Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
6.68 Mб
Скачать

230

ГЛАВА 6

1

1

1

I

1

Р и с. 6.9. Матричное представление

условий

задачи

о кратчайшем пути.

 

 

 

 

Построим

матрицу, соответствующую

(1),

(2) и

(3)

для примера

рис. 6.8.

В этой матрице

содержится по одному уравнению для

каждого узла и по одной

переменной

для каждой дуги. Так, для

k = s = 8

в соответствии

с (2) имеем

 

 

 

 

 

^85 + ^86 + ^87 = 1 (УзеЛ 8 — ИСТОЧНИК),

(4)

а для k = 7

 

 

 

 

 

 

 

— ^27 — ^87 = °

(узел 7).

(5)

Задачу о кратчайшем пути

решить гораздо легче,

чем общую задачу

о назначениях. В гл. 7 приведен эффективный алгоритм решения задачи о кратчайшем пути.

Существуют многочисленные примеры практического применения задачи о кратчайшем пути. Напомним пример компании «Универсал», рассмотренный в разд. 6.3. В этом примере было показано, как можно подойти к транспортной модели с промежуточными пунктами, отыскав сначала маршрут минимальной стоимости из каждого узла, где имеется избыточный запас, в каждый узел, где требуется пополнение запасов. Затем, используя эти пути минимальной стоимости, находят оптимальное решение классической транспортной задачи. Рассмотрим теперь пример иного рода.

Замена оборудования. Транспортное агентство «Таксолюкс» разрабатывает план аренды транспортного оборудования на период

ОПТИМИЗАЦИЯ НА СЕТЯХ

231

п — 1 лет. Агентство может выполнить свои обязательства по перевозке грузов, взяв в аренду новую транспортную единицу в начале года 1 и эксплуатируя ее до начала года / ^ п. Если }<, п, то агентство заменяет эту единицу в начале года j и эксплуатирует новую до начала года k «тг) и т. д. Величина затрат ci} (1 < i<. j ^ n) включает арендную плату плюс ожидаемые расходы на ремонт

 

Р и с .

6.10. Сеть замены оборудования,

отображающая

 

задачу

фирмы «Таксолюкс».

 

и

обслуживание

оборудования,

взятого в аренду в начале года i

и

замененного в начале года j.

Сеть, описывающая эту задачу при

п = 6, показана

на рис. 6.10.

В этой сети

транспортная единица

отправляется из узла 1 в узел 6. Каждый промежуточный пункт (узел), фигурирующий в оптимальном решении, соответствует году, когда должна произойти замена.

Отметим, что в сети рис. 6.10 отсутствуют циклы. Поэтому такая сеть называется ациклической. (Опишите эту сеть матрицей модели назначений, подобной матрице рис. 6.9. Упорядочите узлы по строкам 1, 2, . . ., 5 и по столбцам 2, 3, . . ., 6. Поскольку сеть ациклическая, то ниже поддиагонали в матрице отсутствуют допустимые элементы.) В гл. 7 будет приведен очень простой алгоритм определения кратчайшего пути в ациклической сети.

Задача компании «Новые просторы». Этот пример иллюстрирует универсальность задачи о кратчайшем пути. Как и в предыдущем примере, сеть является ациклической. Оба примера относятся к классу детерминированных, динамических, многошаговых моделей. Более подробно задачи такого класса описываются в гл. 10.

Строительная компания разрабатывает план капиталовложений на текущий год. Общий капитал, которым она располагает и который нужно распределить по различным объектам, составляет С сотен тысяч долларов. Рассматриваются п возможных объектов капиталовложений. Компания может вложить свои средства в любые из этих объектов. Единственным ограничением является объем наличного

232

ГЛАВА 6

капитала. Минимальный объем капиталовложений, необходимый для приобретения объекта i, составляет pt. Компания оценивает соответствующую приведенную к исходному моменту прибыль величиной VfQ. Однако если в этот объект вложить дополнительно k

Р и с . 6.И. Сеть, отображающая задачу компании «Новые просторы».

сотен тысяч долларов, то в результате приведенная прибыль будет оцениваться величиной vih. Предполагается, что vith+i ^> vith.Компания стремится так распределить капиталовложения по объектам, чтобы максимизировать общую приведенную к исходному моменту прибыль.

Для задания числовых параметров модели примем, что С = 10, п — 4, а минимальные объемы капиталовложений составляют соответственно pi = 6, pz = 4, рз = 3 и р4 = 1. Пусть дополнительные капиталовложения можно распределять в объемах, кратных одной сотне тысяч долларов, так что k = 1, 2, ... . (В этом примере объект 4 можно рассматривать как капиталовложение в ценные бумаги, а не в земельный участок.) Сеть, описывающая рассматриваемый пример, приведена на рис. 6.11, а соответствующая ей матрица — на рис. 6.12.

2,10

2,4

2,3

2,2

2,1

2,0

3,10

3,6

3,5

3,4

3,3

3,2

3,1

3,0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Р и с . 6.12. Матричное представление условий задачи компании «Новые просторы».

234

ГЛАВА 6

 

Сеть строится следующим образом. Для

каждого объекта капита-

ловложений

вводится столбец узлов. В

обозначении узла (i, с)

символ i относится к номеру объекта. Величина с определяет объем капитала, который можно вложить в объект i при условии принятия определенных решений относительно вложений в уже рассмотренные объекты. Каждая дуга, исходящая из узла (i, с), соответствует конкретному решению по объекту г. Дуга входит в узел (г -f ^-> с')> где с' вычисляется как имеющийся капитал, который можно вложить в объект i -\- 1 при условии принятия вполне определенногорешения по вложениям в объект i.

Рассмотрим для примера узел (3, 4). Если компания приняла решение вложить минимальный объем капитала в объект 1 и не вкладывать ничего в объект 2 либо не вкладывать ничего в объект 1 и вложить р2 + 2=4 - | - 2 = 600 тыс. долл. в объект 2, то 400 тыс. долл. можно вложить в объект 3. Эти два решения отображаются дугами, входящими в узел (3, 4). Располагая 400 тыс. долл., компания может принять одно из следующих трех решений: а) не вкладывать ничего в объект 3; б) вложить в этот объект минимальный объем

капитала р3

= 3; в) вложить в этот объект

капитал р3

+ 1 = 4,

что исчерпывает возможности дальнейших

вложений.

Эти

три

возможных

решения отображаются дугами, исходящими

из

узла (3, 4).

 

 

 

 

Таким образом, любой допустимый вариант распределения капиталовложений по объектам можно представить в виде проходящего через всю сеть «пути», который начинается в узле (1, 10) и заканчивается в узле (5, 0). Это означает, что весь наличный объем капитала должен быть полностью распределен между четырьмя объектами.

Для

проверки правильности понимания сети такого рода составьте

несколько

возможных планов

распределения капиталовложений

и

найдите

соответствующие

этим планам пути в сетевой мо-

дели. Далее выберите несколько различных путей и определите

соответствующие

им варианты

распределения

капиталовло-

жений.

 

 

 

В этой задаче

длине дуги соответствует приведенная прибыль

Vih решения, отображаемого этой дугой. Подлежащая

максимизации

целевая функция имеет смысл приведенной прибыли, и, следовательно, задача состоит в отыскании в сети пути максимальной длины. Из предыдущих глав читателю уже известно, что, изменив знак целевой функции, задачу о максимальном пути можно элементарно преобразовать в задачу о кратчайшем пути. Таким образом, эти две задачи имеют в сущности одинаковую структуру. Поскольку сеть ациклическая, оптимальное значение целевой функции является конечным.

Описанная выше в содержательных понятиях модель формализуется следующим образом. Примем, что xt — объем капитала, вложенного в объект i, и определим неубывающую функцию hl (xt)

 

ОПТИМИЗАЦИЯ

НА СЕТЯХ

235

выражением

 

 

 

 

10

при xi <pi,

 

 

 

\vih при Xi = pi~{-k,

где /i = 0, 1, 2, ... .

 

Тогда модель записывается в виде

 

 

 

 

максимизировать

2 ^' (х')

(1)

при ограничениях

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

S^<C,

 

(II)

xt

= О, 1, 2, . . .

для любого i.

(Ill)

В этом примере показано, как методы анализа сетей можно применить для решения задачи оптимизации нелинейной целевой функции в случае, когда на переменные наложено условие целочислен-

.ности и они подчиняются единственному ограничению.

Задача коммивояжера. Эта задача с несколько шуточным названием относится к следующей ситуации: коммивояжер (агент по сбыту)

собирается

посетить каждый

из п городов по одному разу, выехав

из

города

1 и вернувшись

в

него же. Расстояние между городом i

и

городом

/ равно c t j .

Каков кратчайший маршрут коммивоя-

жера?

 

 

 

Эта оптимизационная задача и различные ее модификации на самом деле возникают перед различными фирмами и агентствами, занимающимися доставкой товаров на дом и аналогичной деятельностью. Математическая модель этой задачи отображает также ситуации совершенно иного характера. Так, например, эта модель описывает условия производства мороженого, когда нужно найти оптимальный порядок изготовления различных сортов на одном и том же оборудовании. Примем, что c t j представляют собой затраты времени на очистку и подготовку оборудования, когда сорт / изготовляется после сорта i. Величины ctj могут изменяться в широком диапазоне, ибо сорта, мало отличающиеся друг от друга (скажем, ванильное мороженое и ванильное с шоколадной пудрой), можно выпускать друг за другом, лишь незначительно изменив технологию, т. е. затратив немного времени на переналадку оборудования, тогда как для последовательного выпуска некоторых других сортов требуются значительные затраты времени на очистку оборудования (например, •если за шоколадным мороженым следует кокосовое). Разумеется, •стремятся составить такой календарный план выпуска различных «сортов мороженого, чтобы минимизировать затраты времени на перелаладку оборудования.

236

 

ГЛАВА 6

 

Возвращаясь к исходной задаче, примем

 

(1,

если в маршрут входит переезд из города i в город j

11

|_0

в остальных случаях.

Предположим теперь, что для решения этой задачи применяется

.модель назначений (2) — (5), рассмотренная в предыдущем разделе, в которой исключены все хц и отыскивается маршрут минимальной длины, проходящий через все города. Ограничения задачи о назначениях обеспечивают включение в этот маршрут выезд из каждогогорода, а также прибытие в каждый город.

Даст ли оптимальное решение задачи о назначениях маршрут,, которым может воспользоваться коммивояжер? К сожалению, ономожет не содержать такого маршрута. Полученное решение может включать два или более несвязанных цикла. Так, например, не исключена возможность такого решения:

Следовательно, один маршрут проходит через города 1, 2 и 3 и совершенно независимый маршрут — через города 4, 5, . . ., п. Поэтому кажущееся весьма скромным дополнительное требование о том, чтобы маршрут содержал только один цикл, на самом деле существенно усложняет решение этой комбинаторной задачи, к которой мы вернемся в гл. 13.

6.6. КАЛЕНДАРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ МЕТОДОМ КРИТИЧЕСКОГО ПУТИ*)

Рассматриваемая модификация задачи об отыскании максимального пути очень часто применяется для построения календарных планов реализации комплексных проектов, например строительства многоэтажных административных зданий, капитальных ремонтов, сложного оборудования, программ научно-исследовательских и опыт- но-конструкторских работ создания новых систем вооружения, планов выпуска на рынок сбыта новой продукции и т. п. Метод критического пути известен также под различными сокращенными названиями, среди которых наиболее распространены GPS, CPM и PERT. Этот метод развит в такой степени, что для полного изложения всех его модификаций и тонкостей потребовалась бы целая самостоятельная глава, что увело бы читателя от предмета, рассматриваемого в данной главе. Однако весьма полезно и поучительно познакомиться

*) В отечественной литературе принято более широкое понятие «сетевое планирование и управление» (СПУ). В СП У входит не только решение самых различных по содержанию и формальным постановкам организационных задач,,

отличающихся от рассматриваемой здесь, но и построение реальных СПУ, ядром которых является сетевая модель.— Прим. перев.

ОПТИМИЗАЦИЯ НА СЕТЯХ

237

с тем, как модель выбора максимального пути можно использовать для построения календарных планов. В описании этой модели имеется ряд упрощений, но основные структурные свойства при этом сохранены.

Задача компании «Блитцстрой». Компания должна реализовать проект строительства здания, состоящий из п операций (работ). Руководители комплекса оценили продолжительность выполнения

 

Непосредственно

Продолжитель-

Операция

предшествующие

ности операции

 

операции

 

 

А

_

tA

В

tB

С

А

 

tc

D

А

 

tD

Е

В,

D

tE

F

С,

Е

 

P и с. 6.13. Таблица, отражающая состав и взаимосвязи операций задачи компании «Блитцстрой».

каждой операции и установили последовательность операций, т. е. точно определили, какие операции обязательно должны быть закончены, чтобы могла начаться любая из операций, входящих в комплекс. Как будет показано ниже, для задания такой последовательности необходимо определить лишь те операции, которые непосредственно предшествуют каждой рассматриваемой операции. Руководству компании нужно выяснить, какова наименьшая возможная про-

должительность реализации всего проекта, т. е. наиболее

ранний

из всех возможных сроков его завершения.

 

Предположим, что проект состоит из пяти операций А,

В, С, D

ж Е. Удобно ввести еще одну фиктивную операцию F, начинающуюся в момент завершения проекта. Последовательность операций и их продолжительность указаны в таблице на рис. 6.13. Так, операцию С нельзя начать, прежде чем не закончена операция А, а операция Е не может начаться, пока не завершены обе операции В и D. Весь комплекс выполнен, как только закончены операции С и Е.

При построении соответствующей математической модели примел, что переменными являются сроки начала операций. Введем лишь те переменные, которые необходимы для решения задачи. Заметим,

что

за время начала операций А и В можно принять момент 0, так

как

эти операции не имеют предшествующих. Аналогично можно

считать, что операция С начинается в тот же момент, что и операция D, поскольку у обеих этих операций одна и та же непосредственно предшествующая, в данном случае операция А. Поэтому

238

ГЛАВА 6

в модель включаются только следующие переменные: У CD — момент начала операций С и D; уЕ — момент начала операции Е;

ур — момент начала операции F.

Вспомним, что yF на самом деле есть момент завершения всего комплекса.

Соответствующая модель линейного программирования имеет вид:

минимизировать ур

(1)

при ограничениях

 

 

 

 

(2)

УЕ

> *в,

 

(3)

УЕ

>tD

Усо,

(4)

yF>tc + Усо,

(5)

УР > tK + уЕ.

(6)

Неравенства (2) — (6) являются

математической записью после-

довательности указанных выше операций (см. таблицу на рис. 6.13).

 

 

 

Например, в силу (3) и (4) требуется, что-

Усо

УЕ

VF

бы до начала операции Е были обязатель-

 

 

 

но завершены операции В и D. Срок окон-

1

 

 

чания операции В равен просто tB, а опе-

1

 

рации D — сроку ее начала плюс продол-

-1

 

жительность. Заметим, что благодаря огра-

1

 

 

ничениям (2) — (6) нет необходимости в=

—1

1

 

 

-1 1

-^ IE

явном виде вводить условие

неотрицатель-

 

 

 

ности переменных. Следовательно, с фор-

 

 

Мини-

мальной точки зрения переменные не огра-

 

 

ничены по знаку.

 

 

 

мизи-

 

 

 

Структура модели отражена в таблице?

 

ровать

 

 

на рис. 6.14. На первый взгляд эта таблица

Р и с . 6.14. Матрица поста-

не имеет сетевой структуры, но более тща-

новки исходной задачи ком-

тельный

анализ показывает, что двойст-

пании

«Блитдстрой».

венная

ей задача обладает

всеми необхо-

 

 

 

димыми характеристиками сетей. Выполнив несколько простых преобразований, указанных ниже в специальном разделе, можно показать, что двойственная задача является задачей о выборе максимального пути. Этот путь наибольшей длины называют критическим, поскольку увеличение продолжительности (или сдвиг срока окончания) любой операции, принадлежащей этому пути, приводит к такому же увеличению продолжительности всего комплекса. (Критический путь не обязательно является единственным.)

В реальных условиях, когда комплекс часто включает несколько сотен операций, специалист по СПУ, используя информацию, подобную приведенной в таблице на рис. 6.13, может сразу построить

ОПТИМИЗАЦИЯ НА СЕТЯХ

соответствующую сетевую модель. Однако алгоритм отыскания наиболее длинного пути в построенной ациклической сети по существу дает решение задачи, аналогичной задаче (1) — (6).

В более сложных постановках задач СПУ продолжительности операций рассматриваются в качестве переменных величин, на которые наложены определенные ограничения. В таких задачах определяются зависимости между общими затратами на реализацию

^01 ^02 ХП Х13 Х2.3 \

1

 

1

1

1

 

= 1

 

 

-1

 

 

1

= 0

 

 

 

—1 —1

—1 —1

= 0

 

 

 

 

 

 

 

= —1

 

 

'A tB

 

tD tc

tE

 

Макси-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мизиро-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вать

 

 

Рис. 6.15. Матрица постановки двои-

Рис . 6.16.

Сеть двойственной задачи

ствепной

задачи

компании

«Блитц-

компании

«Блитцстрой».

строй».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплекса и его продолжительностью и отыскиваются варианты, минимизирующие либо продолжительность комплекса при заданных затратах, либо затраты при фиксированной продолжительности.

Выпишите три уравнения двойственной задачи, следующие из таблицы на рис. 6.14, и просуммируйте их: в результате получится четвертое избыточное уравнение. Вспомните, что соотношения двойственной задачи являются равенствами, поскольку переменные прямой задачи (рис. 6.14) не ограничены по знаку. Далее возьмите те же три уравнения и умножьте обе их части на —1, чтобы изменить знаки коэффициентов.

В итоге получится модель, приведенная в таблице на рис. 6.15, с избыточным уравнением, записанным в верхней строке. Соответствующая этим условиям сеть показана на рис. 6.16. В задаче требуется отыскать путь максимальной длины в ациклической сети. Эта задача структурно эквивалентна задаче об отыскании кратчайшего пути.

6.7. КАЛЕНДАРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ

Рассматриваемый в этом разделе пример использования сетевых методов показывает, как иногда приходится изменять первоначальную постановку задачи, чтобы обнаружить ее сетевой эквивалент.

Фирма «Дик О'Браз» является подрядной ремонтной организацией, обеспечивающей набор рабочей силы и выполнение капитального ремонта химико-технологического оборудования. Типовой подряд часто требует найма тысячи и более человек, а его выполнение занимает от одной-двух недель до нескольких месяцев. Поскольку