Вагнер Г. Основы исследования операций [PDF] / Вагнер_Основы исследования операций_т1

160 ГЛАВА 4

Следует заметить, что если Xj представляет собой i-ю свободную переменную, то в (8) с,- = 0 и А, = Ut. Допустим, что выбор по критерию II падает на строку k. Последующая вычислительная процедура, связанная с заменой базиса, сводится к умножению матрицы (6) слева на

где отношения —f-mj^hj фигурируют в (k -f- 1)-м столбце матрицы Е. Умножение (6) на (9) часто называют операцией элементарного пре-

образования.

п. а) выражения для х^ и х3. Результат сравните с выражением (15), приведенным в разд. 4.2.

В упражнениях 2—4 за основу берется модель, рассмотренная в разд. 4.4, с несколько измененными данными.

2. Какую из переменных следует включить в базис на первой симплекс-итерации, если подлежащая максимизации целевая функция имеет вид

3. Пусть на первой итерации в базис вошла переменная ж4. Какая переменная подлежит при этом исключению из базиса и каким

ственно числа 40, 60 и 20, а коэффициенты при xk в указанных строках равны соответственно —5, 10 и 2?

в разд. 4.4. Данная модель варьируется путем изменения различных количественных характеристик. В каждом случае требуется найти оптимальное решение и соответствующее значение целевой функции. Каждую задачу прежде всего нужно тщательно продумать, поскольку может оказаться, что для получения решения вовсе не обязательно воспроизводить весь вычислительный процесс, изложенный в разд. 4.4.

ные значения для х±, х3, х$ и xs, а также убедиться, что эти значения удовлетворяют исходным ограничениям и дают для значения целевой

функции число, равное 695/7-

13. Рассмотрим переменную xs, заданную соотношением (10) в разд. 4.4. Требуется выяснить, будет ли решение улучшено в резуль-

ширена» за счет новой переменной z. Пусть на четвертой итерации коэффициенты при z в каждом из уравнений системы (7) равны —1. Каким будет оптимальное решение? Требуется показать, что имеет место решение, для которого целевая функция принимает значение, равное 100.

15.Рассмотрите модель, представленную соотношениями (7) —

(10)в разд. 4.5. В каждом из приведенных ниже пунктов требуется применить метод больших штрафов с М = 10 и найти исходную систему уравнений, аналогичную (13). Рассмотрите следующие

построенный только из свободных переменных, определяет некоторое допустимое решение. Какая переменная вводится в базис на первой симплекс-итерации, если подлежащая минимизации целевая функция имеет вид:

четырех пунктов получен. Требуется определить, какая свободная

Pi>0, Р2 >0.

19. С помощью симплексного метода решите следующую задачу: максимизировать 15^! -(- 6z2 -f- 9a:3 + 2х4

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

б) Положите коэффициенты при Xi равными 10 вместо 1 как в ограничениях, так и в выражении для целевой функции. Найдите решение для видоизмененной таким образом модели с помощью симплексного метода.

в) Положите коэффициенты при х2 равными 10 вместо 1 как в ограничениях, так и в выражении для целевой функции. Найдите решение для видоизмененной таким образом модели с помощью сим-

Установите, в каких случаях оптимальное решение единственно, и найдите альтернативные оптимальные решения, когда единственность не имеет места. ( З а м е ч а н и е : в первое ограничение искусственную переменную вводить не следует.)

—xi + xz ^ 1, бач + 4ж2 > 24,

ii > О, z2 > 2.

Требуется найти исходный базис, используя метод больших штрафов при М = Ю, а также получить симплексным методом опти-

26.Решите задачу 25, положив xi ^5.

27.Решите задачу 25, положив xz ^4.

28.В разд. 3.4 рассмотрена простая задача, не имеющая допустимых решений:

максимизировать xt + xz при наличии ограничений

и покажите, к чему это приводит. Убедитесь, что условие А, сфор-

х} > 0 (/ - 1, 2, 3).

Используя метод больших штрафов, найдите оптимальное решение при условии, что приведенная выше модель дополнена ограничением вида

ГЛАВА 5

Анализ моделей на чувствительность

идвойственная задача

5.1.АНАЛИЗ МОДЕЛИ ПОСЛЕ НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вгл. 4 обсуждались вопросы, связанные с техникой нахождения оптимального решения задачи линейного программирования. Изложенные в ней сведения должны позволить читателю уяснить суть алгоритмического метода и разобраться (хотя бы в первом приближении) в структурных особенностях линейных моделей.

Однако была поставлена и другая задача: изложить методы, с помощью которых можно было бы системным образом проанализировать и четко уяснить взаимосвязи между всеми факторами, учитываемыми при решении той или иной практической задачи линейного программирования. Этим вопросам и посвящена данная глава.

Опытный руководитель, использующий при решении задач организационного управления методы линейного программирования, редко довольствуется лишь численными значениями управляемых переменных, при которых достигается оптимум, если та или иная модель не применялась им многократно и, следовательно, диапазон ее возможностей заранее не известен. В большинстве же случаев руководитель хочет знать, в каком интервале можно менять входные параметры без существенного отклонения от найденного оптимума и без значительного нарушения структуры базиса, формирующего оптимальное решение. Исследование, позволяющее ответить на эти вопросы, носит название анализ модели на чувствительность (или анализ модели при известном оптимальном

решении).

На многие вопросы, связанные с анализом на чувствительность, легко ответить, располагая численными данными на заключительной симплекс-итерации. К числу таких вопросов относятся, в частности, следующие:

Останется ли решение оптимальным, если уменьшится удельный вклад в прибыль одной из базисных переменных?

К каким последствиям приведет сокращение объема ресурсов? Что произойдет, если ввести в рассмотрение новую управляемую

переменную?

Нахождение ответов на целый ряд других вопросов, возникающих в связи с анализом модели на чувствительность, нередко сопряжено со значительными трудностями, для преодоления которых может понадобиться помощь ЭВМ. Но даже при использовании ЭВМ анализ модели на чувствительность в значительной степени опирается

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 169

5.2. ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ

Прежде всего попытаемся выяснить, останется ли уже найденный допустимый оптимальный базис оптимальным, если изменить коэффициенты в выражении для целевой функции. При изменении этих коэффициентов полученное решение по-прежнему является допустимым. Следовательно, предположив, что данное решение можно «подправить», остается лишь продолжить предписанную симплексным методом вычислительную процедуру, начиная с заключительной итерации, уже выполненной в разд. 4.4.

Рассмотрим коэффициенты при небазисных переменных хг и xt в строке 0 системы уравнений (I). Интуиция подсказывает, что если уменьшить их «удельную прибыльность», рассматриваемый пробный базис останется оптимальным. Однако, если «прибыльность» х2 и х4 получит достаточно большое положительное приращение, решение можно будет подправить. При каком значении коэффициента при х2 рассматриваемое решение становится неоптимальным?

При выполнении каждой симплекс-итерации мы прибавляли к строке 0 одну из остальных строк, предварительно умножив последнюю на некоторую константу. Следовательно, на заключительной итерации строка 0 системы уравнений (F) запишется в виде

что нетрудно проверить, вновь проделав все операции, перечисленные

на этапе заключительной итерации показывают, в каких пределах соответствующие коэффициенты в выражении для целевой функции могут принимать положительные приращения без нарушения оптимальности ранее полученного базиса *).

*) Здесь, как и всюду в этой главе, сохранение «оптимальности» понимается

в том смысле, что оптимальное решение для модели с другими числовыми значениями констант (в частности, коэффициентов в выражении для целевой функции)'

строится на прежнем базисе.— Прим. перев.