Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

Другими словами, пробная величина —2 (= — 4 + 9 — 7) являет-

ся наибольшим уменьшением с14, при которой текущее оптимальное решение сохраняется неизменным.

Поставки и спрос. Пусть имеется невырожденное оптимальное решение, т. е. пусть по каждому базисному маршруту проходит по крайней мере одна единица потока. Предположим далее, что величина 5Р увеличена на единицу, так что возникает избыточная мощность поставщика. Можно показать, что в новом оптимальном распределе-

а поток по маршруту (3, 3) уменьшится на единицу, вследствие чего избыточная поставка останется в строке 3. Чистое уменьшение затрат составит —4 (= 11 — 15 = v±) в предположении, что избыточная мощность поставщиков не связана ни с какими затратами. Покажите, что в случае, когда S2 = 2, потоки можно изменить таким образом, чтобы чистое уменьшение затрат i>2 было равно —9.

Предполагая, как и прежде, что оптимальное решение невырожденно, допустим теперь, что имеет место единичное увеличение как St, так и DJ. Можно показать, что к целевой функции добавляется величина Vi + u>j, это вытекает из рассмотрения целевой функции двойственной задачи.

Пусть, например, 8% = 2 и DI = 8. Тогда значение целевой функции становится равным 100 + (—9 + 5) =96. На первый взгляд кажется неожиданным, что увеличение плана перевозок на единицу потока может на самом деле привести к уменьшению общих транспортных затрат. Однако это происходит вследствие того, что затраты на единичное увеличение потока по маршрутам (3, 1) и (2, 3) с избытком компенсируются экономией от единичного уменьшения потока по маршруту (3, 3). Чистое уменьшение затрат составляет —4 (=5 + 6 — 15). Схема изменений базисных переменных определяется путем рассмотрения эффекта, к которому приводит умень-

7.6.КРАТЧАЙШИЙ МАРШРУТ В СЕТИ ОБЩЕГО ВИДА

Вразд. 6.5 было приведено несколько примеров оптимизационных моделей, которые оказались эквивалентными модели отыскания кратчайшего маршрута (пути) в сети. Читателю рекомендуется

ванную на рис. 7.16, на отдельный лист или делайте задней карандашом прямо на чертеже в книге.

Конечный

пункт

Р и с . 7.16. Пример задачи о кратчайшем маршруте.

Начнем вычисления, проставив 0 у узла 1 и символ оо у всех остальных узлов. Можно выполнять вычисления в различном поряд-

При вычислении нового значения каждой величины yh по формулам (3) нужно обязательно проставлять найденное значение у узла k на рисунке. Имеем

Необходимо обязательно убедиться в том, что значения переменных в (4) теперь удовлетворяют условию (2) для всех дуг сети. Тогда вычисления заканчиваются. На рис. 7.17 значения yk проставлены

Конечный

пункт

Рис . 7.17. Кратчайшие маршруты в узел 1.

в квадратах у каждого узла, а дуги, принадлежащие кратчайшим путям, выделены жирными линиями.

Если каждый оптимальный путь является единственным, то множество всех дуг, принадлежащих кратчайшим путям, образует дерево, определение которого дано в разд. 6.8.

Доказательство того, что конечное значение уа действительно определяет длину кратчайшего пути из узла s в узел г, следует немедленно. По построению все двойственные ограничения (2) удовлетворяются. Соответствующее значение двойственной целевой функции равно

УгТГ + ysTs = 0 (-1) + у. (1) = у,. (I)

Это значение определяет длину пути, по которому можно достигнуть узел г из узла s. Следовательно, найдены допустимые решения как прямой, так и двойственной задачи. Поскольку эти два решения имеют одинаковые значения целевой функции, путь должен быть оптимальным.

294 ГЛАВА 7

7.7. КРАТЧАЙШИЙ МАРШРУТ В АЦИКЛИЧЕСКОЙ СЕТИ

Алгоритм отыскания кратчайшего маршрута можно еще более упростить, если сеть является ациклической, ибо в этом случае двойственные переменные уь можно определять рекуррентно, т. е.

последовательно.

На предварительном шаге пронумеруем узлы сети от 1 до р таким образом, что если сеть содержит дугу (i, /), то i > j. Чтобы добиться выполнения этого условия, присвоим стоку или конечному узлу, т. е. узлу, не имеющему выходящих дуг, номер 1. Зачеркнем этот узел и все входящие в него дуги и не будем их рассматривать

в дальнейшем при присвоении номеров. Возьмем любой другой узел, имеющий теперь только входящие в него дуги, и припишем ему номер 2. Зачеркнем этот узел и все входящие в него дуги и исключим их из рассмотрения при дальнейшем присвоении номеров. Будем

Конечный

пункт

6

Для уяснения работы алгоритма, точнее рекуррентного соотношения (2), рассмотрим сеть, приведенную на рис. 7.18, где величины GIJ поставлены у каждой дуги. (Пронумеруйте узлы самостоятельно по изложенному выше правилу, чтобы убедиться, что нумерация на рисунке соответствует условию i > ;'.) В результате использования данного алгоритма получаем

Р и с . 7.19. Кратчайшие маршруты в ациклической сети.

Как и в предыдущем разделе, вычисления можно выполнять непосредственно на чертеже. Маршруты также определяются, как и прежде. Полученное в данном примере решение показано на"*рис. 7.19.

КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. Выпишите полностью уравнения стандартной транспортной модели при т. = 2 и ?г = 3, в которой общая мощность поставщиков равна общему спросу потребителей. [Используйте обозначения, принятые в (2), (3) и (5) разд. 7.2.] Покажите, что если сложить ограничения на мощность поставщиков из (2) для i = 1, 2 и из этой: суммы вычесть ограничения на спрос из (3) для j = 1, 2, то получится ограничение на спрос для /' = 3. Укажите, где используется допущение о равенстве мощности поставщиков спросу потребителей.

2. Выпишите полностью уравнения стандартной транспортной модели при т = 4 и п = 3. Сформулируйте также полностью соответствующую двойственную задачу линейного программирования, используя обозначения, принятые в (6) и (7) разд. 7.2.

3. При заданной модели исходной транспортной задачи (1) — (5), приведенной в разд. 7.2, покажите, что соответствующая двойственная задача записывается как (6) и (7).

4. Перегруппируйте двойственные переменные и двойственные равенства (3) в разд. 7.3 таким образом, чтобы наглядно была видна треугольная структура, когда указанная ниже двойственная переменная принимается равной нулю.

а) и;4. б)

в) и2.

5. а) Сгруппируйте переменные грузопотоков и равенства (5) в разд. 7.3 таким образом, чтобы была видна верхняя треугольная;

г) Рассмотрите упражнение п. а), когда равенство, соответствую-

также соответствующую оценку дуги и подтвердите правильность полученного ответа данными, приведенными на рис. 7.5. Найдите, наконец, значения нового базисного решения при условии выбора заданного маршрута.

а) Маршрут (1, 3). б) Маршрут (1, 4). в) Маршрут (2, 1). г) Маршрут (2, 3). д) Маршрут (2, 4).

7. В каждом из указанных пунктов решите двойственные урав-

вано следующее правило отыскания исходного решения любой транспортной задачи. Начать с левой верхней клетки таблицы, называемой иногда северо-западным углом, и распределить всю имеющуюся мощность поставщика Si по всем потребителям, начиная с £>!. Далее перейти к поставщику 52, удовлетворяя в аналогичной последовательности оставшийся неудовлетворенным спрос потре-

ного решения. Вычислите соответствующее пробное значение целевой функции.

в) Укажите, как нужно изменить данную выше формулировку правила северо-западного угла, чтобы гарантировалось получение

также соответствующую оценку дуги и сравните полученный ответ

11. Допустим, что каждый из указанных ниже маршрутов выбран да итерации 3 (рис. 7.6). Продолжайте вычисления симплексным методом для отыскания оптимального решения. Используйте таблич-

ный метод по образцу рис. 7.8 для вычисления оценок дуг. а) Маршрут (1, 3).

б) Маршрут (2, 4).

12. а) Объясните, почему, вычитая одну и ту же константу из каж-

.дой величины Сц в заданной строке г, получаем новую задачу, имею-

пределения изделий, выпускаемых на т предприятиях. Пусть pt — производственные затраты, связанные с выпуском каждого изделия на предприятии i, а 1ц — транспортные затраты по перевозке каждого изделия с предприятия i на склад ;'. Предположим, что общая потенциальная производственная мощность всех предприятий равна •общей потребности всех складов. Рассмотрев упражнение п. а), объясните, почему фактические значения pt не влияют на оптимальное распределение. Изменится ли это объяснение, если общая производственная мощность превышает общий спрос? Если да, то почему?

13. В каждом из п. а) — д) определите, будет ли существовать

.другое оптимальное решение на рис. 7.10. В случае положительного •ответа найдите такое базисное решение.

а) си = 3; б) сп = 1; в) с32 = 8; г) с32 = 9; Д) с32 = 7.

14. Вырожденность. В каждом из п. а), б), г) упражнения 8 примените симплексный транспортный алгоритм для отыскания оптимального решения и используйте исходное решение, полученное

вуказанном упражнении.

15.Вырожденность. В каждом из п. а) б), г) упражнения 8 примените метод изменения масштаба единиц, изложенный в разд. 7.4,

оптимальное решение исходной задачи. Используйте данные и исходное решение упражнения 8.

16. Рассмотрите пример, приведенный на рис. 7.2. Примените транспортный симплексный метод для отыскания оптимального решения, начав с базиса

хц = 2, xiz = 4, х22 = 1, x3i = 5, х33 = 3, xsi = 2.

17. Решите задачу, указанную в упражнении 16, пользуясь стандартным симплексным методом, изложенным в гл. 4. (По собственному усмотрению можете использовать любую форму таблиц, приведенных в разд. 4.9.) Проверьте, что на каждой итерации любая переменная соответствует схеме изменений, имеющей место при введении соответствующего небазисного маршрута. (Указание: начните с исключения любого из уравнений как избыточного и разрешите

маршрута (2, 2) используется маршрут (2, 3). Найдите оптимальное решение с помощью транспортного симплексного метода. [Учтите, что этот исходный базис определяется из анализа относительных затрат (рис. 7.13).]

19. а) Рассмотрите метод определения относительных затрат, изложенный в разд. 7.4 и проиллюстрированный на рис. 7.13. Используйте этот метод сначала при вычислениях по столбцам, а затем при вычислениях по строкам. Совпадают ли полученные резуль-

оптимальным для задачи, в которой коэффициенты сц заданы таблицей на рис. 7.13. Выясните связь между значением оптимального решения, данным на рис. 7.9, и значениями с^, приведенными в таб-

21. Рассмотрите задачу, приведенную на рис. 7.2. Вычислите минимальные значения указанных ниже коэффициентов в выраже-