Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
6.68 Mб
Скачать

280

 

ГЛАВА

7

 

 

а оценки маршрутов равны

 

 

 

 

-3 + 15 - 11 = 1

маршрут

(1, 3),

 

_3 + 9 -

7 = -1

маршрут

(1, 4),

 

_6 + 5 -

1

= -2

маршрут

(2, 1),

 

_6 + 15 — 6

= 3

маршрут

(2, 3),

(Ю)

_6 + 9 -

1= 2

маршрут

(2, 4),

 

О + 6 -

8 = -2

маршрут

(3, 2).

 

Следовательно, в новое решение вводится маршрут (2, 3), Соответствующая схема изменений показана на рис. 7.7. Отметим, что все прежние базисные маршруты, кроме одного, претерпели изменения. (Может встретиться случай, когда все базисные маршруты

VImajTcJeu,1

2

3

4

Поставка

 

 

 

 

Строк/г

 

*v

 

 

 

 

 

 

 

1

2-1

 

 

6

Р и с. 7.7.

Схема

изменений

 

 

1-1

+/

 

 

при добавлении единицы по

2

 

 

1

маршруту

(2,

3)

в третьем

 

 

 

 

 

 

решении. (Общие затраты =

3

5>/

 

3-1

2

Iff

104 — 1-3 =

101.)

 

 

 

 

 

 

Спрос

7

5

3

 

2

 

 

 

 

изменяются.) Поток по маршрутам (2, 2), (1, 1) и (3, 3) уменьшается. Маршрут (2, 2) выводится из базиса прежде всего, когда общее изменение потока равно единице. Поэтому в данном случае величи-

ны, стоящие в таблице на рис. 7.7, представляют

собой также потоки

третьего

пробного

 

базиса.

 

 

 

 

 

 

Итерация 3.

Упрощенный прием. Теперь,

когда изложен метод

получения оценок маршрутов на шаге 2 алгоритма, уже

нет необ-

ходимости полностью выписывать двойственные

уравнения для всех

 

СгпйлВец

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

0

3

4

-3

 

 

 

 

Стропа

0

JJ

л\ 1

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

-5

 

-3

_d

Ч,

Р и с .

7.8.

Оценки

небазисных

 

 

0

маршрутов

в третьем

решении.

3

 

 

*J

 

15\

 

а

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

-2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»,

5

 

6

 

15

9

 

 

 

 

 

базисных переменных. Упрощенный прием сводится к заполнению оценками таблицы размером т X п. Сначала чертится таблица по образцу рис. 7.8 и проставляются значения всех cti в верхних

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СЕТЕВЫХ ЗАДАЧ

281

малых клетках и символ 0 для каждого маршрута, входящего в базис

при текущем решении. Все остальные элементы таблицы, включая vt и Wj, не проставляются.

Далее выбирается любая величина vt или и>,, и ей приписывается произвольное значение. Предположим, что, как и прежде, и3 = 0. Тогда нужно проставить выбранное значение у соответствующей

строки или столбца (в рассматриваемом

примере

оно проставлено

 

 

Строка"\

~толбеи,

 

 

 

 

Поставки

 

 

1

2

3

4

 

 

 

 

S

1

 

 

ff

Р и с . 7.9.

Четвертое (опти-

 

 

 

 

мальное)

базисное решение.

 

 

 

 

 

 

 

(Общие

затраты = 101 —

2

 

 

1

 

 

1

- 1 -1 = 100.)

3

7

 

1

 

2

Ш

 

 

 

 

 

 

Спрос

 

 

 

 

 

справа от строки 3). Строка или столбец

просматривается

с целью

выявления базисных маршрутов. В строке 3 маршруты

(3, 4), (3, 3)

и (3, 1) принадлежат базису. Двойственное уравнение

для

каждого

из этих маршрутов позволяет найти значение другой двойственной переменной. В рассматриваемом примере и?4 = 9, и;3 = 15, wi = 5. Эти значения записываются под соответствующими столбцами таблицы.

Описанная схема вычислений повторяется до тех пор, пока не будут найдены значения всех двойственных переменных. В этом примере можно выполнять вычисления в последовательности Vz — = —9, У!= —3, W2 = 6.

Наконец, для каждого маршрута, не входящего в базис, вычисляется значение выражения Vi -\- Wj сц и полученный результат проставляется в таблице. Окончательно таблица принимает вид рис. 7.8, откуда видно, что лишь маршрут (1, 3) имеет «хорошую» оценку.

Для проверки степени усвоения описанных шагов алгоритма читателю предлагается составить схему изменений в случае, когда в базис вводится маршрут (1, 3). Покажите, что наибольшая возможная величина потока по этому маршруту равна единице, а новые потоки определяются величинами, проставленными на рис. 7.9.

Итерация 4. Проводятся вычисления, позволяющие оценить оптимальность полученного решения, и найденные результаты сравниваются с результатами, приведенными на рис. 7.10. Интересно, насколько близким к оптимальному оказалось решение, угаданное читателем в начале рассмотрения этого примера.

Если исходная задача относится к категории транспортных задач с промежуточными пунктами, то для каждого промежуточного узла k

282 ГЛАВА 7

получаемые

расширенные

матрицы

содержат

как строку ih, так

и столбец

jh. Соответственно рассматриваются две

двойственные

переменные

щft и

Wj н.. Поскольку

буферный

запас

В

достаточно

 

-1

0

0_

-2

 

 

 

 

 

2

-5

-2

 

-1

-3

Р и с .

7.10. Оценки

маршрутов

Я.

в оптимальном

решении.

J

0

-1

0

0

0

 

 

 

 

ш-

5

1

15

 

3

 

 

 

 

велик, все величины Xi .j, входят в каждый пробный базис. Следо-

вательно,

Vi +

А

Wj

= 0, и поэтому величины Vi

и w, в соответ-

ствующих

Д

 

ri

f t

по знаку.

строках

и столбцах отличаются

только

7.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО СИМПЛЕКСНОМУ МЕТОДУ

Завершая изложение правил симплексного метода для решения транспортных задач, целесообразно привести некоторые дополнительные сведения.

Хотя рассмотренный алгоритм был назван «симплексным методом решения транспортных задач» и применялась соответствующая терминология, на самом деле в явном виде эквивалентность этого алгоритма симплексному методу не была показана.

Особая структура. Ранее уже неоднократно упоминалось, что транспортные задачи имеют особую структуру, которую можно выгодно использовать. Важным утверждением является следующая теорема.

Т е о р е м а о т р е у г о л ь н о м с в о й с т в е . Исключив любое из уравнений в избыточной системе ограничений транспортной задачи, получим, что каждый базис обладает треугольным свойством. Следовательно, поскольку все коэффициенты в ограничениях равны единице, для последовательного определения значений любого множества базисных переменных не требуется ни умножения, ни деления. Достаточно лишь сложения и вычитания.

Таким образом, при использовании симплексного метода для решения любой транспортной задачи на шагах 3 ц 4 не нужно ни умножения, ни деления. Метод был изложен таким образом, что это свойство постоянно использовалось, и на него опирались, выполняя

основные вычисления.

Оптимальность. Нижеследующие рассуждения показывают, что при завершении симплекс-процедуры действительно достигается оптимальное решение.

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СЕТЕВЫХ ЗАДАЧ

283

Заметим прежде всего, что, поскольку в любом решении транспортной задачи все поставки St должны быть распределены по маршрутам i-й строки, одну и ту же константу можно вычесть из каждой величины GIJ, стоящей в этой строке, не влияя на значения переменных, входящих в оптимальное решение. Аналогично можно уменьшить каждую величину сц, стоящую в JF-M столбце. Допустим, что значение vt, полученное в результате выполнения указанной операции, является константой для строки i, a значение wj — константой для столбца /. Предположим далее, что в исходном выражении целевой функции значения коэффициентов е^ заменены новыми значениями ctj (vt + Wj). В силу указанного выше соображения модель с исходными значениями c t j и модель с новыми коэффициентами имеют одно и то же оптимальное решение.

Вспомним далее, что при завершении симплекс-процедуры выпол-

няется неравенство

 

О ^СИ (vi + wi) Для всех (b i) 6 сети,

(1)

поскольку величины в (1) являются просто элементами окончательной таблицы оценок, взятых с обратным знаком. Поэтому минимальное значение новой целевой функции не может быть меньше нуля, так как все новые коэффициенты целевой функции неотрицательны.

Наконец, заметим, что, поскольку для базисных маршрутов условие (1) выполняется как равенство, в окончательное решение входят лишь те маршруты, где новые коэффициенты затрат равны нулю. Следовательно, лучшего решения существовать не может.

Если для некоторого маршрута, не вошедшего в базис, имеется оценка с нулевым значением, то можно найти другое оптимальное решение, ьиедя этот маршрут в базис в соответствии с шагами 3 к, 4.

Целочисленность. Ранее уже несколько раз подчеркивалось, что если в транспортной модели принимается дополнительное ограничение в отношении целочисленности переменных:

каждая величина x t j = О, 1, 2, . . .,

(2)

то оптимальное значение целевой функции не возрастает. Нижеследующее краткое рассуждение показывает справедливость этого

утверждения.

С помощью симплексного алгоритма

всегда находят

оптимальное решение

любой задачи линейного программирования;

для транспортной задачи он обеспечивает поиск

только

таких

решений,

которые удовлетворяют условию (2).

 

 

В

основе этого рассуждения лежат следующие положения.

1)

Поскольку транспортная модель имеет конечное оптимальное

решение,

существует

оптимальное базисное решение.

 

2)

Каждый базис имеет треугольную структуру.

 

3)

Каждый

коэффициент матрицы транспортной

задачи

равен

либо 1, либо —1.

284

 

 

ГЛАВА 7

 

Таким

образом, при

последовательном определении

базисных

значений

переменных xtj

используются только операции

сложения

и вычитания целых

чисел.

 

Полнота. Если

на шаге 2 более чем один маршрут имеет макси-

мальную оценку, то можно выбрать любой из них произвольным образом. Если на шаге 3 поток становится равным нулю более чем по одному маршруту при введении в базис нового маршрута, то новый базис будет вырожденным. В новом базисе должны оставаться все маршруты с нулевым потоком, кроме одного. С практической точки зрения правило выбора маршрута, выводимого из базиса, не играет никакой роли. Однако, как было показано в гл. 4, трудности, связанные с вырожденностью, необходимо каким-то образом преодолеть, чтобы доказать, что симплексный метод сходится к решению за конечное число шагов.

Область применимости. Симплексный метод можно применить для решения любых сетевых задач, которые можно свести к виду транспортной модели. Заметим, что для выполнения шагов алгоритма коэффициенты сц не обязательно должны быть неотрицательными.

Сходимость. По самой природе транспортной задачи оптимальному решению должно соответствовать конечное значение целевой функции. Если на каждой итерации пробные решения улучшаются, то метод должен сходиться, поскольку значение целевой функции уменьшается всякий раз по крайней мере на единицу. Однако в случае вырожденности значение целевой функции может оставаться неизменным на нескольких итерациях и возникает опасность зацик-

ливания.

Исключить возможность возникновения вырожденности в ходе вычислительного процесса всегда можно, изменив масштаб единицы и введя небольшие возмущения в поставки и спрос. Можно показать, что следующий прием обеспечивает достижение такого результата.

Примем, что новые поставки равны nSi

при

i = 1, 2, . . ., т — 1

и nSm

+ и, а новые потребности равны nDj +

1 при/ = 1,2, ... ,» .

Тогда

значение целевой функции будет

уменьшаться на каждой

итерации. Окончательный результат переводится обратно в исходные единицы путем деления значения каждой переменной хц на п и округ-

ления. При этом выполняются

все ограничения по

поставкам

и спросу. Поскольку округленное

решение допустимо

и в

него

входят те же базисные маршруты, оно остается оптимальным.

 

Соотношение со стандартным симплексным методом. На рис.

7.11

приведена симплексная таблица, в которой отражены все итерации. Эта таблица соответствует матрице уменьшенной размерности, приведенной на рис. 4.11. Избыточность уже ликвидирована.

Заметим, что на любой итерации каждый коэффициент в строках 1—6 равен либо -f-1, либо —1, что объясняется сетевой структурой задачи. Структура коэффициентов в каждом столбце соответ-

Ите-

Базис Значения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стро-

 

>ация

 

целевой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ка

 

 

 

функции

«12

«13

 

«14

«21

 

«23

«24

 

 

 

 

 

и пере-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

менных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х0

112

2

1

 

— 1

 

-4

1

 

 

 

0

 

 

«11

6

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

«22

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

2

 

1

«31

1

— 1

1

1

1

 

 

 

 

3

 

 

ПП

 

 

 

 

-1

 

-1

-1

 

 

 

«32

4

 

 

 

 

 

4

 

 

Х33

3

 

 

1

 

1

 

 

 

1

5

1

 

«34

2

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

«32

«13

 

«14

 

«21

Т23

«24

 

 

 

 

Х0

104

—2

1 — 1 — 2

3 2

 

0

 

 

ХЦ

2

1

 

1

1

1

 

1

1

 

1

2

«22

1

 

 

 

 

 

 

1

 

И

 

2

«31

5

1

-1

 

-1

 

 

 

—1

3—1

 

 

 

 

—1

 

«12

4

1

 

 

 

 

 

 

 

—1

4

—1

 

гзз

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

5

1

 

«34

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

16

 

 

 

 

«32

«13

 

«14

 

«21

 

«22

«24

 

 

 

 

Х0

101

—2

1

 

- 1

 

—5

 

—3

—1

 

0

 

 

Хц

1

-1

JTI

1

 

-1

 

 

1

 

3

«23

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

2

 

«31

6

1

-1

 

-1

 

1

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х12

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

I

4

 

 

«зз

2

 

 

1

 

 

-1

-1

-1

 

5

 

 

«34

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

6

 

 

 

 

«32

«11

 

«14

 

«21

 

«22

«24

 

 

 

 

Ч

100

— 1

—1

-2

—5

 

—2

-1

 

0

 

 

«13

1

- 1

1

1

 

-1

 

 

 

 

1

 

 

«23

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

2

 

4

«31

7

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

«12

5

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4

 

 

«33

1

1

—1

—1

—1

 

 

—1

5

 

 

«34

2

 

 

 

 

 

1

 

 

1

6

 

Р и с. 7.11. Симплекс-таблица.

286

ГЛАВА 7

ствует схеме изменений при введении небазисного маршрута. Легко видеть, что при такой структуре задача сводится только к операциям сложения и вычитания.

Транспортная задача с ограничениями пропускной способности.

В случае когда накладываются дополнительно ограничения по пропускной способности Xij ^ W j j , к сетевой структуре легко приспо-

собить метод

с ограниченными сверху переменными, изложенный

в разд. 5.10.

Предположим, что все величины иц являются целыми

числами.

 

Допустим,

что на шаге 3 поток по какому-либо небазисному

маршруту должен быть увеличен. Тогда для определения наибольшей возможной величины потока нужно учесть ограничения пропускной способности на новом маршруте и на текущих базисных маршрутах с увеличенным потоком. Если любое из этих верхних ограничений достигается до того, как поток по какому-либо иному базисному маршруту станет равным нулю, то нужно принять соответствующий поток равным пропускной способности и считать его переменной, выводимой из базиса в следующем пробном решении.

На шаге 2 рассматривается также каждый небазисный маршрут с потоком, равным его пропускной способности. Если оценка маршрута оказывается отрицательной, то этот маршрут является кандидатом на уменьшение потока. Если он действительно выбирается, то процедура на шаге 3 выполняется в обратном порядке, что отражает уменьшение потока. Пробное решение является оптимальным, когда поток по каждому небазисному маршруту равен нулю, если этот маршрут имеет неположительную оценку, и когда он равен пропускной способности, если маршрут имеет положительную оценку.

Алгоритм решения сетевой задачи с ограниченными сверху переменными дает оптимальные значения xtj, являющиеся также целочисленными. Следует учитывать, что значения и^ могут быть такими, что допустимое решение не будет существовать даже тогда, когда общие поставки равны общему спросу. Кроме того, необходимо достаточно осторожно выбирать исходное пробное решение, а именно оно должно содержать базисное множество маршрутов с потоками, не превышающими заданные ограничения по пропускной способности. Добиться выполнения этого условия не столь сложно, однако подробное изложение этого вопроса выходит за рамки данной книги.

Исходное базисное решение. При выборе исходного решения на шаге 1 необходимо тщательно подойти к вопросу определения базиса, т. е. т + п — 1 маршрутов с потоками, однозначно задаваемыми величинами St и DJ. Обычно целесообразно провести предварительный анализ коэффициентов оц, помогающий выбрать удачный исходный базис.

При обсуждении оптимальности было показано, что из каждого коэффициента сц в строке или столбце можно вычесть некоторую

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СЕТЕВЫХ ЗАДАЧ

287

константу, что не оказывает влияния на выбор оптимального решения. Кроме того, в случае когда оптимальные значения двойственных переменных vt и Wj являются константами для строки i и столбца у, новые коэффициенты затрат неотрицательны, а потоки наблюдаются только по маршрутам с нулевыми коэффициентами затрат.

Столбец,

 

 

 

 

Строка\

J

2

3

4

 

1

2

3

4

Вычесть

1

0

1

J

4

 

и

1

 

 

 

 

9

5

::;

2

i

0

0

a

 

 

 

 

«

 

 

 

 

 

 

2

1

0

6

1

 

3

0

3

4

3

 

 

 

 

 

 

J

0

3

W

 

 

Вычесть

0

0

6

1

Р и с. 7.12.

Схема

вычислений

при при- Р и с. 7.13.

Схема

вычислений при

ведении

по

строкам.

 

 

приведении

по

столбцам

и опреде-

 

 

 

 

 

 

лении относительных затрат.

Эти соображения приводят к возможности использования следующей вычислительной процедуры:

1) Вычесть наименьший коэффициент c t j строки i из всех остальных коэффициентов затрат в этой строке, что даст новый вектор коэффициентов.

2)Вычесть наименьшую компоненту этого нового вектора из всех элементов столбца /, вследствие чего получается таблица относительных затрат.

3)Выбрать исходный базис в соответствии с этой таблицей.

Эта схема иллюстрируется примером, приведенным в таблицах

рис. 7.12

и

7.13.

Чтобы гарантировать выбор некоторого

базиса,

нужно воспользоваться

следующими

правилами.

 

1) Выбрать маршрут (j, у) среди допустимых маршрутов и при-

нять поток

Xij равным

наименьшей

из величин поставок

а; ^ О

и спроса

TJ

!J> 0.

Для

первого из

выбранных маршрутов

at = St

иГ] = D].

2)Если at < г7-, вычеркнуть строку i и не выбирать каких-либо дополнительных маршрутов в этой строке. Уменьшить xlj на величину, требуемую по столбцу у, и принять теперь г, равным этому новому значению. Вернуться к правилу 1.

3)Если «j ^> г;, вычеркнуть столбец j и не выбирать каких-либо-

других маршрутов в этом столбце. Уменьшить xtj на величину поставки, имеющейся в строке i, и принять теперь at равным этому новому значению. Вернуться к правилу 1.

4) Если di = TJ, останов при условии, что выбрано т -\- п — 1 маршрутов. В противном случае действовать либо по правилу 2, либо по правилу 3, но не по обоим одновременно. Однако если остается только строка i, то действовать по правилу 3, а если остается толь-

288

ГЛАВА 7

ко столбец /, то действовать по правилу 2. Исходное решение будет вырожденным.

Реализация этой вычислительной схемы приведена в качестве примера с вырожденным исходным решением в таблицах рис. 7.14

Правило

 

Вычисления

1

Выбрать ХЦ — rj = Si = 1

3

Вычеркнуть столбец

1. Принять ai = 7—1=6

1

Выбрать ,r12 = ai = r1

= 6

4(2)

Вычеркнуть строку

1. Принять л> = 6—6 = 0

1

Выбрать г2з =а2 = г3

=2

4(2)

Вычеркнуть строку 2. Принять г3 = 2—2 = 0

1

Выбрать £32 = г2 = О

 

4(3)

Вычеркнуть строку 2. Принять о3 = 3—0 = 3

1

Выбрать л:34 = а3 = г4 = 3

4(3)

Вычеркнуть столбец 4. Принять а3 = 3—3 = 0

1

Выбрать ж33 =аз = 0

 

4

Останов —1 = 3+4—1 = 6 маршрутов)

Р и с. 7.14. Выбор исходного базиса.

и 7.15. Для проверки усвоения материала читателю нужно выполнить операции, указанные на рис. 7.14 и в таблице на рис. 7.15.

X

mofiS&u,

 

 

 

 

 

1

 

2

3

4

 

Поставки

Строка

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

6

 

 

 

1

2

 

 

 

 

2

 

2

3

 

 

0

 

0

J

3

Спрос

1

 

6

2

3

 

 

Р и с .

7.15.

Исходный

базис.

Сеть общего вида. Двумя важными теоретическими свойствами — треугольной структурой всех базисных решений и существованием целочисленного оптимального решения — обладают сетевые модели, соответствующие задачам:

 

минимизировать

2 S сцхц

(1)

 

 

 

 

(г, j) £сети

 

при ограничениях

 

 

 

 

S

Xkj—

S

Xih = Tk,

k—\,2, ...,p

(уравнения

(и, Лесе™

 

(г,ft)£

сем

баланса в

узлах),

 

Xij

>- 0

при всех

(i, j) £ сети,

(3)

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СЕТЕВЫХ ЗАДАЧ

289

где

п

У] ?\ = О и каждая величина Th является целочисленной. (4)

h=l

При условии (4) в ограничениях (2) имеется избыточность, однако, исключив любое из уравнений баланса в (2), получаем набор р — 1 независимых ограничений. Можно показать, что каждый базис для такого набора р — 1 ограничений обладает треугольной структурой. Следовательно, поскольку все коэффициенты в (2) равны либо +1, либо —1, соответствующее решение является целочисленным.

Двойственная этой задаче записывается в виде

 

р

 

 

максимизировать ^ Тъуъ.

(5)

 

й=1

 

при ограничениях

 

 

 

Ut — У} ^са Для

всех

(i, j)

£ сети

(ограничения

для

дуг),

(6)

где каждая величина yk не ограничена по знаку. В силу треугольной структуры можно последовательно найти значения соответствующих двойственных переменных (выбрав некоторую переменную и приписав ей произвольное значение) при условии, что известно любое базисное решение.

Отметим также, что в случае, когда заданы р — 1 независимых ограничений из (2), набор р — 1 базисных переменных соответствует дереву (разд. 6.8) в сетевом представлении (2). Применение симплексного метода к такой сети можно пояснить следующим образом. Выберем перспективную дугу, добавляемую к пробному решению, которая разрушает соответствующую структуру дерева вследствие образования контура. Далее направим максимально возможный поток по этой дуге, изменив потоки по остальным дугам, принадлежащим контуру. Такое распределение потока в свою очередь приводит к исключению одной из дуг контура, в результате чего структура дерева восстанавливается.

7.5.ОЦЕНКА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ

Вгл. 5 было показано, что понятие двойственности является основным при анализе влияния изменений условий задачи на оптимальное решение. Важнейшие моменты, относящиеся к этому вопросу, вновь рассматриваются здесь применительно к транспортной задаче.

Целевая функция. При известных на последней итерации значениях vi и W] все пробные величины vt -f- Wj c(j являются неположительными. Отсюда следует, что каждая величина сц может быть столь же мала, как и сумма vi + Wj, а текущее решение остается оптимальным. В числовом примере разд. 7.3, как видно из рис. 7.10, на последней итерации f4 = —4, а и?4 = 9. Поэтому текущее значе-