период были минимальными. б) Число принимаемых компанией на работу было минимальным.

виде все линейные ограничения (2) и (3) и целевую функцию (1) для транспортной задачи, если

а) т = 2, п = 3; б) т = 3, п = 2; в) i = п = 3;

г) т = 3, п = 4.

(см. рис. 2.12) и затраты, связанные с использованием этого маршрута, если

С34 = 5, Сз5 — 9,

с45 = 3.

б) С учетом результата выполнения предыдущего упражнения найдите допустимые решения задач линейного программирования, представленных таблицами на рис. 2.13 и 2.14.

чающуюся от нее наличием дополнительного узла 6. Пусть узел 6 связан соответствующими дугами с каждым узлом i (i = 1, 2, 3, 4, 5). Требуется дать полное графическое изображение этой сети и привести исчерпывающую запись модели линейного программирования, ориентированную на определение расходов, связанных с использова-

УПРАЖНЕНИЯ НА ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ

17.Фирма «Лесная пилорама» столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов лесоматериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. В районе данного массива имеется лесопильный завод и фабрика, на которой

изготавливают фанеру. Таким образом, лесоматериалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовле-

ния фанеры.

Чтобы получить 2,5 м3 коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 м2 фанеры требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3 еловых и 180 м3 пихтовых лесоматериалов.

Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 м3 пиломатериалов и 1200 ж2 фанеры. Доход с i м3 пиломатериалов составляет 16 долл., а со 100 .и2 фанеры — 60 долл.

Обозначим через L количество (в кубических метрах) производимых пиломатериалов, а через Р — количество (в квадратных метрах) изготавливаемой фанеры.

модель.

б) На графике, аналогичном приведенному на рис. 1.3 (гл. 1, проблема «двух картошек»), изобразите допустимые варианты решений и укажите среди множества допустимых решений оптимальное.

18. Фирме «Иерихонская сталь» предстоит решить, какое количество Xi чистой стали и какое количество х2 металлолома следует использовать для приготовления (из соответствующего сплава) литья для одного из своих заказчиков. Пусть производственные затраты в расчете на 1 т чистой стали равняются 3 усл. ед., а затраты в расчете на 1 т металлолома — 5 усл. ед. (последняя цифра больше предыдущей, так как использование металлолома сопряжено с его предварительной очисткой). Заказ предусматривает поставку неменее 5 т литья; при этом заказчик готов купить и большее количество литья, если фирма «Иерихонская сталь» поставит перед ним такие условия.

Предположим, что запасы чистой стали ограничены и не превышают 4 т, а запасы металлолома не превышают 6 т. Отношение веса металлолома к весу чистой стали в процессе получения сплава не должно превышать 7 : 8. Производственно-технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено* более 18ч; при этом на 1 т стали уходит 3 ч, а на 1 т металлолома — 2 ч производственного времени.

а)Постройтедля данной задачи линейную оптимизационную модель, б) На графике, аналогичном приведенному на рис. 1.3, представьте допустимые варианты сплавов и укажите среди них опти-

мальный вариант.

19. Фирма «Лакомка» выпускает четыре вида пищевых полуфабрикатов: полуфабрикат 1, полуфабрикат 2, полуфабрикат 3 и полуфабрикат 4. Каждый полуфабрикат состоит из ряда ингредиентов (таких, как крахмал, сахар, витамины и т. д.). Пусть индекс i указыв'ает на порядковый номер ингредиента (i = 1, 2, ... . /). Обозначим через ац количество ингредиента i в одном килограмме полуфабриката у. Предположим, что максимальное количество ингредиента i, которым данная фирма располагает в течение ближайшего месяца, равняется М1.

Доход, получаемый с одного килограмма полуфабриката /, обозначим через PJ. Через Xj обозначим число килограммов полуфабриката у, произведенного фирмой «Лакомка» в течение ближайшего месяца. Пусть за этот период должно быть произведено не менее 100 000 килограммов полуфабриката 1, 125 000 килограммов полуфабриката 2, 30 000 килограммов полуфабриката 3 и 500 000 кило-

1раммов полуфабриката 4.

Требуется показать, каким образом с помощью линейного программирования можно построить оптимальный план выпуска перечисленной выше продукции.

20. Фирмой «Супертранзистор» выпускаются радиоприемники трех различных моделей: модель А, модель В и модель С. Каждое изделие указанных моделей приносит доход в размере 8, 15 и 25 соответственно. Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделн> не менее 100 приемников модели А, 150 приемников модели В и 75 приемников модели С.

Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. Так, в частности, в расчете на 10 приемников модели А требуется 3 ч для изготовления соответствующих деталей, 4 ч. на сборку и 1 ч на упаковку. Соответствующие показатели в расчете на 10 приемников модели В равняются 3,5, 5 и 1,5 ч, а на 10 приемников модели С — 5, 8 и 3. В течение ближайшей недели фирма может израсходовать на производство радиодеталей 150 ч, на сборку 200 ч

определить оптимальное распределение имеющейся в его распоряжении сырой нефти (различного сорта) по двум возможным технологическим процессам составления смесей. Технологический процесс 1 характеризуется следующими показателями: из одной единицы объема сырой нефти А и трех единиц объема сырой нефти В получается пять единиц объема бензина X и две единицы объема бензина Y. Технологический процесс 2 характеризуется другими показателями: из четырех единиц объема сырой нефти А и двух единиц объема сырой нефти В получается три единицы бензина X и восемь единиц бензина Y. Объемы продукции, выпускаемой при реализации технологических процессов 1 и 2, обозначим соответственно через х^ и xz.

Максимальное количество запасов сырой нефти А равняется 100 единицам объема, а сырой нефти В — 150 единицам объема. По условиям поставок требуется произвести не менее 200 единиц объема бензина X и 75 единиц объема бензина Y. Доходы с единицы объема продукции, получаемой с помощью технологических процессов 1 и 2, составляют pi и р2 соответственно.

Данную задачу составления горючих смесей требуется сформулировать в виде моделей линейного программирования.

22. Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает 8 самолетами типа 1, 15 самолетами типа 2, 12 самолетами типа 3, которые она может использо-

ГЛАВА 2

не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс.

Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «цен-

у фирм-поставщиков, если число последних равно трем и имеют место следующие требования и ограничения:

1)Заправка самолетов производится регулярно в четырех аэропортах.

2)Нефтяные компании констатируют следующие возможности

поставки топлива в течение ближайшего месяца: а) 2 500 000 л — нефтяная компания 1; б) 5000000 л —нефтяная компания 2; в) 6 000 000 л —нефтяная компания 3.

3) Авиакомпании требуется следующее количество топлива:

4) Стоимости 1 л реактивного топлива с учетом расходов, связанных с доставкой, имеют значения, приведенные в следующей таблице:

В связи с оптимизацией относящегося к данной задаче управляющего решения требуется построить модель линейного программирования. Эквивалентна ли рассматриваемая задача транспортной задаче (задаче распределения потоков в сети)? Дать аргументацию.

24. Фирма «Нитроткань» производит определенного типа мелкие детали для промышленных изделий и продает их через своих посред- ников-оптовиков по фиксированной поставочной цене 2,50 долл. за штуку. Число посредников-оптовиков равняется пяти. Коммерческие прогнозы указывают на то, что объем месячных поставок составит: посреднику 1 — 3000 штук, посреднику 2 — 3000 штук, посреднику 3 — 10 000 штук, посреднику 4 — 5000 штук, посреднику 5 —

4000 штук.

Фирма располагает следующими производственными мощностями:

Себестоимость одной детали, изготовленной на заводе 1, рав-

Требуется построить модель линейного программирования с целью определения оптимальных объемов продукции, подлежащих выпуску на каждом заводе данной фирмы, и количества деталей, поставляемых фирмой своим посредникам-оптовикам.

25. Полицейская служба «Шумгам-сити» имеет следующие минимальные потребности в количестве полицейских в различное время суток:

ГЛАВА 2

При этом нужно иметь в виду, что период 1 следует сразу же за периодом 6.

Каждый полицейский работает восемь часов без перерыва. Обозначим через xt число полицейских, ежедневно приступающих к работе в период t. Полицейская служба пытается составить служебное расписание на каждые сутки таким образом, чтобы обойтись минимальным числом полицейских, но не нарушая сформулированных выше условий (требований).

Чтобы составить такое расписание требуется построить соответствующую модель линейного программирования.

26. Авиакомпании «Перманентный рейс» требуется определить, сколько стюардесс следует принять на работу в течение шести месяцев при условии, если каждая из них, прежде чем приступить к самостоятельному выполнению обязанностей стюардессы, должна пройти предварительную подготовку. Потребности в количестве стюардессочасов (с.-ч.) летного времени известны: в январе требуется 8000 с.-ч.,

стюардессы в строй. Кроме того, каждая обучаемая стюардесса должна в течение месяца, отведенного на ее подготовку, пройти 100-часо- вую практику непосредственно во время полетов. Таким образом, за счет каждой обучаемой стюардессы в течение месяца освобождается 100 ч рабочего времени, отведенного для уже обученных стюар-

десс.

Каждая полностью обученная стюардесса в течение месяца может иметь налет до 150 ч. Авиакомпания «Перманентный рейс» в начале января уже имеет 60 опытных стюардесс. Если ресурсы стюардессочасов (летного времени) превышают месячные потребности авиакомпании, то стюардессы работают в режиме налета менее 150 ч в месяц. При этом ни одну из них не снима:от с работы. Установлено также, что приблизительно 10% обученных стюардесс увольняются по собственному желанию по семейным или другим причинам.

Опытная стюардесса обходится авиакомпании в 800 долл., а обучаемая — в 400 долл. в месяц.

а) Для данной задачи требуется построить модель линейного программирования. Пусть xt — число стюардесс, обучение которых начинается в i-м месяце, причем ха = 60. Обозначения для других управляемых переменных читатель должен ввести самостоятельно.

б) Приведенная выше формулировка задачи ориентирована на планирование на 6-месячный период. Изменится ли решение, если модифицировать условие задачи (и соответствующую модель) путем указания потребностей авиакомпании на июль месяц? Необходимо дать аргументированный ответ.

27. Фирма «Комфорт» производит холодильники, газовые плиты и кухонные раковины. В наступающем году ожидается следующий уровень сбыта:

Фирма разрабатывает производственный план, который был бы в состоянии удовлетворить указанный спрос. Кроме того, фирмой принято решение в конце каждого квартала иметь запасы в размере 1000 единиц каждого вида продукции. В начале первого квартала запасы отсутствуют.

В течение квартала фирма может израсходовать не более 8000 «приведенных часов» (п. ч.) рабочего времени. На изготовление холодильника требуется 0,5 п. ч., газовой плиты — 2 п. ч., кухонной раковины — 1,5 п. ч. В четвертом квартале холодильники не могут изготовляться, так как фирма планирует произвести в это время частичное переоборудование предприятия в связи с введением в действие новой конвейерной линии.

Допустим, что хранение каждой единицы продукции на складе- в течение квартала обходится фирме в 5 усл. ед. Фирма разрабатывает производственный план с учетом поквартальных лимитов производственного времени, ориентируясь при этом на полное удовлетворение спроса. Она стремится также к минимизации издержек, связанных с хранением продукции на складе.

Обозначим через Rt, St и Dt соответственно количество холодильников, газовых плит и кухонных раковин, произведенных в период t. Обозначения для всех других переменных, необходимость в которых возникнет, предоставляется читателю. Требуется показать, каким образом рассматриваемая задача может быть решена путем построения модели линейного программирования.

28. Фирма «Мулътиконвейер» (разд. 2.2). Допустим, что данные,, фигурирующие в таблице на рис.2.1, одинаковыдля каждого из четырех следующих один за другим периодов времени. Предположим, что излишки (т. е. неиспользованную часть) материалов Y и Z можно складировать, причем расходы, связанные с хранением материала У в течение одного периода, равняются hY, а расходы, связанные с хранением материала Z в течение одного периода, составляют hz. Видоизмененную таким образом задачу распределения ресурсов требуется сформулировать как задачу динамического планирования. Все необходимые обозначения читатель должен ввести самостоятельно.

29. Фирма «Алхимик» (разд. 2.4). Рассмотрим Т последовательных интервалов времени (периодов), каждый из которых характери-