1.4 Двойственность в линейном программировании

1.4.1. Цель: освоить свойства двойственных ЗЛП, основные теоремы двойствен-ности и их использования при анализе и решении конкретных задач.

1.4.2. Теоретическая часть:

1.4.2.1. Общая модель задачи

Каждой ЗЛП в общей форме записи

n		n
c j x j	 max, aij x j  bi ,i 			1,l	,
j1		j1
n

a_ij x _j  b_i ,i  l  1, m,

j1

x _j  0, j  1, s. s  n.

сопоставима связанная с ней другая ЗЛП, называемая двойственной по отноше-нию к исходной:

m m

b_{i i}  min, a_{ij i}  c _j , j  1, s;

i1 i1

m

a_{ij i}  c _j , j  s  1, n;

1. 1

_i  0,i  1,l.

Понятие двойственности является взаимным. Сопоставление форм записи позво-ляет установить следующие свойства двойственности:

• число неизвестных одной задачи равно числу ограничений второй;

• матрицы коэффициентов систем ограничений получаются одна из другой транс-понированием;

• свободные члены ограничений первой задачи становятся коэффициентами ли-нейной формы другой, а коэффициенты линейной формы прямой задачи пре-вращаются в свободные члены двойственной;

• если первая задача связана с максимизацией линейной формы, то вторая - с ми-нимизацией, и наоборот;

• каждому ограничению первой задачи ставится в соответствие переменная дру-

гой задачи.

Двойственные задачи могут быть симметричными и несимметричными. В сим-метричных двойственных задачах системы ограничений задаются в виде неравенств противоположного смысла, причем на двойственные переменные накладывается усло-вие не отрицательности. В несимметричных задачах система ограничений исходной задачи записывается в канонической форме, а в двойственной - в виде неравенств, ог-раничения на знак двойственных переменных отсутствуют.

Модели пары двойственных задач могут иметь один из следующих видов (запи-шем их в матричной форме).

Несимметричные (для исходной канонической задачи):

1. Исходная Двойственная.

CX  max; b  min,

AX  b; A  C.

X  0.

2. Исходная

Двойственная.

CX  min;

b  max;

AX  b;

A 

C.

X  0.

Симметричные (для исходной стандартной задачи):

1. Исходная Двойственная.

CX  max;

b  min;

AX  b;

A 

C;

X  0.

 0.

2. Исходная

Двойственная.

CX  min;

b 

max;

AX  b;

A 

C;

 0.

 0.

Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливают тео-ремы двойственности.

1.4.2.2. Решение злп с помощью графического анализа двойственной задачи

Пример:

Найти x₁ 14x₂ 13x₃ 14x₄  min .

При

• 3x₁  x₂  2x₃  3x₄  1;

2x₁  2x₂  x₃  x₄  1; x _j  0, j  1,4.

Двойственная к ней задача имеет вид:

₁  ₂  max;

• 3 ₁  2 ₂  1; ₁  2 ₂  14; 2 ₁  ₂  13;

• 3 ₁  ₂  12; ₁  0,  0.

Решая ее графически, получим _опт  (4,5), Z ( _опт )  9 .В соответствии с первой

теоремой двойственности исходная задача имеет оптимальное решение и L(X_опт). Ис-ходя из _опт  (4,5) , определим X с помощью второй теоремы двойственности. Для X _опт  (x₁ , x₂ , x₃ , x₄ ) должны удовлетворяться равенства:

34

x₁ (1 3 ₁  2 ₂ )  0;

x₂ (14  ₁  2 ₂ )  0;

x₃ (13  2 ₁  ₂ )  0;

x₄ (12  3 ₁  ₂ )  0.

При ₁  4и ₂  5 в первом и четвертом равенствах выражения в круглых скоб-ках не равны нулю, то по второй теореме двойственности соответствующие перемен-ные исходной задачи равны нулю: x₁  0, x₄  0.

Рассматривая исходную задачу как двойственную, по второй теореме двойствен-ности получим:

₁ (1 3x₁  x₂  2x₃  3x₄ )  0;

₂ (1 2x₁  2x₂  x₃  x₄ )  0.

Принимая во внимание, что ₁  4и ₂  5 , для X_опт должны выполняться равенст-

ва:

1 3x1  x2  2x3  3x4  0;
1 2x1  2x2  x3  x4  0.
Подставляя x1=0 и x4=0, получим:
1 x2  2x3			 0,
1 2x2  x3			 0.
откуда x				1	и x			1		, следовательно x			опт			 (0,			1			,			1			,0) .
	2					3 3
			3													3						3

Замечание. Если двойственная задача имеет неограниченную линейную форму, то исходная задача не имеет решений вследствие отсутствия опорных решений.

1.4.2.3. Критерий оптимальности решений ЗЛП Пример:

Определить, является ли вектор х=(0, 1, 0, 3) оптимальным решением задачи

x₁  4x₂  x₃  x₄  max;

3x₁  x₂ x₃  1;

x₁  2x₂  x₄  1;

x _j  0, j  1,4.

Составим двойственную задачу:

• ₁  ₂  min;

3₁ ₂  1;

• ₁  2 ₂  4;

• ₁  1,₂  1.

• соответствии со второй теоремой двойственности, исходя из положительности

x₂ и x₄ , заключаем, что для оптимального решения двойственной задачи второе и чет-вертое неравенства должны удовлетворяться как равенства, т.е. ₁  2 ₂  4, ₂ 1, откуда ₁  2, ₂ 1. Так как это решение удовлетворяет остальным неравенствам системы ограничений двойственной задачи, следовательно, необходимые условия вто-рой теоремы двойственности выполняются и x – оптимальное решение ЗЛП.