Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

ния компаний, имеющих универсальные магазины во многих городах. Такие компании, как правило, имеют зональные оптовые базы, которые снабжают товарами более мелкие региональные склады, откуда товары в свою очередь поступают в розничную торговую сеть. Эти склады представляют собой промежуточные (перевалочные) пункты. Модель с промежуточными пунктами является эффективным средством выбора оптимального числа и географического размещения складов, поскольку анализ сетевой модели позволяет отыскивать план перевозок товаров, минимизирующий транспортные затраты при любой заданной схеме размещения складов. Кроме того, эта модель заслуживает изучения также и потому, что существуют другие операционные модели, эквивалентные в математическом смысле сетевым задачам с промежуточными пунктами.

Эта модель рассматривается здесь на гипотетическом примере, отражающем тем не менее реальный случай функционирования военных систем материально-технического снабжения. В предыдущем разделе сначала была дана математическая постановка задачи,, затем следовало ее словесное описание с графическим представлением сети и табличной записью. Сейчас изложение ведется в обратном порядке, что позволяет приобрести практические навыки в построении моделей.

Задача об оптовых складах компании «Универсал». Компания имеет восемь крупных оптовых складов, размещенных в нескольких штатах. Отдел сбыта принял решение значительно снизить цену одного дорогостоящего изделия с целью ликвидации образовавшегося запаса этих изделий. Перед началом рекламной кампании руководство намерено разместить имеющиеся в наличии запасы на указанных восьми складах в соответствии с прогнозами сбыта в этих районах. Для осуществления этого плана необходимо перераспределить некоторую часть запасов.

На рис. 6.3 представлена схематическая карта. Пронумерованные узлы в кружочках соответствуют восьми складам. Положительное число, стоящее у номера склада, обозначает избыточное количество запасов, которое должно быть распределено в системе. Отрицательное число обозначает потребность данного склада в дополнительных запасах. Таким образом, на складах 1 и 4 имеется избыток запасов в количестве десяти и двух единиц соответственно, а на складах 3, 6 и 8 требуется три, одно и восемь дополнительных изделий. Запасы на складах 2, 5 и 7 должны оставаться неизменными.

Заметим, что изделие может транспортироваться через склады 2, 4, 5, 6 и 7, в связи с чем эти пункты называются промежуточными. Все другие склады называются источниками, если в них имеется

•НО

Р и с. 6.3. Сеть маршрутов перевозок для задачи фирмы «Универсал».

допускает перевозки между складами 4 и 5 в обоих направлениях. Предположим в данном случае, что с45 Ф- c5i по следующей причине В момент отгрузки изделия у компании имеется возможность использовать собственный автотранспорт только на маршруте 4—5. Ей приходится нести более высокие расходы при перевозках в обратном направлении, так как она вынуждена пользоваться услугами наемного транспорта. Тщательно проанализировав схему, можно убедиться в том, что, рока не решена вся задача, нельзя исключить из рассмотрения ни один из возможных маршрутов перевозок между складами 4 и 5. В этом примере целью компании является перераспределение запасов при минимальных общих транспортных затратах.

Прежде чем перейти к формальному (математическому) выражению изложенного выше содержания задачи, опишем два способа перехода от задачи с промежуточными пунктами к классической транспортной задаче. Эти преобразования имеют вполне реальный практический смысл, ибо позволяют использовать широко распространенные программы решения на ЭВМ классических транспортных задач. Для этого необходимо только ввести в ЭВМ исходные данные задачи с промежуточными пунктами по одной из описываемых ниже форм. Установление эквивалентности между рассматриваемой задачей и классической транспортной задачей представляет интерес потому, что оно позволяет устранить трудности отыскания оптимального решения при условии целочисленности переменных.

жуточные пункты в явном виде в этой матрице не фигурируют^ Одна-

склада 8, перевозятся через промежуточный склад 7.

Другой излагаемый ниже способ обладает рядом преимуществ по сравнению с первым при решении реальных задач большой размерности. В частности, при использовании этого способа не требуется определения всех наиболее дешевых маршрутов перевозок, что может быть сопряжено с большим объемом вычислений. Кроме того, в получающейся в результате классической транспортной задаче может содержаться меньшее число переменных. И наконец, пользуясь этим способом, легче учитывать ограничения по пропускным способностям каждого маршрута.

Для понимания сущности второго способа преобразования рассмотрите таблицу на рис. 6.5, построенную по сети рис. 6.3. Построение такой таблицы нужно осуществлять в следующем порядке:

а) Выделить строку для каждого источника. Значение St для источника определяется количеством поставляемых из него изделий.

б) Выделить столбец для каждого стока. Значение DJ для стока

число, если же в этом пункте требуется пополнение запасов, то 7\ —

в исходной сети. Для промежуточного пункта k ввести х^ при chh = 0.

7

Спрос 12

Р и с. 6.5. Расширенная матрица задачи с промежуточными пунктами. Примечание: В = 10 + 2 = 12,

Таким образом, правило а) относится к складу 1, правило б) — к складам 3 и 8. При В = 12 по правилу в) имеем Z)4 = 12 и 54 =

=—1 + 12 = 11. 5 = 12 и Ss = 0 + 12 = 12; £>6 = 12 и S6 = Для преобразования (приведения) задачи с промежуточными

пунктами к классической транспортной задаче вторым способом введена величина В, имеющая смысл фиктивного буферного запаса

ходящего через промежуточный пункт в оптимальном решении. Один из простых приемов, обеспечивающих выполнение этого условия, заключается в том, что величина В берется равной сумме запасов, имеющихся во всех пунктах. Тогда значение разности В — xhf, представляет собой общее количество груза, перевезенного через промежуточный пункт k.

Допустимый план перевозок рассматриваемой задачи приведен

втаблице на рис. 6.6. Внимательно рассмотрите эту таблицу. Начните с первой строки, отображающей размер запасов, которые имеются

висточнике 1. Заметим, что десять изделий отгружаются в пункт 2.

224 ГЛАВА 6

Рассмотрите теперь строку и столбец, соответствующие пункту 2.

ся в пункт 3, являющийся стоком, и пункт 5 — промежуточный.

и остается в этом пункте.

Завершая анализ таблицы, убедитесь в том, что склад 1 отправляет три изделия на склад 3 через промежуточный пункт 2, одно изделие на склад 6 через пункты 2 и 5 и шесть изделий — на склад 8 через пункты 2, 5, 4 и 7. Склад 4 отправляет два изделия на склад 8 через пункт 7.

Математическая модель. Чтобы окончательно разобраться в модели с промежуточными пунктами, нужно теперь перейти к точной математической постановке задачи. Это формальное описание задачи

удобно представить в виде матрицы, приведенной на рис. 6.7. Отметим, что для каждого склада (каждого узла сети) имеется одно уравнение. Кроме того, каждая дуга сети описывается одной переменной x t j , представляющей собой количество груза, которое должно быть отправлено из пункта i в пункт j. Положительное число, стоящее справа от знака равенства, обозначает количество запасов, которое подлежит перераспределению. Отрицательное число соответствует потребности соответствующего склада в дополнительных

Объем перевозок

Р и с. 6.7. Пример матричной формы записи транспортной задачи с промежуточными пунктами.

нений и 10 переменных, в расширенной матрице рис. 6.5, описывающей задачу с промежуточными пунктами, имеется 13 ограничений по строкам и столбцам и 15 переменных. Увеличение размерности

зать следующим образом. Легко видеть, что строка, соответствующая складу 1 (источнику), и столбцы, соответствующие складам 3 и 8 (каждый из которых является стоком), эквивалентны ограничениям для складов, записанным в таблице на рис. 6.7. Таким образом, аналитические неясности возникают лишь относительно строк и столбцов, соответствующих промежуточным пунктам.

226 ГЛАВА 6

Рассмотрим один из таких пунктов, скажем 4. На рис. 6.5 огра-

что значение В достаточно велико, любое решение системы уравнений, заданных табл. 6.7, является также допустимым решением системы, определяемой табл. 6.5, Для проверки справедливости этого утверждения рассмотрим снова промежуточный пункт 4. Допустим, что условие (III) выполняется. Не изменяя значений величин

образом. Задано п работ, каждую из которых может выполнить любой из п исполнителей. Стоимость выполнения работы i исполнителем / равна Cfj. Нужно распределить исполнителей по работам, т. е. назначить одного исполнителя на каждую работу, таким образом, чтобы минимизировать общие затраты.

Почему эта задача представляет интерес? Одна из причин, разумеется, как всегда, заключается в том, что такую модель можно применить в реальных условиях, хотя ситуации, в которых она оказывается пригодной, встречаются и не столь уж часто. Один пример подобного рода описывается ниже. Гораздо более важная причина состоит в том, что эта задача позволяет установить существенную связь между задачами линейного программирования и так называемыми комбинаторными задачами. Последние относятся к ситуациям, в которых неизвестные переменные должны быть целочисленными. Задачи этого класса более подробно рассматриваются в гл. 8, 10 и 13.

Задача фирмы «Электрон». Фирма, выпускающая сложную электронную аппаратуру, получила заказ на несколько тысяч новых изделий, собирающихся из отдельных блоков. Руководство фирмы приняло решение разместить заказы на изготовление п блоков и выбрало п фирм-поставщиков, которые зарекомендовали себя ранее как производители высококачественной продукции. Каждый

228 ГЛАВА 6

кратчайший путь в заданный узел из любого другого узла сети. Эта задача на самом деле охватывает широкий круг важных приложений операционных моделей, включая замену оборудования и кглендарное планирование сложных комплексов. Поскольку эти конкретные приложения существенно отличаются друг от друга, сначала

полезно усвоить основные понятия, фигурирующие в моделях этого класса, в самом общем виде.

Общее описание модели. Рассмотрим сеть, состоящую из множества узлов, некоторые пары которых соединены ориентированными дугами (т. е. отрезками, на которых задано направление). Пример такой сети приведен на рис. 6.8. Как правило, в сети выделяется один узел, называемый выходом (пунктом назначения, конечным). Задача заключается в отыскании кратчайшего пути в конечный узел по крайней мере из одного промежуточного узла, а иногда из всех остальных узлов. Величина сц определяет длину вдоль дуги, исходящей из узла i и входящей в узел /.

в единицах, отличных от единиц длины. Так, например, c;j- может представлять собой стоимость переезда из узла i в узел /. В этом случае задача заключается в отыскании пути минимальной стоимости. Кроме того, сц может также определять время переезда из одного узла в другой. При этом требуется отыскать путь минимальной продолжительности.

непосредственно, что можно формально учесть, положив сц = оо. Как правило, в рассматриваемой модели так называемое неравенство

что для двух или большего числа узлов можно найти путь, исходящий из некоторого узла и возвращающийся, т. е. входящий, в него же. В сети рис. 6.8 имеется много циклов, один из которых начинается в узле 2, проходит через узлы 7 и 3 и заканчивается вновь в узле 2. Если общая длина пути вдоль цикла отрицательна, то, многократно обходя этот цикл, можно достигнуть бесконечного отрицательного значения целевой функции.

Следовательно, если не наложить дополнительных ограничений, то переменные могут принять бесконечно большие значения. Исключим такую возможность, предположив, что в случае, когда сеть содержит циклы, общая длина любого цикла неотрицательна. Это условие вполне приемлемо для обычных операционных задач, в кото-

матическом смысле, т. е. формально, эквивалентна задаче о назначениях. Чтобы убедиться в этом на сети рис. 6.8 будем считать узел 1 конечным, а узел 8 начальным. Рассмотрим далее обычную транспортную задачу с промежуточными пунктами, в которой имеется избыточная единица запасов в узле 8 (источнике), требующаяся в узле 1 (стоке). Все остальные узлы сети считаются промежуточными пунктами.

Такая интерпретация приводит к данным в таблице рис. 6.9 условиям, соответствующим задаче о назначениях с буферным запасом В = 1. Отметим, что задача о кратчайшем пути является частным случаем задачи о назначениях, для которой коэффициенты целевой функции chh = 0 размещены в так называемой поддиагонали матрицы.

Математическая постановка задачи о кратчайшем пути имеет следующий вид: