Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
6.68 Mб
Скачать

180

ГЛАВА 5

Прежде всего убедимся, что выполняются условия (2):

, 13 о _^„28

1 1^4-5 — — —

5

1 Q

"

С

СО

П

j Ю . ,|г\

 

^J" -»

Затем покажем, что значение целевой функции двойственной задачи совпадает со значением целевой функции исходной задачи

15-~+ 120-0 + 100.у--^ .

(5)

Решение (3) должно быть оптимальным, поскольку удовлетворяются все ограничения и, кроме того, значения целевых функций исходной и двойственной задач совпадают.

Наконец, вычислим разность между левыми и правыми частями соотношений (4). Возьмем, например, второе и третье ограничения, для которых находим

38

_ _ 3

 

 

~7 &'-У

 

 

63

 

 

(6>

—- —Q —О

 

 

7

э и»

 

 

т. е. получаем соответственно

коэффициенты при х2

и xz

в строке О

системы уравнений (F), что согласуется с утверждением,

сформули-

рованным в п. б).

Опираясь на понятие двойственности, можно глубже понять суть симплексного метода. В частности, нетрудно убедиться, что коэффициенты при остаточных переменных в строке 0 на каждой итерации в процессе решения исходной задачи представляют собой пробные значения переменных двойственной задачи, что же касается других коэффициентов, фигурирующих в строке 0 после выполнения любой симплекс-итерации, то их можно интерпретировать как разность между левой и правой частями (2) при заданных пробных значениях двойственной задачи. Таким образом, симплексный метод можно рассматривать как способ получения пробных решений двойственной задачи путем определения допустимых решений исходной задачи. Как только удается найти допустимое решение этих двух задач, процесс итерации заканчивается.

Примечание. Изложенное выше объяснение того, как получаются оптимальные значения переменных двойственной задачи, относилось к случаю, когда все знаки неравенств имели вид (^). Допустим

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 181

теперь,

что мы имеем следующую

задачу:

 

 

 

 

 

п

 

 

 

максимизировать

2 cj%j

 

(?)

 

 

 

3=1

 

 

при условиях

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

'21aijXj = bi (г = 1, 2, ..., щ),

. „

(8)

 

3=1

 

 

 

 

 

*;>0 (/ = 1, 2,

. . .,га).

 

 

Для

простоты предположим,

что оптимальный

базис

включает

переменные xi, Xz, . . ., хт. Тогда оптимальные значения переменных двойственной задачи находятся путем решения системы линейных уравнений

m

 

2>*Л/< = с, (/ = 1,2, ... ,m) .

(9)

i=l

 

Соотношения двойственности легко записать в матричном виде (разд. 4.10). В матричных обозначениях исходная и двойственная

задачи принимают следующий вид:

 

 

 

 

максимизировать сх

минимизировать yb

 

при ограничениях

при ограничениях

 

Ах < Ь,

 

уА > с,

(I)

 

*>0,

 

г/>0.

 

Как было показано в разд. 4.10,

решение исходной задачи можно

записать в виде

 

 

 

 

хв = B~lb.

(II)

Для соответствующего значения целевой функции

имеем

 

СвВ-Ч,

(III)

а условия

оптимальности выглядят

следующим

образом:

 

свВ-^А - с > 0,

свВ-1 > 0.

(IV)

Чтобы

убедиться в том, что оптимальное решение соответствую-

щей двойственной задачи имеет вид

 

 

 

 

У в = свВ-\

(V)

достаточно заметить, что соотношения (IV) означают выполнение условий допустимости для двойственной задачи, а из (III) следует, что значения целевых функций исходной и двойственной задач совпадают. Заметим также, что если ограничения исходной задачи записаны в виде равенств, то соотношение (V) остается справедливым, причем у в не обязательно должны удовлетворять условиям неотрицательности.

182

ГЛАВА 5

5.6.

ПРОДОЛЖЕНИЕ АНАЛИЗА НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ

В разд. 5.4 мы утверждали, что теорема двойственности позволит лучше разобраться в анализе линейных моделей на чувствительность и освоить его практически. Попытаемся показать, что это действительно так. Начнем с повторения того, что уже излагалось в самом начале этой главы, стремясь при этом выявить те моменты анализа, которые связаны с понятием двойственности. Затем будут рассмотрены некоторые дополнительные вопросы, связанные с анализом

линейных моделей на

чувствительность.

 

Целевая

функция.

Обращаясь к примеру,

рассмотренному

в разд. 4.4,

вспомним, что одно из ограничений двойственной задачи,

соответствующее переменной xz исходной задачи,

имеет вид

 

 

lj/i + 5г/2 + 5г/3 > 5.

(1)

Если коэффициент при х2

в выражении для целевой функции поло-

жить равным 5 + б, то в правой части соотношения (1) также будет

стоять 5 -(- б. Подставив

в (1) оптимальные значения двойственной

задачи, получим [с учетом

замены 5 -»- (5 + б)]

 

 

1.Я + 5.0 + 5.т>5 +6,

(2)

или

 

 

 

 

 

 

 

у>б.

(3)

Таким образом, решение двойственной задачи остается допустимым, если б не превышает 3/7. Если же б принимает значение, превышающее 3/7, то это решение не является более допустимым и, следовательно, рассматриваемое решение исходной задачи не является более оптимальным. Это согласуется с результатом, полученным

в разд. 5.2.

Константы в правых частях ограничений. В разд. 5.3 с помощью частного приема было показано, что коэффициент при остаточной переменной в строке 0, соответствующей оптимальному решению, определяет приращение объема ресурса, ассоциированное с этой переменной. В предыдущем же разделе было установлено, что оптимальное значение соответствующей переменной для двойственной задачи совпадает со значением указанного коэффициента. Учитывая эти два результата, приходим к следующему заключению.

И н т е р п р е т а ц и я п е р е м е н н ы х д в о й с т в е н н о й з а д а ч и . Оптимальное значение каждой переменной двойственной задачи определяет положительное или отрицательное приращение значения целевой функции за счет единичного приращения (положительного или отрицательного) значения константы в правой части соответствующего ограничения при условии, что рассматриваемый базис остается допустимым.

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 183

Такая интерпретация согласуется с основным соотношением (11) (см. теорему двойственности в разд. 5.4), которое означает, что

Оптимальное значение х0 =

 

= S (Константы в правых частях ограничений) X

(4)

X (Оптимальные значения переменных двойственной задачи).

Оптимальные значения переменных двойственной задачи часто называют скрытыми доходами. В случае когда константы в правых частях ограничений задают объемы имеющихся ресурсов, скрытые доходы определяют вклад в прибыль, полученный за счет единицы каждого из ресурсов, в соответствии с видом оптимального решения исходной задачи. В задаче, рассмотренной в разд. 4.4, значение 13/7 есть скрытый доход, соответствующий первому ограничению (ресурс— человеко-недели), значение нуль — скрытый доход, соответствующий второму ограничению (ресурс — объем материала У), а значение 5/7 — скрытый доход, соответствующий третьему ограничению (ресурс — объем материала Z). Таким образом, увеличив первый из указанных ресурсов на одну человеко-неделю, мы получаем дополнительную прибыль, равную 13/7; каждый дополнительный фунт материала Z увеличивает прибыль на 5/7. Увеличение же объема материала Y не приводит к увеличению прибыли. Чем это объясняется? Причина заключается в том, что запас материала Y превышает имеющиеся в нем потребности, что видно из того обстоятельства, что свободная переменная хв входит в оптимальный базис.

Это положение носит общий характер, т. е. избыточность ресурса приводит к тому, что в базис на последней симплекс-итерации входит свободная переменная с неотрицательным значением. Нулевого значения скрытого дохода в этом случае можно ожидать, поскольку увеличение заведомо избыточного ресурса не может увеличить прибыль. Именно такая ситуация и имеет место. Поскольку в базис

входит свободная переменная,

коэффициент при

этой переменной

в строке 0 на заключительной

итерации равен

нулю.

Интерпретируя значения переменных двойственной задачи как скрытый доход, мы приходим к более глубокому пониманию двойственности. Применительно к задаче, рассмотренной в разд. 4.4, каждая из переменных двойственной задачи может рассматриваться как потенциальная возможность получения дополнительной прибыли за счет соответствующего ресурса при условии, что фирма функционирует в оптимальном режиме. При этом соотношение (4) означает, что суммарный доход фирмы пропорционален объему имеющихся ресурсов. Коэффициенты ац интерпретируются как соответствующие нормы потребления i-ro ресурса в у'-м производственном процессе.

т

Суммой 2 ааУ1 задается экономический эффект за счет /-го производ-

г = 1

ственно-технологического процесса, вычисленный с учетом скрытого

184

ГЛАВА 5

дохода. Ограничения двойственной задачи гарантируют строгую пропорциональность экономического эффекта затраченным усилиям, если имеет место оптимальный режим функционирования фирмы. Более того, при указанных условиях исключаются варианты решений, не оправданных с экономической точки зрения.

Рассмотрим пример, с помощью которого можно убедиться в том, что приведенная выше интерпретация переменных двойственной задачи оказывается правильной лишь при условии, что заданный пробный базис остается допустимым. Пусть требуется

 

максимизировать —xt — z2

 

(I)

при ограничениях

 

 

 

 

 

 

 

2zi -

 

х2

< 2,

 

 

 

 

—xi + 2xz

< О,

 

 

(II)

 

*i > 0,

^2 > 0.

 

 

 

Решение Xi = х2

= 0, как легко

проверить,

является

допустимым

и, более того, оптимальным. В этом легко убедиться с помощью

графического представления данной

модели.

 

 

 

Введем в соотношения (II) свободные переменные ха

и а:4. Тогда,

предположив, что переменные х3

и £4 являются базисными, получаем

х3 = 2, ж4 = 0,

т. е. решение

является вырожденном, еначения

соответствующих

переменных

двойственной

задачи

г/i = у2 = 0.

Легко далее показать, что строка 0 имеет при этом вид х0

-\- xi -j-

+ #2 = 0, т. е. коэффициенты при небазисных переменных

строго

положительны. Если же выбрать в качестве базисных переменных xl

и х3, то в результате выполнения надлежащих преобразований полу-

чим Xi = 0, х3 = 2, а значения соответствующих переменных двой-

ственной задачи равняются

г/4 = О, у2 = !• При этом соотношение

в строке 0 принимает вид х0

-\- Зх2 + 1ж4 = 0, т. е. значения коэф-

фициентов при обеих небазисных переменных строго положительны. Следовательно, поскольку оптимальное решение приводит к вырожденному базису, возможны различные оптимальные решения (y t , y2), каждое из которых соответствует одному из оптимальных базисных решений. Предположим теперь, что второе ограничение в (II) имеет вид

-art + 2 < б2. (III)

Пусть б2 принимает бесконечно малое значение. Как при этом изме-

нится значение исходной целевой функции? Если б2 > 0, то решение

Xi = х2 = 0 является

по-прежнему оптимальным, и, следовательно,

г/2 — 0 удовлетворяет

условиям задачи. Но при 82 > 0 базис,

вклю-

чающий переменные

х^ и х3, оказывается недопустимым (xi

прини-

мает отрицательные

значения). Если

62 < 0, то г/2 = 1, так как

решение является допустимым лишь

при условии х^ ^> 0.

 

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 185

Коэффициенты Б соотношениях, задающих ограничения. Приступая к анализу на чувствительность по отношению к вариациям ао-, предположим, что в модель вводится новая управляемая переменная. Насколько «выгодно» включить ее в базис? Наиболее простой способ получить ответ на этот вопрос заключается в том, чтобы проверить, удовлетворяются ли ограничения соответствующей двойственной задачи при заданных значениях ее переменных. Если эти ограничения не выполняются, то следует ввести в рассмотрение новую управляемую переменную.

Рассмотрим в качестве примера задачу распределения ресурсов, анализ которой проведен в разд. 5.1. Предположим, что вводится дополнительная переменная, причем дополнения к строкам имеют

следующий вид:

 

 

 

+ 1ж8

(строка

1),

 

2

 

 

 

+ ух8

(строка

2),

(5)

+ 17ж8

(строка

3).

 

Пусть при переменной xs в выражении для целевой функции стоит коэффициент cs. При каком значении с8 целесообразно ввести в базис переменную ж8 ? Соответствующее соотношение двойственной задачи имеет вид

 

 

 

> с8.

 

 

 

(6)

Подставив сюда полученные оптимальные значения

переменных

двойственной задачи,

получим

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14 > с8.

 

 

 

(8)

Следовательно, при cs

> 14 переменную ха

нужно включить в базис.

Предположим, что с8

= 20. Тогда коэффициент при xs

в строке О

системы уравнений (F) равен 14 — 20 = — 6. Чему равняются

коэф-

фициенты при xs в других строках этой системы уравнений?

Ответ

на этот вопрос можно получить следующим

образом.

 

 

Чтобы

получить коэффициенты при х8

в

(5), в

каждой

строке

берутся коэффициенты при х$, хв и х7, затем первый из них умножает-

ся на единицу, второй — на 2/7, третий — на 17 и результаты

пере-

множения

складываются

[см. систему уравнений

(I)] :

 

 

-l + yO-f 17-OJ ж8 = 1х&

(строка 1),

 

 

 

т .1-}-17.о)х8 =уа;8

(строка 2),

(IV)

 

yO+17-l) z8=17;r8

(строка 3).

 

 

186 ГЛАВА 5

Коэффициенты при xs в (F) определяются аналогично, т. е.

7.

(-i)]z8=-1*8

(строка 1),

1.1

+ 174]*8 =Т

(строка 2), (V)

_|)+1.0 + 17.1] а;8 =2а:8

(строка 3).

Если X) не входит в базис, то результат изменения коэффициентов <atj при данной переменной в ограничениях модели определяется аналогичным образом. Так, например, переменная х^ на заключительной симплекс-итерации для модели, рассмотренной в разд. 4.4, не входит в базис. Посмотрим, что получится, если в строке 3 коэффициент при этой переменной получит приращение 8. Легко убедиться, что в этом случае соответствующее ограничение двойственной

задачи примет вид

 

Iz/i + г + (15+ б) уз > И.

(9)

Подставив сюда найденные оптимальные значения переменных двойственной задачи, получим

или

6>—£. (11)

Таким образом, при б < —и/5 переменную xk следует ввести в базис. Если xj входит в базис, то анализ результатов изменения коэффициентов при этой переменной в ограничениях модели оказывается более сложным. Он связан с одновременным рассмотрением как исходной, так и двойственной задач. Такого рода анализ выходит за рамки данного курса; эти вопросы изложены в ряде более полных учебных

пособий по линейному программир ванию.

5.7.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вразд. 5.1— 5.6 было показано, каким образом можно проверить чувствительность оптимального решения задачи линейного программирования по отношению к вариациям различных компонентов (эле-

ментов) модели. В частности, были рассмотрены:

1) способы нахождения интервалов изменения коэффициентов в выражении для целевой функции и каждой из констант, фигурирующих в правых частях ограничений, в которых сохраняется оптимальность полученного базисного решения при условии, что это решение является допустимым;

2) способы оценки экономического эффекта, получаемого за счет изменения исходных данных задачи линейной оптимизации;

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 187

3) метод, позволяющий пересмотреть ранее полученное оптимальное решение в случае, если вводятся новые управляемые переменные.

Технические приемы, с помощью которых выполняются все перечисленные виды анализа, представляют собой дальнейшее развитие симплексного метода. Что же касается концепции двойственности, то она служит надежным критерием правильности этих «технических приемов».

Двойственную формулировку допускает любая задача линейной оптимизации. Решая одну из взаимно двойственных задач, мы автоматически находим решение другой. По мере дальнейшего изучения основ исследования операций читатель с понятием двойственности будет встречаться неоднократно.

5.8.ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-АЛГОРИТМ

Опираясь на взаимосвязь между исходной и двойственной моделями, можно построить еще один метод решения задачи линейного программирования. Рассмотрим такой алгоритм решения исходной задачи, для которого на каждой итерации, за исключением последней, решение оказывается недопустимым вследствие невыполнения условий неотрицательности переменных; соответствующее же решение двойственной задачи при каждой такой итерации является допустимым. Эта идея лежит в основе так называемого двойственного симплекс-алгоритма.

Можно привести по крайней мере два практических соображения относительно целесообразности ознакомления с двойственным симплексным алгоритмом. Одно из них заключается в том, что такой алгоритм позволяет в ряде случаев облегчить выбор исходного базиса без использования свободных (искусственных) переменных. В этом мы убедимся на примере, приведенном ниже. Второе соображение состоит в том, что данный алгоритм помогает выполнить некоторые

виды

анализа

модели на

чувствительность, что

будет показано

в следующем разделе.

 

 

 

Начнем ознакомление с двойственным симплексным алгоритмом

с рассмотрения

следующего примера.

 

Пусть требуется

 

 

 

 

 

минимизировать 2xi -f- ix3

(1)

при

ограничениях

 

 

 

 

 

\xi

+ ix2

— ix3 > 5,

 

 

 

Ixi

- 2хг

+ 4r3 > 8,

(2)

188

ГЛАВА 5

В данном случае удобно считать сформулированную выше задачу исходной, так что соответствующая двойственная задача имеет следующий вид:

максимизировать

5г/4 + 8г/2

(3)

при ограничениях

 

 

 

lj/i + iyz < 2,

 

1г/1 -

2j/2

< о,

 

-iy, + 4г/2

< 1,

(4)

Z/i > О,

2/2

>0.

 

Если, как обычно, обозначить через ж0 значение целевой функции и ввести в (2) свободные (избыточные) переменные, то исходная задача

примет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2xi

 

ix3

= 0

(строка 0),

 

 

 

ixi -f- ixz

— 1#3 — 1^4

= 5

(строка 1),

(5)

 

 

\х\ 2

+ 4,г3

— 1х5

= 8

(строка 2).

 

Если включить в первое пробное решение в качестве базисных

переменных

XQ, х^

и х5, то это решение окажется недопустимым, по-

скольку

4

= —5,

х5 = —8

при Xi = х2

= х3 = 0. В результате

получаем нулевое пробное значение для

XQ. Однако из формул (1)

и (2) следует, что в случае,

если решение

допустимо, х0 ^> 0. Одно-

временно заметим, что для

рассмотренного недопустимого

решения

коэффициенты в строке 0 удовлетворяют, согласно симплекс-крите- рию I (минимизация) а), условию оптимальности. Следовательно, можно утверждать, что выбранный исходный базис является допустимым для двойственной задачи. [Легко проверить, что решение г/i = 0, г/2 = 0 удовлетворяет ограничениям (4)]. Предлагаемый метод состоит в том, что на каждом этапе вычислений (за исключением последней итерации) находится допустимое решение двойственной задачи.

Описание метода. Двойственный симплекс-алгоритм строится по аналогии с симплексным алгоритмом, рассмотрению которого посвящена гл. 4. Прежде всего сформулируем правило, позволяющее определять переменную, подлежащую исключению из пробного базиса.

Д в о й с т в е н н ы й с и м п л е к с - к р и т е р и й I . Если базис содержит переменные, принимающие отрицательные значения, то исключению из базиса подлежит одна из этих переменных, а имен-

но

та переменная

(скажем,

xh), значение которой максимально

по

модулю. Если все базисные переменные принимают неотрица-

тельные значения,

то данное

решение является оптимальным.

См. разд. 4.6.

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 189

Чтобы можно было воспользоваться критерием I, перепишем соотношения (5) в следующем виде (что достигается путем умножения строк 1 и 2 на —1):

0 2xi

ix3

(строка 0),

 

Ixi

г

+ 1ж3

(строка 1),

(6)

\xi

-\- 2х2

— 4х3

(строка 2).

Согласно критерию I, исключаем из базиса переменную х5, поскольку ее значение отрицательно и, кроме того, | ж5 | > xk .

Сформулируем теперь правило выбора переменной, подлежащей включению в базис. При этом важно помнить о том, что после перехода к новому базису соответствующее решение двойственной задачи

Небазисные

переменные

Xi

хг

хз

Коэффициенты в строке 0

2

0

— 1

Коэффициенты в строке 2

—1

2

-4

Отношения

 

2

0,25

Наименьшее

значение

 

 

0,25

Р п с. 5.1. Итерация 1: двойственный симплекс-критерий II (из базиса исключается переменная х$).

должно оставаться допустимым. После смены базиса коэффициенты в строке 0 должны быть по-прежнему отрицательными (или равными нулю).

Д в о й с т в е н н ы й с и м п л е к с - к р и т е р и й I I (минимизация), а) Берутся отношения значений коэффициентов при небазисных переменных в строке 0 к соответствующим коэффициентам, фигурирующим в строке, содержащей переменную хь, подлежащую исключению из базиса при очередной итерации (при этом в расчет не принимаются отношения, знаменатели в которых равны нулю или положительному числу).

б) Выбирается минимальное отношение, соответствующее некоторой переменной Xj. Именно эта переменная должна быть включена в очередной базис.

Результаты вычислений, предписанных критерием II, приведены в таблице на рис. 5.1. Видно, что в очередном пробном базисе х5 следует заменить на х3. Сама процедура замены ничем не отличается от той, которая применяется при использовании обычного симплексного метода. Выполним прежде всего нормировку коэффициента при х3 в строке 2 путем деления правой и левой частей данной строки