Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

решена простая задача, сформулированная в предыдущем разделе. Всякий раз, когда мы хотели проверить на оптимальность ту или иную конкретную пару переменных, однозначное определение их значений, удовлетворяющих всем имеющимся ограничениям, не вызывало никаких трудностей. Возможно, дело только в случайной удаче? Наряду с этим был предложен простой способ выявления возможностей улучшения пробного решения за счет использования других переменных. Всегда ли такой прием приводит к требуемому результату? Мы убедились, что попытка включить в пробное решение одну из неиспользованных переменных обусловливает исключение из него другой вполне определенной переменной, ранее фигурировавшей в пробном варианте. Является ли это правило замены абсолютно

рассмотренных в последующих главах, полезно иметь представление о некоторых основных моментах, учитываемых при использовании любой вычислительной процедуры. Оценивая тот или иной вычислительный алгоритм, необходимо, в частности, рассмотреть следующие его характеристики:

1. Полнота. Являются ли правила, предписанные данным алгоритмом, совершенно однозначными? Существует ли практический способ построения первого пробного решения, позволяющего начать реализацию алгоритма? Сформулированы ли правила, описывающие рассматриваемый метод, настолько четко, чтобы человек или элек- тронно-вычислительная машина могли следовать им, обладая лишь умением считывать информацию и не прибегая ни к каким дополнительным рассуждениям и умозаключениям?

2. Область применимости. Для решения каких математических задач предназначен данный алгоритм? Насколько легко определить, попадает ли рассматриваемая конкретная задача в класс, покрываемый областью применимости метода? Можно ли утверждать, что заключительный пробный вариант, завершающий вычисления, всегда является точным решением задачи? Если это не так, можно ли доказать, что точное решение существует, и вскрыть причину допущенной ошибки?

3. Свойства сходимости. Всегда ли вычислительная процедура, определяемая данным алгоритмом, обеспечивает сходимость? Если сходимость имеет место, всегда ли она приводит к правильному решению? Исчерпывается ли данная процедура конечным числом итераций? Сколько итераций необходимо выполнить при решении той или иной практической задачи, чтобы получить требуемый резуль-

132 ГЛАВА 4

изменяется значение целевой функции при переходе от каждой заданной итерации к следующей для различных конкретных алгоритмов.

Случай 1. Улучшение значения целевой функции наблюдается при каждой итерации. Ряд пробных значений сходится к оптимальному решению после выполнения конечного числа итераций. В приведенном примере оптимум достигается на седьмой итерации.

Случай 2. Улучшение значения целевой функции наблюдается при каждой итерации, однако итерационный процесс содержит бесконечное число итераций. При этом каждый последующий пробный вариант несколько улучшает решение, но это улучшение с возрастанием номера итерации становится1 все менее и менее значительным. Другими словами, оптимальное решение достигается в данном случае лишь асимптотически.

Случай 3. Значение целевой функции улучшается при каждой итерации. Как и в предыдущем случае, итерационный процесс содержит бесконечное число итераций. Однако целевая функция стремится к некоторому значению, лежащему ниже оптимального.

Случай 4. Ряд пробных значений сходится к оптимальному за конечное число итераций, причем при каждой последующей итерации, по крайней мере, не происходит ухудшения предыдущего результата. Однако при некоторых итерациях значение целевой функции фактически не улучшается. Такого рода ситуация наблюдается при третьей, седьмой и восьмой итерациях.

Случай 5. Стабильной сходимости предшествует наблюдающееся при некоторых итерациях убывание значения целевой функции. На рис. 4.1 это имеет место при четвертой и пятой итерациях.

Таким образом, не любой алгоритм обеспечивает сходимость ряда пробных значений целевой функции к некоторому предельному значению за конечное число итераций. В тех случаях, когда сходимость имеет место, предел, к которому стремится целевая функция, не всегда совпадает с ее оптимальным значением. Кроме того, не при любом алгоритме каждая последующая итерация улучшает значение целевой функции.

4.4.ВВЕДЕНИЕ В СИМПЛЕКСНЫЙ АЛГОРИТМ

Для решения задач линейного программирования предложено немало различных алгоритмов. Однако наиболее эффективным среди них оказался алгоритм, рассмотренный ниже. При этом следует подчеркнуть, что при решении некоторых частных задач (как, например, задач, связанных с оптимизацией потоков в сетях) могут оказаться более эффективными другие алгоритмы. Методы решения ряда специфических задач обсуждаются в гл. 7.

Попытаемся весь ход рассуждений, обеспечивающий решение задачи, рассмотренной в разд. 4.2, описать в словесной форме. Упомянутая модель содержит два уравнения. Пробные решения выбира-

134 ГЛАВА 4

при ограничениях

Напомним, что данная модель рассматривалась в разд. 2.2 в связи

ния. Заметим, что введение в рассмотрение переменной х0 (строка 0) позволяет записать выражение для целевой функции в виде уравнения.

Задача шага 1 заключается в том, чтобы выбрать первоначальное допустимое решение системы уравнений (1). Существует множество

ко свободных переменных. Назовем его исходным базисным решением г), а переменные х0, х5, хе, х1 — базисными переменными или сокращенно базисом. Остальные переменные логично назвать небазисными 2).

Термин «базис» (или «базисное решение») отражает здесь то обстоятельство, что в соответствии с числом линейных соотношенийрассматриваемой модели решение содержит лишь четыре переменные, причем значения этих четырех переменных однозначно определяются константами, стоящими в правых частях уравнений (1). Следует подчеркнуть, что симплексный метод оперирует лишь базисными пробными решениями. Несмотря на ограничения, накладываемые на класс допустимых решений, этот метод позволяет получить оптимальное решение, если, разумеется, оно существует.

*) Вместо этого термина часто применяется другой — «исходный опорный план».— Прим. перев.

а) У ряда авторов можно встретить термин «внебазисные переменные».—

Прим, перев.

Если под х0 понимать прибыль, то только что предложенное пробное решение явно является не очень выгодным. Но его, несомненно, можно улучшить. Обратим внимание на коэффициенты при тех переменных, которые фигурируют в строке 0 и которые в предложенном выше пробном варианте не являются базисными (т. е. коэффициенты при Xi, xz, £3и хь}- Легко убедиться, что каждый отрицательный коэффициент в этой строке определяет величину положительного приращения х0 при увеличении значения соответствующей переменной на единицу. Интерпретация коэффициентов в строке 0 остается в силе на протяжении всей процедуры составления пробных решений. Таким образом, справедливо следующее положение.

И н т е р п р е т а ц и я к о э ф ф и ц и е н т о в в с т р о к е 0 . Каждый коэффициент в строке 0 определяет положительное (если перед ним стоит знак минус) или отрицательное (если перед ним стоит знак плюс) приращение х0 при увеличении на единицу соответствующей небазисной переменной.

Шаг 2 симплексного метода устанавливает следующее легко реализуемое правило, позволяющее определить, какие переменные должны войти в очередной пробный базис.

С и м п л е к с - к р и т е р и й I ( м а к с и м и з а ц и я ) . Если в строке 0 имеются небазисные переменные, коэффициентыпри которых отрицательны, следует выбрать переменную (обозначим ее через Xj) с наибольшим абсолютным значением стоящего перед ней коэффициента, т. е. ту переменную, которая обеспечивает наибольшее удельное приращение значения целевой функции. В случае когда все небазисные переменные строки 0 имеют положительные или нулевые коэффициенты, оптимальное решение можно считать полученным.

В соответствии с критерием I в базис следует ввести переменную £4. Каждое единичное приращение xk приводит к увеличению значения х0 на 11. Совершенно очевидно, что чем больше значение ж4, тем сильнее возрастает значение х0. Однако нужно помнить об ограничениях (1). Заметим, что увеличение значения х& возможно лишь за счет уменьшения значений базисных переменных в каждой строке, содержащей xt с положительным коэффициентом. Так, например, при увеличении ж4 на единицу

1) значение х5 должно быть уменьшено на 1, чтобы удовлетворялось ограничение, приведенное в строке 1;

2)значение хв должно быть уменьшено на 2, чтобы удовлетворялось ограничение, приведенное в строке 2;

3)значение х7 должно быть уменьшено на 15, чтобы удовлетворялось ограничение, приведенное в строке 3.

чисел, стоящих в правых частях (1), к соответствующимкоэффициентам при новой базисной переменной Xj (не обращая внимание на отношения, в которых знаменатель равен нулю или представляет собой отрицательное число), б) Выберем отношение с наименьшим значением — в очередном пробном решении х, приравнивается именно этому значению. Пусть наименьшее из всех отношений правых частей

(1) к соответствующим коэффициентам при х, соответствует переменной xh, входившей в предыдущее решение; тогда в очередном пробном решении следует положить xk = 0. Результаты вычислений приведены на рис. 4.2.

Теперь, когда известно, что в пробном базисе х7 следует заменить на £4, перейдем к шагу 4. Перепишем соотношения (1) таким образом, чтобы в строке 3 коэффициентпри ж4 был равен единице, а в строках О, 1 и 2 — нулю. Процедуру, с помощью которой это достигается, называют операцией замены базиса или операцией замены опорного плана. Сначала разделим обечасти уравнения в строке3 на коэффициент при £4, т. е. на 15:

В результате коэффициент при х4 в строке 3 принял значение, равное единице. Следует отметить, что выполненная математическая операция является вполне законной, так как она заключалась в единственном действии — делении равных величин на одно и то же число. Обратим в нули коэффициенты при х^ в строках О, 1 и 2, действуя

к шагу 2, с тем чтобы определить, является ли полученное решение оптимальным. Если оптимум еще не достигнут, необходимо в соответствии с симплексным алгоритмом приступить к следующей итерации.

Согласно критерию I, возможность улучшить решение действительно существует. При этом в очередной базис выгодно включить либо #1, либо х2, либо х3. На основании критерия I выбор падает на Xi, так как эта переменная обеспечивает наибольшее удельное приращение для значения целевой функции. Сделав данный выбор,

Р и с . 4.4. Итерация 2: включение х^ в очередной базис (согласно критерию II).

следует перейти к вычислениям, предусмотренным шагом 3, исполь зуя при этом критерий II (рис. 4.4).

В соответствии с таблицей на рис. 4.4 в очередном пробном реше-

ный базис (см. шаг 4), можно реализовать в несколько приемов.

Затем, завершая операцию поиска очередного опорного плана, исключим Xi из уравнений в строках О, 1 и 3, действуя по следующей

схеме:

1) умножить строку 1 на 9/5 и результат сложить со строкой 0;

что до включения в базис х^ в системе уравнений (3) наше внимание привлекала другая переменная х%. В результате же включения в базис Xi произошло снижение «значимости» х2 [см. (5)].

Итерация 3. Завершив вторую симплекс-итерацию, снова рассмотрим коэффициентыпри переменных в строке 0 с целью проверки полученного решения на оптимальность. Теперь мы видим, что решение может быть улучшено за счет х3. Результаты вычислений, позволяющие выяснить, какая из переменных должна быть исключена из базиса, представлены на рис. 4.6. В соответствии с этой таблицей из числа базисных следует исключить переменную о;4, вошедшую в решение при первой итерации. В процессе применения симплексного метода случаи, когда та или иная переменная при некоторой итерации входит в пробное решение, а затем исключается из него при одной из последующих итераций, возникают нередко. Именно это обстоятельство мешает заранее определить максимальное