Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

.pdf
Скачиваний:
39
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
6.68 Mб
Скачать

11U ГЛАВА 3

при условии

п

 

 

2 auxj = bt

(i = 1, 2, . . ., то), bt > 0,

(5)

j=i

 

 

я, > 0

(/ = 1, 2, . . ., n).

(6)

Как правило (хотя вовсе не обязательно), в (5) имеет место неравенство п~> т.

3.4.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Вгл. 4 и 5 будет показано, что нахождение решений и количе^- ственныи анализ задач линейного программирования возможны лишь в том случае, если определена алгебраическая структура соответ-

ствующих моделей. Лучшего понимания алгебраических свойств линейных оптимизационных моделей можно добиться с помощью геометрической интерпретации понятий, которые используются в линейном программировании. Мы обращаемся к помощи геометрии именно для того, чтобы глубже понять основные свойства линейных моделей. Во избежание неправильного толкования целей, которые при этом преследуются, еще раз подчеркнем, что геометрический подход оказывается малополезным для получения численных решений практических задач линейного программирования.

Существуют два вида геометрических представлений линейных оптимизационных моделей. Одно из этих представлений реализуется в так называемом пространстве решений. Именно такое представление рассматривается в данном разделе. Другое из них, известное под названием представление в пространстве условий *), для тех, кто только начинает знакомиться с линейным программированием, представляет меньший интерес. Его изложению отведен отдельный (повышенной трудности) разд. 3.6.

Представление в пространстве решений; двумерная задача. Такого рода представление уже встречалось в гл. 1 при рассмотрении проблемы «двух картошек». Желающим освежить в памяти некоторые детали, связанные с упомянутой проблемой, рекомендуется

бегло просмотреть разд. 1.6. Мы же переходим к

рассмотрению

следующей задачи:

 

 

максимизировать

12х^ + 15х2

(1)

при наличии ограничений

 

 

4^ + 3xz

< 12,

(2)

2xt + 5xz

< 10,

(3)

zi>0,*2>0.

(4)

*) Иногда используется термин «представление в пространстве ограничений».— Прим. перев.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ Щ

Эта задача графически представлена на рис. 3.1. Заметим, чтоограничения (2) и (3) изображены графически (прямые линии) как уравнения, полученные заменой фигурирующих в (2) и (3) неравенств на равенства. Соответствующие же неравенства изображены стрелками, направленными в сторону допустимых значений Xi и xz~

Р и с . 3.1. Пространство решений.

Поскольку ни одна из этих переменных не может принимать отрицательных значений, область допустимых значений х\, и х2 ограничена, кроме того, осями координат. Таким образом, многоуголь-

ник ОаЪс содержит в себе область значений х^ нх2, удовлетворяющих всем имеющимся ограничениям.["Множество точек, принадлежащих

области, ограниченной Oabc (вместе с граничными точками), называется множеством решений. Это множество является выпуклым, т. е„ любой отрезок, соединяющий две произвольным образом выбранные точки данного множества, лежит внутри или проходит вдоль границы

Oabc (другими словами, принадлежит упомянутому множеству). Вершины О, а, Ъ и с носят название экстремальных точек — они не могут принадлежать внутренней части ни одного из отрезков, соединяющих две различные точки рассматриваемого множества.!

Параллельные прямые на рис. 3.1 являются графическим изображением различных значений целевой функции. Стрелка, пересекающая эти прямые, направлена в сторону возрастающих значений целевой функции. Оптимальное решение определяется экстремальной точкой Ь, для которой Xi = 15/7, х2 = 8/7, 12^1 -+- 15ж2 = 300/7-

Альтернативные оптимальные решения^ Если в выражении для целевой функции изменить коэффициенты (при этом на рис. 3.1 угол наклона параллельных линий по отношению к оси абсцисс

112

ГЛАВА 3

также будет другим),

то в результате точка, задающая оптималь-

ное решение, может, естественно, переместиться. Однако всегда существует оптимальное решение, определяемое некоторой экстремальной точкой. Продемонстрируем справедливость этого утверждения на одном конкретном примере. Пусть имеет место некоторое

Р и с. 3.2. Альтернативные оптимальные решения.

вполне определенное изменение угловых коэффициентов упомянутых выше параллельных прямых, а именно пусть требуется

 

максимизировать

4xt

-|- 10х2

(5)

при наличии тех же самых ограничений

(2), (3) и (4).

 

В этом случае все точки (бесконечное множество точек), лежащие

на отрезке

ab (рис. 3.2), являются

оптимальными. Следовательно,

решение х4

= 15/7, х2 = 8/т по-прежнему

оптимально. Но

теперь

оптимальным является и решение х± = 0, xz = 2. То же самое можно

сказать и о любом положительно-взвешенном среднем двух

указан-

ных решений. При этом оптимальное значение целевой функции равняется 20.

Неограниченные оптимальные решения. В примере, графически

представленном на рис. 3.3, рассматривается следующая

модель:

максимизировать

2xt -f 6,r2

(6)

дри наличии ограничений

 

 

—\xi — ixz

< —2,

(7)

-la:, + 2

< 1,

(8)

*i > 0, *2 > 0-

(9)

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ЦЗ

Р и с . 3.3. Неограниченное оптимальное решение.

Эта задача имеет неограниченное множество решений. Нетрудно убедиться, что оно выпукло и что не существует экстремальных точек, кроме а и Ъ. Для данной задачи значение целевой функции может быть сделано сколь угодно большим, т. е. для любого заданного значения целевой функции в пространстве решений всегда существует точка, в которой целевая функция принимает еще большее значение. Такая точка лежит на прямой, уравнение которой имеет вид

—ixi + ixz = 1.

 

 

Задача, не имеющая решения. Рассмотрим еще один пример

(графически представленный на рис. 3.4). Пусть

требуется

максимизировать

Ixi -\- 1х2

(10)

при наличии следующих ограничений:

 

-Ixi + ixz < -1,

(11)

ix, - ixz < -1,

(12)

*i > 0, x2

> 0.

(13)

Р и с . З.4. Случай, когда не существует оптимального решения.

114

ГЛАВА 3

Легко убедиться графически (рис. 3.4), что данная задача не имеет ни одного допустимого решения.

Заключение. Результаты геометрического рассмотрения приведенных выше задач иллюстративного характера можно резюмировать следующим образом:

1.Если множество решений является непустым, то оно выпукло

иможет быть либо ограниченным, либо неограниченным.

2.Если множество решении является непустым, то оптимальное значение целевой функции может быть либо конечным, либо неогра-

ниченно большим. В случае когда оптимальное значение целевой функции конечно, оно соответствует экстремальной точке.

3.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЕНИЙ БОЛЬШЕГО ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ

В данном разделе мы познакомимся с терминологией, используемой в случае геометрического представления пространства решений

для моделей с п (п > 2) переменными.

 

Пусть требуется решить следующую задачу линейного

програм-

мирования:

 

 

 

п

 

максимизировать 2j cixi

(1)

 

3=1

 

при наличии следующих ограничений:

 

п

 

 

^atjxj^bi

(i = l,2, ...,ro),

(2)

3=1

 

 

^•>0

(/ = 1,2, ...,г а ).

(3)

Рассмотрим теперь «-мерное евклидово пространство, т. е. множество точек, каждая из которых задается с помощью п координат (xi, xz, ••• , жп). Поскольку Xj ~^- 0, рассмотрению подлежит только соответствующая область n-мерного евклидова пространства.

Каждому уравнению

.. ,/п)

(4)

3=1

соответствует гиперплоскость, которая делит рассматриваемое га-мер- ное пространство на два полупространства. Переходом от (4) к неравенству (2) при каждом значении i определяется направление, указывающее, какое из двух полупространств содержит точки, удовлетворяющие соответствующему неравенству (2). Пересечение т гиперповерхностей, соответствующих полному набору уравнений (4), определяет множество допустимых решений. В случае когда это множество оказывается непустым, оно является выпуклым и поли-

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ Ц5

эдральным. При этом грани полиэдра лежат на гиперплоскостях (4), а ребра и вершины — на пересечениях последних. Для простоты предположим, что полученное таким образом выпуклое полиэдральное множество га-мерно.

Целевую функцию можно также представить с помощью гиперплоскости в пространстве решений. Точнее выражаясь, множество всех точек га-мерного евклидова пространства, в которых линейная целевая функция принимает некоторое заданное значение, представляет собой гиперплоскость. Гиперплоскости, соответствующие различным значениям целевой функции, параллельны друг другу. Отсюда следует, что никакой точке, лежащей строго внутри множества решений, не может соответствовать оптимальное решение, так как всегда найдутся точки, которые лежат на гиперплоскостях, соответствующих большим значениям целевой функции. Следовательно, если значение целевой функции для оптимального решения является конечным, то оптимальное решение должно задаваться экстремальной точкой полиэдра, определяющего область допустимых решений. Если же га (га ^ 2) экстремальных точек являются оптимальными, то оптимальными являются также все точки, лежащие на ребрах и гранях, соединяющих эти экстремальные точки.

3.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ УСЛОВИЙ

Перейдем теперь к рассмотрению другого возможного геометрического представления задач линейного программирования. Любая линейная модель может быть изображена графически в пг-мерном пространстве условий, где т равно числу ограничений (не считая, условий неотрицательности переменных). Для этого запишем ограничения в виде одного векторного неравенства. Это всегда можно сделать, если учесть, что набор коэффициентов при любой переменной Xj (так же как и набор констант в правых частях ограничений) определяет вектор в тте-мерном пространстве. Рассмотрим множество точек, получаемое перебором всех возможных сумм таких векторов, а также их произведений на произвольные неотрицательные числа. Это множество образует в пространстве условий выпуклый поли-

эдральный конус.

Модель допускает хотя бы одно решение, если вектор, заданный набором чисел, фигурирующих в правых частях ограничений, не выходит за пределы этого конуса. Задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом: требуется найти векторы, которые: а) лежат внутри упомянутого конуса; б) дают в сумме вектор, определяемый набором констант, фигурирующих в правых частях ограничений; в) максимизируют (минимизируют) значение целевой функции. Идеи, которые легли в основу данного геометрического представления, иллюстрируются ниже на примерах, рассмотренных в разд. 3.4.

116

ГЛАВА

3

 

 

Ограниченное оптимальное решение. На рис. 3.5 показано про-

странство условий для следующей модели:

 

максимизировать

12xt

-f- 15a;2

(1)

при ограничениях

 

 

 

 

 

4л?! -f- 3xz

^ 12,

(2)

9-v

I

^-г-

<r"~ \{\

 

(3)

&Х\

ОХ2

^^ 1^)

 

хц > 0,

х2

>0.

 

(4)

Анализу этой модели посвящено

начало

разд.

3.4.

Чтобы сделать набор управляемых переменных модели полным,

введем в

рассмотрение остаточные переменные, после чего вместо

(2),

(3) и (4)

будем иметь

 

 

 

 

 

QXi

-j-

ОХ2 -\- 1#з

^^ -*-^?

 

 

2xi

-\-

5xz

-f- la;4 = 10,

(5)

X) >0 (j = 1, 2, 3, 4).

За счет переменных х3 и х4 появляются два новых вектора, лежащих вдоль осей координат.

5

10

Условие

(2)

Р и с . 3.5. Пространство условий.

После введения в рассмотрение

остаточных переменных про-

странство условий становится тождественным полному неотрица-

тельному

квадранту двумерного

пространства.

Как показано на

рис. 3.1,

решение заключается

в том,

чтобы

положить zt = I5/7,

xz = 8/7

. Действительно, сложив вектор

(4, 2), умноженный на х^ =

= 15/7,

с

вектором (3, 5), умноженным

на х2 = 8/7, получим век-

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ Ц7

тор (12, 10):

15

Г4

8

31

Г12

В соответствии с рис.3.5

можно,

разумеется, рассматривать

и другие комбинации слагаемых: вектор (1, 0), умноженный на некоторое положительное число, с вектором (3, 5) или с вектором (О,1); вектор (4, 2), умноженный на некоторое положительное число, с вектором (О, 1). Легко убедиться, что ни одна из этих комбинаций не может дать в сумме вектор (12, 10).

Альтернативные оптимальные решения. Пусть при тех же ограничениях (2), (3) и (4) требуется

максимизировать 4;ri -|- iOxz,

что приводит к альтернативным оптимальным решениям. Представление модели в пространстве условий выглядит так же, как и в предыдущем случае (рис. 3.5).

Неограниченные оптимальные решения. Рассмотрим снова задачу:

максимизировать —2х4 + &xz

 

(7)

при ограничениях

 

 

—iXl - 1хг ^ -2,

 

(8)

-1*! + 1х2 < 1,

 

(9)

-Ti>0, z2 >0.

 

(10)

В разд. 3.4 было показано, что для данной модели значение целевой

функции можно сделать [за счет переменных xit

x2

и остаточной

переменной в соотношении (8)] сколь угодно большим. На рис. 3.6

только что перечисленные

переменные ассоциируются с векторами

(—1, —1),

( —1, 1) и (1, 0) соответственно. Если вначале

сложить

векторы (—1, —1) и (1, 0), а затем к полученному в результате

век-

тору (0, —1) прибавить вектор

(— 1, 1),

умноженный на xz

= 2,

то получим вектор (—2, 1). Действительно,

 

 

Вектор, получаемый в результате

операции сложения, на рис. 3.6

обозначен

буквой

а.

 

 

 

 

 

 

Аналогичным образом,

если

вначале

к вектору 0,8 •(—1,

—-1)

прибавить

вектор

0,6-(1,

0),

а

затем

результирующий

вектор

(—0,2, —0,8) сложить с вектором 1,8-(—1, 1), то получим вектор (-2,1):

— 2

118

ГЛАВА 3

Вектор, получаемый в результате операции сложения в этом случае, обозначен на рис. 3.6 буквой Ъ. Существует бесконечное множество комбинаций векторов, коллинеарных векторам (—1, —1), (1, 0),

Р и с . 3.6. Неограниченное оптимальное решение.

(—1, 1), сумма которых равна (—2, .1). При этом чем больше (в рассматриваемой комбинации) множитель при (—1, 1), тем большее значение принимает линейная форма (—2xi -f- Qx2).

Оптимизация. Графики, с помощью которых демонстрировалось представление линейных моделей в пространстве условий, не содержат никакой информации относительно целевой функции, точнее, относительно того, какие векторы следует выбрать, чтобы одновременно удовлетворить имеющимся ограничениям и оптимизировать значение целевой функции. Эту информацию можно представить графически путем введения в рассмотрение дополнительного измерения. Вернемся к задаче, сформулированной с помощью (1) — (4) (см. рис. 3.5). В этом случае третье (дополнительное) измерение возникает за счет присоединения к системе ограничений (2), (3) соот-

ношения Z = 12xi -j~ 15^2. Таким

образом, получаем следующий

набор векторов: (1, 0, 0), (4, 2, 12),

(3, 5, 15) и (О, 1, 0), образующих

в трехмерном пространстве полиэдральный конус. Ограничивающий

 

 

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

 

ЛИНЕЙНЫХ

ОПТИМИЗАЦИОННЫХ

МОДЕЛЕЙ Ц9

вектор имеет вид (12,

10, Z), где Z подлежит максимизации на мно-

жестве

всех векторов,

лежащих

внутри

конуса.

 

 

На рис.

3.7

эта

 

ситуация представлена графически.

Переходя

к

параметрическому

 

представлению

ограничивающего

вектора

(12,

10,

Z),

изобразим

его в

 

 

 

 

виде

прямой линии,

 

пересе-

 

 

 

 

кающей конус

и параллель-

 

 

 

 

ной

оси Z,

представляющей

 

 

 

 

третье

(дополнительное) из-

 

 

 

 

мерение. Для некоторых мо-

(12,10, Z)

 

 

делей

пересечение

прямой,

 

 

 

 

являющейся

 

параметриче-

 

 

 

 

ски.м представлением ограни-

 

 

 

 

чивающего

вектора

и колли-

 

 

 

 

неарной оси Z, с поверхно-

 

 

 

 

стью

полиэдрального конуса

 

 

 

 

наблюдается только один раз.

 

 

 

 

Для

некоторых

же

моделей

 

 

 

 

такое

пересечение

 

вообще

 

 

 

 

отсутствует.

 

В

последнем

 

 

 

 

случае

либо

 

оптимальное

 

 

 

 

решение является неограни-

 

 

 

 

ченным,

либо

допустимых

 

 

 

 

решений вообще не сущест-

 

 

 

 

вует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что упомя-

 

 

 

 

нутое выше пересечение на-

 

 

 

 

блюдается

дважды.

 

В

этом

 

 

 

 

случае оптимальное

решение

 

 

 

 

определяется той точкой пе-

 

 

 

 

ресечения,

которая соответствует

большему значению

Z. Эта точка,

как

 

правило,

лежит

 

на грани

полиэдрального конуса,

т. е. на

плоскости, проходящей через конечные точки некоторой совокупности векторов. Оптимальное решение определяется значениями координат, задающих векторы этого множества.

КОНТРОЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ НА РАЗВИТИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ

1. Объясните смысл следующих терминов:

переход от максимизации к минимизации; эквивалентная система неравенств; остаточная переменная; избыточная переменная;

переменная, значение которой ограничено снизу; каноническая форма;