Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
6.68 Mб
Скачать

30

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Каждая

из

множества

параллельных

 

прямых,

изображенных

на этом рисунке,

соответствует

различным

комбинациям

значений

 

 

 

 

 

 

 

 

Р! и Р2, приводящим к одному

 

 

 

 

 

 

 

 

и тому же

значению

линейной

 

 

 

 

 

 

 

 

целевой

функции

5Pt -f 6Р2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Самая верхняя линия, содер-

 

 

 

 

 

 

 

 

жащая

точку

в области допу-

 

 

 

 

 

ипшималбное

стимых

с точки зрения условий

 

 

 

 

 

'значение

 

(1) значений,

определяет

мак-

 

 

 

 

 

 

 

 

симальное

значение

целевой

 

 

 

 

 

 

 

 

функции.

Оптимальное реше-

 

 

 

 

 

 

 

 

ние задается именно этой точ-

 

 

 

 

 

 

 

 

кой. Легко

убедиться

графиче-

 

 

 

 

 

 

 

 

ски,

что

в

рассматриваемом

 

~

~

 

2

4 ~

ё

~

 

случае

оптимальное

решени

 

 

 

Р,

 

 

 

 

является единственным; оно на-

Р и с .

1.3.

Относительная

прибыль,

ходится

на

пересечении

пря-

 

 

 

 

 

 

 

 

мых,

определяемых двумя пер-

выми условиями

(1). Следовательно, оптимальные значения Pt

и Р2

можно вычислить путем совместного решения двух линейных

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,2Pi + 0,3P2 = 1,8

для продукта 1,

 

 

 

 

 

 

0,2Р! + 0,1Р2 = 1,2

для продукта

2.

 

 

 

(3)

Читатель без труда

может

убедиться, что оптимальные

значения Р,

и Р2

равны 4,5 и 3 соответственно; значение целевой

функции при

этом равняется

40,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотренная задача служит иллюстрацией так называемой

модели линейного

программирования.

В случаях практического при-

менения линейного программирования количество ограничений обыч-

но достигает нескольких сотен, а количество переменных

— несколь-

ких тысяч. Способы построения такого рода моделей, а также методы

нахождения для них решения изложены в гл. 2—7.

Задача выбора кандидатуры на секретарскую работу. Лицо, занимающее административную должность, намерено подыскать себе нового секретаря и собирается обратиться в бюро найма с просьбой направить к нему для собеседования девушек, имеющих соответствующую подготовку. Прежний опыт подсказывает администра-

тору, что в процессе собеседования

удается

определить,

какими

качествами

будет обладать рассматриваемая

кандидатура,

работая

в качестве

секретаря,— отличными,

достаточно хорошими или

посредственными. По относительной

шкале

он оценивает

первую

категорию в 3 балла, вторую — в 2 и третью — в 1 балл. Предшествующий опыт позволяет администратору предположить, что вероятность заполучить для собеседования девушку с отличными для

ИСКУССТВО И НАУКА В ОРГАНИЗАЦИОННОМ УПРАВЛЕНИИ

31

секретарской работы данными равняется 0,2, с достаточно хорошими данными — 0,5, а с посредственными — 0,3.

Администратор намерен рассмотреть не более трех кандидатур. К сожалению, в случае, если он не принимает девушку на работу сразу же после собеседования, девушка устраивается на другую работу. Следовательно, решение должно приниматься немедленно.

Если первая из кандидатур оценивается на отлично, администратор, естественно, берет ее к себе на работу немедленно. Если же она оказывается посредственной, администратор ничего не теряет,

Р и с . 1.4. Дерево альтернатив для задачи выбора девушки-секретаря. ОК — отличные качества; ХК — хорошие качества; ПК — посредственные качества.

решив рассмотреть следующую кандидатуру. Однако в случае, если первая кандидатура относится к категории, оцениваемой в 2 балла, возникает ситуация, когда администратор не уверен, как при этом поступить. Если воздержаться от решения остановить выбор на рассматриваемой кандидатуре, то потом не исключена возможность, что администратору придется довольствоваться лишь посредственным

секретарем.

Если же администратор даст положительный

ответ,

он потеряет

возможность подыскать на секретарскую работу

девуш-

ку с более высокими для этой роли данными. Если администратор примет решение рассмотреть другую кандидатуру, он может столкнуться с такой же проблемой в случае, если данные этой кандидатуры им будут оценены в 2 балла.

Проблему выбора удобно продемонстрировать с помощью так называемого дерева альтернатив, приведенного на рис. 1.4. Кружочками изображены кандидатуры, проходящие собеседование, а ветви, исходящие из узлов, служат для представления возможных исходов. На каждой ветви указана вероятность соответствующего исхода. Квадратики служат для представления актов принятия решений. Число в конце ветви, не имеющей продолжения, представляет собой оценку результата соответствующего выбора (по относительной шкале).

32

ГЛАВА 1

Задача нахождения оптимальной стратегии в связи с принятием решения при указанных выше условиях может быть решена с помощью так называемого динамического программирования, и в частности методом, известным под названием обратная индукция. Динамическому программированию и методам нахождения решений для соответствующего типа моделей посвящены гл. 8—12, а также гл. 17 и 18. Процедура решения в приведенном выше примере настолько проста, что нахождение оптимальной стратегии, как будет показано ниже, не вызывает никаких затруднений.

Предположим, что администратор проводит интервьюирование всех трех девушек и, следовательно, на работу оказывается принятой третья из них. Тогда ожидаемое значение оценки исхода с учетом его случайного характера равняется

3-0,2 + 2-0,5 + 1-0,3 = 1,9.

(4)

Другими словами, средняя оценка кандидатуры, случайно подобранной для прохождения собеседования, равняется 1,9 балла. Допустим, что это значение правильно отражает оценку администратором данного случайного исхода. Проставим оценку 1,9 возле узла 3 на рис. 1.4.

Рассмотрим затем следующую ситуацию: допустим, что администратор рассматривает вторую кандидатуру и она оказывается достаточно хорошей. Если администратор принимает решение не рассматривать следующую кандидатуру (т. е. прекратить процесс выбора), то он достигает исхода с оценкой 2 балла. Если же администратор переходит к рассмотрению следующей (третьей) кандидатуры, он может надеяться лишь на исход с оценкой 1,9 балла. Следовательно, в случае, когда вторая из кандидатур оценивается в 2 балла, администратор должен прекратить процесс выбора. Таким образом, на ветви с надписью «Продолжить» в случае, когда вторая кандидатура оказывается достаточно хорошей, следует поставить знак X . Это означает, что соответствующее данной ветви действие не должно предприниматься.

Теперь читатель подготовлен к тому, чтобы найти правильное решение в случае, когда достаточно хорошей оказывается первая кандидатура. Если бы администратор остановился на этой кандидатуре, то он достиг бы результата с оценкой 2 балла. Если же продол-

жить процесс выбора, то ожидаемая оценка случайного

исхода

второго

или,

возможно,

третьего

собеседования равняется

 

 

 

 

3 -0,2 + 2 -0,5 +

1,9-0,3 = 2,17.

(5)

 

Здесь первое слагаемое относится к событию обнаружения у про-

ходящей

собеседование девушки

отличных качеств (в этом

случае

ее

берут

на

секретарскую

работу);

второе слагаемое относится

к

событию обнаружения

у

девушки

достаточно хороших

качеств

(эту девушку

берут на работу при условиях, рассмотренных

выше);

ИСКУССТВО И НАУКА В ОРГАНИЗАЦИОННОМ УПРАВЛЕНИИ

33

наконец, третье слагаемое относится к событию обнаружения у проходящей собеседование девушки посредственных качеств с последующим переходом к рассмотрению третьего случайного события, исход которого, согласно (4), оценивается в 1,9 балла. Поскольку 2,17 >2,

администратору

следует

воздержаться от решения принять на рабо-

ту первую

кандидатуру,

если она

окажется

оцененной

в 2 балла.

Поставим оценку 2,17 возле узла 2 на рис. 1.4,

а на ветви с надписью

«Стоп» в случае,

когда первая кандидатура

относится к

категории

достаточно хороших, поставим знак X .

 

 

Короче

говоря, оптимальная

стратегия

выглядит

следующим

образом: процесс выбора ограничивается рассмотрением единственной кандидатуры лишь в том случае, когда первая из прошедших собеседование девушек оценивается на отлично, и продолжается после второго собеседования лишь в том случае, когда вторая из рассмотренных кандидатур оказывается посредственной. Полное математическое ожидание оценки исхода процесса интервьюирования при условии, что администратор действует оптимально, равняется

3 -0,2 + 2,17 -0,5 +

2,17 -0,3 = 2,336.

(6)

Пояснить полученный результат предлагается читателю.

 

Запишем полученное значение

для математического

ожидания

возле узла 1 на рис. 1.4. Поскольку полученное выше [см. (4)] число 1,9 также является математическим ожиданием оценки исхода в случае, когда администратор ограничивается рассмотрением единственной кандидатуры (после которого он берет ее на работу), то разность 2,336 — 1,9 = 0,436 представляет собой приращение оценки вероятного исхода за счет использования возможностей двух собеседований.

Производственная задача «места и времени». Название этой задачи возникло в результате выявления нескольких различных толкований соответствующей математической модели. Одна из возможных интерпретаций связана с определением оптимальных объемов выпускаемой продукции для каждого промышленного предприятия, входящего в некоторое множество однотипных предприятий, за задан-

ный интервал времени. Интерпретация

другого рода

сопряжена

с определением оптимальных

объемов

продукции,

выпускаемой

одним предприятием в течение

нескольких периодов времени. Воз-

можна также интерпретация, вытекающая из рассмотрения задачи, представляющей собой комбинацию задач, упомянутых выше.

Начнем с варианта, когда решается задача первого типа. Пусть

фирма, имеющая

N

промышленных

предприятий, должна выпу-

стить D единиц однородной продукции

в течение заданного

интерва-

ла времени. Следовательно, если обозначить через X] объем продук-

ции, выпускаемой

на

у'-м промышленном предприятии,

то

Xj

^1 + хг + • • • + xN = D,

(7)

~^- 0 для любого

значения j.

3—0622

34 ГЛАВА 1

Предположим, что стоимость производства ж^нау-ом промышленном предприятии задается выражением (1/с/) х*, гдеcj ^ 0 определяются с учетом информации, относящейся к прошлому опыту фирмы.

Таким образом, оптимальные

значения Xj находятся из

условия

.j-2

хъ

ХЪ

(8)

(i— |—-+ . . . +_5L\

Cl

C2

CN I

 

при наличии ограничения (7).

Эта задача оптимизации может быть решена методами динамического программирования, а также с помощью некоторых простых приемов нелинейногопрограммирования, обсуждению которых посвящены гл. 14 и 15. Численные значения Xj легко получить с помощью

интуитивно

выведенной формулы

 

 

 

 

Оптимальное значение Xj = —;

-.

- (/ = 1,2, ...,7V

 

С1~ГС2~Г • • • Т CN

 

 

откуда для

соответствующей минимальной стоимости^ получаем

 

г\<Ь

 

стратегия).

(10)

 

(оптимальная

 

\

* '

^

'

 

Обратимся к случаю, когда решается задача второго типа. Пусть Xj — объем продукции, выпускаемой одним предприятием в течение ;'-го интервала времени. Заметим, что в этом случае рассматриваются лишь затраты, связанные с производством, и не учитываются издержки, обусловленные хранением продукции в интервале между началом первого и концом ;'-го периода (пока весь объем продукции D не будет полностью реализован). Принимая все это во внимание, можно найти оптимальное значение для Xj, если объемы продукции, относящиеся

к предыдущим периодам, уже

определены [не обязательно

с помо-

щью (9)]. При этом имеет место

следующая формула:

 

 

 

-.,

 

Ci (D X* Х-> — ... -Xj_\}

,лл\

Условно-оптимальное значение

ж,- = -^ -г^

-.

CN

-;

-

 

]

 

--- +

 

 

Как нетрудно убедиться, если вычислять рекуррентным обра-

зом *) значения xt, x2, • • ., XN,

то формула (11)

приведет

к тем

же

значениям указанных параметров, что и формула (9).

 

 

 

Задача определения оптимального объема заказа. В гл. 9 и 19,

 

а также в приложении II обсуждается целый ряд нашедших

успеш-

ное практическое применение моделей управления запасами. Модель, рассматриваемая ниже, возможно, представляет собой простейшую модель такого рода. Принятые в ней конкретные допущения лишь иногда (причем весьма редко) имеют практический смысл. Тем не менее окончательное решение оказывается в достаточной степени близким к оптимальному для многих реальных ситуаций. Таким образом, его можно считать весьма хорошим приближением к тому, что имеет место на практике.

То есть последовательно, начиная с

ИСКУССТВО И НАУКА В ОРГАНИЗАЦИОННОМ УПРАВЛЕНИИ

35

Рассмотрим фирму, потребляющую (или продающую)

опреде-

ленного вида продукцию в объеме М единиц в неделю. Для простоты предположим, что относительно количества потребляемой продукции имеется полная определенность. Следовательно, если уровень запасов составляет kM единиц, то эти запасы будут исчерпаны ровно в k недель. Допустим далее, что норма потребления М (т. е. объем потребляемой в неделю продукции) не меняется со временем, так что данная фирма должна регулярно возобновлять заказы на пополнение запасов. Проблема принятия решения заключается в том, чтобы определить экономически наиболее выгодный объем заказа (т. е. экономически наиболее выгодное количество заказываемой продукции). Предположим, что время доставки продукции по заказу также точно известно. Таким образом, мероприятия, направленные на пополнение запасов, начинаются заранее с таким расчетом, чтобы заказанная продукция поступала точно в тот момент, когда уровень предыдущих запасов падает до нуля.

Обозначим объем заказа через Q. Тогда уровень запасов можно изобразить в виде «пилы», показанной на рис. 1.5. Заметим, что каждый раз,когда поступает пополнение, уровень запасов подскакивает до значения Q. Затем уровень падает со скоростью М единиц в неделю (этот процесс изображен на рис. 1.5 линиями, проведенными с наклоном).

Оптимальный объем заказа позволяет «сбалансировать» затраты, связанные с пополнением требуемой продукции, и расходы, связанные с хранением запасов. Предположим, например, что каждый очередной заказ сопряжен с некоторыми вполне определенными накладными расходами в размере К. Пусть при этом известна покупная цена с единицы заказываемой продукции. Допустим, наконец, что за хранение единицы продукции в течение недели взимается плата в размере h. Накладные расходы связаны с мероприятиями по размещению заказа и его реализации. С хранением приобретаемой продукции связаны расходы на складирование, страхование и использование складских помещений.

Пусть критерий экономической эффективности определяется средним значением суммарных затрат в расчете на одну неделю. Тогда доля затрат, связанная с накладными расходами, равняется К (MIQ), так как в неделю происходит MIQ актов оформления заказов. Доля затрат, связанная с оплатой заказанной продукции,равняется сМ, поскольку за одну неделю потребляется М единиц продукции. Наконец, доля расходов, связанных с хранением, опре-

деляется выражением h (Q/2), так как средний уровень

запасов

равен Q/2, в чем легко убедиться с помощью графика на рис. 1.5.

Складывая перечисленные выше компоненты, получаем

 

Средние расходы за неделю =СР = —-—\-сМ-\~ .

(12)

V

&

36

ГЛАВА 1

Экономически наиболее выгодный объем заказа, минимизирующий СР, определяется выражением

Оптимальное значение Q = 1/ —г

Эта формула может быть выведена путем решения уравнения, полученного в результате приравнивания нулю производной СР

Q Q

N

о

о

О* недель

 

Р и с . 1.5. Графическое представление уровня

запасов.

М — норма потребления; Q — объем заказа.

по Q. Из нее следует, что оптимальный объем заказа в случае, когда норма потребления возрастает в 4 раза, лишь удваивается. Заметим также, что оптимальный объем заказа определяется отношением накладных расходов к затратам, связанным с хранением запасов.

Задача определения оптимальной сети телефонной связи. Предположим, что авиакомпания (назовем ее условно «Беспосадочный полет») открывает в пригородном торговом центре бюро предварительных заказов на авиабилеты. Любой желающий зарезервировать билет на самолет будет иметь возможность заказать билет по телефону. Авиакомпания пытается определить число линий телефонной связи, необходимое для обслуживания своих будущих клиентов. Подсчитать расходы, связанные с использованием телефонной сети и содержанием обслуживающего персонала, не составляет большого труда. Эти расходы, естественно, зависят от количества линий связи. Однако авиакомпания хочет провести сравнение уровней обслуживания для случаев с различным числом линий связи. В частности, предположим, что компания пытается определить ту долю времени, когда все линии будут заняты, а также среднее значение интервала времени, в течение которого линии полностью загружены. Такого рода анализ проводится в рамках теории массового обслуживания, изложению которой отведены гл. 20 и 21, а также приложение III. Для данной задачи можно было бы построить точную модель и подвергнуть ее строгому математическому анализу. Однако вместо этого покажем, как можно для определения показателей обслуживания использовать метод имитационного моделирования. Для простоты ограничимся пока изложением лишь элементарных приемов анализа,

ИСКУССТВО И НАУКА В ОРГАНИЗАЦИОННОМ УПРАВЛЕНИИ

37

предоставляя читателю возможность подробно ознакомиться с имитационным методом в гл. 21.

Предположим,

что

авиакомпания

располагает данными, опре-

деляющими

статистическое

распределение

интервалов

времени

между

последовательными

телефонными звонками от клиентуры.

В первом

приближении

допустим,

 

 

 

что величины

интервалов

 

времени

 

 

 

между любыми двумя последователь-

 

 

 

ными

звонками полностью независи-

 

 

 

мы (это условие не может быть строго

 

 

 

выполнено, если,

например,

клиент

 

 

 

после того, как набрал

номер и обна-

 

 

 

ружил, что линия занята, немедленно

 

 

 

набирает

тот же самый номер). Тогда

 

 

 

для определения упомянутого выше

 

 

 

статистического

распределения удоб-

 

 

 

но воспользоваться диаграммой, при-

 

 

 

веденной на рис. 1.6. При этом будем

 

 

 

для простоты предполагать,

что ин-

 

 

 

тервал

 

между

 

последовательными

Р и с .

1.6. Распределение интер-

звонками

клиентов никогда

не пре-

валов времени, в течение которых

вышает 5

мин.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линии

телефонной

связи не

Представим

 

себе

стрелку, за-

 

заняты.

 

крепленную

в

 

центре

диаграммы

 

 

 

(такая диаграмма напоминает «колесо удачи», встречающееся на праздничных карнавалах). Поток телефонных звонков можно имити-

ровать серией последовательных резких вращений этой

стрелки.

В результате будем иметь некоторую последовательность

значений

интервалов времени, в течение которых линии телефонной связи свободны.

Предположим также, что авиакомпании известно статистическое распределение интервалов времени, необходимых для разговора с клиентом. Допустим, что интервалы времени, когда линия занята, не зависят друг от друга, а также от интервалов времени, не занятых телефонными разговорами. Тогда для имитации интервалов времени, занятых обслуживанием, можно построить другую диаграмму, аналогичную изображенной на рис. 1.7.

Теперь можно приступить к имитации системы. Вначале предположим, что имеется единственная линия телефонной связи. Тогда в течение некоторого «истекшего» промежутка времени данная линия функционировала согласно имитационной модели, представленной на рис. 1.7. Моменты, когда набирался соответствующий номер телефона, обозначены крестиком. Эти моменты определяются путем последовательного вращения стрелки диаграммы, как объяснено выше. Линия телефонной связи становится занятой сразу же после первого звонка. Продолжительность периода времени, когда линия

38

 

 

ГЛАВА

1

 

 

 

 

Периоды,ког-

 

 

 

 

 

 

да линия

 

 

 

 

 

 

 

 

занята

 

 

 

 

 

 

 

 

Линия t

 

г

 

 

 

 

 

 

xteyj^ занята

 

UU

 

 

U

 

ЩР Линия1

\

 

 

 

свободна

 

 

 

 

 

 

 

 

Г{пръла

 

Y Л?У7!\f7\

У

у

(ТУ , , .

-fy\

v f7\

_,.. (7\ •».

Порядковый

 

/ 23 4

5

Б

1

8

9 Ю

И

номер вызова

 

 

 

 

 

 

 

Р и с . 1.7. Имитационная модель для одной линии телефонной связи.

занята, определяется путем вращения стрелки диаграммы (описание данной процедуры см. выше). Заметим, что телефонные звонки в моменты времени, отмеченные на рис. 1.7 кружочками, не достигают цели, так как единственная телефонная линия в это время оказывается занятой. Набрав и обработав данные за достаточно большой период имитации, можно получить весьма надежную оценку доли времени, когда линия связи будет занята, а также средней продолжительности времени телефонного обслуживания клиента.

Предположим теперь, что имеются две линии телефонной связи. В этом случае та же самая серия вызовов может привести к иной

«имитационной картине»

процесса телефонного обслуживания

(рис. 1.8). Отметим, что

теперь большее число звонков достигает

цели. В данном случае период полной загрузки телефонной сети определяется интервалом времени, в течение которого оказываются занятыми обе линии связи одновременно. Заметим, что периоды полной загрузки телефонной сети во втором случае (рис. 1.8) гораздо

Периоды, когда

Линия 2

 

 

 

 

 

 

занята

 

 

 

 

\

1

Линия 2

 

 

 

 

свободна

 

 

 

 

 

 

,Ппния f

1

 

1

 

 

 

занята

 

 

U

 

Линия / I

 

L

JU

 

 

своЗодна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v v у

(7)

*-fih -.

Порядковый 1234

 

5 6 1

8

д 10

11

номер вызова

 

 

 

 

 

 

Р и с . 1.8. Имитационная модель для двух линий телефонной связи.

ИСКУССТВО И НАУКА В ОРГАНИЗАЦИОННОМ УПРАВЛЕНИИ

39

короче, чем в первом (рис. 1.7). Нетрудно видеть, что изложенный

метод можно применить для оценки уровня обслуживания при любом количестве линий телефонной связи.

Примечание. Приведенные выше

примеры (как уже отмечалось

в начале данного раздела) служат для иллюстрации некоторых

методов построения математических

моделей, используемых при

анализе проблем принятия управляющих решений. Рассматривая эти примеры, мы не стремились быть «реалистичными». В последующих разделах данной книги изложены методы построения моделей, представляющих практический интерес, а также методы нахождения соответствующих оптимальных решений.

1.7.НА ПРЕДЕЛЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

Внастоящее время почти каждая крупная корпорация имеет специалистов, ответственных за применение операционных методов при решении задач организационного управления. Специалисты

этого профиля, как правило, входят в состав отдельных групп, имеющих «выход» на уровень руководства. Группа операционистов обычно представляет свои отчеты заведующему производственным отделом, главному бухгалтеру или руководителю планового отдела. Однако все чаще наблюдаются случаи, когда в обязанности специалистов в области исследования операций входит доклад непосредственно руководителям, ответственным за конкретные участки работы. Одновременно наблюдается заметное нарастание активности операционной деятельности в административном аппарате общегосударственного и регионального масштаба, а также в других организациях непроизводственной сферы. В данном разделе будет сделана попытка объяснить, почему науке управления сопутствует столь большой успех.

Достоинства рационального метода. Совершенно очевидно, что лицам, занимающим руководящие посты, постоянно приходится принимать решения. В той или иной конкретной ситуации операционная модель может привести к решению, в точности совпадающему с тем выводом, к которому опытный руководитель способен прийти основываясь исключительно на интуиции. Следовательно, преимущества, получаемые за счет применения методов исследования операций, следует оценивать с учетом их влияния на процесс управления в течение достаточно большого промежутка времени.

Правильный подход к такого рода оценке можно весьма точно выразить следующим вопросом: если фирма в процессе организационного управления не использует операционных методов анализа, то какие методы она использует и достигает ли она при этом неизменно хороших результатов? Организации, использующие операционные методы, даже в том случае, когда получаемые при этом результаты не в полной мере соответствуют первоначальным ожиданиям, обна-

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.