2.1.2.2. Метод Франка-Вулфа решения задач квадратичного программирова-

ния.

• задачам квадратичного программирования (КП) относится специальный класс задач нелинейного программирования (НП), для которых целевая функция квадратич-ная и вогнутая, а все ограничения линейные.

Задача КП записывается следующим образом:

		1	n		1	n n
max F (x)  Cx			xT Dx  C j x j			dij xi x j при ограничениях (запишем их
	2		j1		2 i1 j1

• матричной форме) Ax  b, _,

x  0

Где D 	dij	- симметричная отрицательно определенная матрица коэффициентов
		nn
квадратичной формы.

Из теоремы Куна-Таккера выплывает, что вектор х^* является оптимальным реше-нием задачи КП тогда и только тогда, когда существуют такие m -мерные вектора  0 и W  0 и n -мерный вектор V  0 , что выполняются следующие условия:

1. C  Dx  A  V  0;

2. b  Ax  W  0;

3. V ^T x  0;

4. W ^T 0.

Условия 1 и 2 образуют относительно переменных x, ,V ,W систему из (n+m) уравнений c 2(n+m) неизвестными. Условия 3 и 4 являются комбинаторными (усло-вия дополняющей нежесткости), из них следует, что по крайней мере n переменных из x и V, а также m переменных из и W обращаются в нуль.

Если существует оптимальное решение задачи КП, то оно должно быть одним из базисных решений условий 1 и 2. Для нахождения допустимого базисного решения может быть использован симплекс-метод.

Вводя искусственные переменные U _j ( j  1, n) и Y_i (i  1, m) в условия 1 и 2 для нахождения начального базиса, приходим к следующей задаче:

n m

min MU _j  MY_i ,(M  C)

j1 i1

при ограничениях

Dx  A  V  U C,

Ax  W  Y  b;

x  0, 0,V0,W0,U0,Y0.

Выбрав компоненты векторов U и Y одинакового знака со знаком соответствую-щих свободных членов - C, b , находим начальное базисное решение.

Если в результате решения удается вывести все искусственные переменные и при этом выполняются условия З и 4, то найденное базисное решение будет оптимальным.

Рассмотрим метод Франка-Вулфа решения ЗКП.

Сформулируем задачу: среди допустимых базисных решений системы ограниче-ний 1 и 2 найти такое, которое обращает в нуль V ^T x  ^TW .

Введём в рассмотрение вектор Z с компонентами

26.  (x₁ ,..., x_n ,..., ₁ ,..., _m ,V₁ ,...,V_n ,W₁ ,...,W_m )

• соответствующий ему вектор

26.  (V₁ ,...,V_n ,W₁ ,...,W_m , x₁ ,..., x_n ,..., ₁ ,..., _m )

Тогда условие задачи можно записать как V ^T x  W ^T ¹Z^TZmin,

2

BZ  d,

26.  0,

где B - матрица коэффициентов, d - вектор свободных членов

B 

D

AT

E

0

; d 

 c

.

A

0

0 E

b

Выполним

ряд

преобразований, в результате которых выпуклая функция

T (Z)  Z T

минимизируется по следующему рекуррентному правилу: в результате k-

Z

го шага получаем допустимое решение Z^k, удовлетворяющее ограничениям задачи, вместе с соответствующей симплекс таблицей, а также допустимое решение ^k , удов-летворяющее тем же ограничениям, но необязательно базисное, которому соответству-ет положительное значение T (на первом шаге ⁰  Z ⁰ ). Исходя из базисного решения

k

Zk , минимизируем линейную относительно Z форму (Z k )T при заданных ограниче-

ниях.

Получаем

последовательности базисных решений

Z 0  Z k , Z 1 , Z 2 ,... причем

(Z

0

T

k

 T

k

)

,…

 (Z )

Вычисления прекращаются, если а) (Z k )T

 0;

W

или

б) (Z K )T

k 

1

, ( K )T

k 

1

T ( k ) .

2

2

• случае а) Z^k - окончательное решение, а в случае б) полагаем

Z ^k1  Z ^k ;

^{k 1}  ^k  (Z ^{k 1}  ^k ),

где



( k  Z k 1 )T

k



 min 1,

.



(Z k 1  k )T (Z k 1 

k ) 

На каждом шаге имеет место либо а), либо б), но через конечное число шагов будет только а).

Пример: Решить ЗКП методом Франка-Вулфа.

10x  20x

2

 2x2

 2x

2

 x x

2

 max,

1

1

2

1

x1

 x2

 10,

x2

 4,

x1

 0,

x2

 0.

Матрица D имеет вид

 2

1

4. 

1.  2

Поскольку знаки ее миноров изменяются с «-» на «+», то согласно критерию Сильвестра ЦФ будет вогнутою. Запишем функцию Лагранжа

L(x, )  10x₁  20x₂  2x₁²  2x₂²  x₁ x₂  ₁ (10  x₁  x₂ )  ₂ (4  x₂ ). и условия Куна-Таккера

L		 10  4x  x							 0,
								2
1									1
x1
L		 20  4x			 x 								 0,
			2								2
x2							1	1
													( I )

^L

 10  x₁  x₂  0,

^L

 4  x₂  0.

L		x			 (10  4x		 x									 )x					 0,
x
	1					1							2					1 1
1
L		x				 (20  4x			 x 																		)x						 0,
				2			2																		2					2
x2														1		1
L						 (10  x  x								)					 0,														( II )
			1		1					2					1
1

^L

₂  (4  x₂ ) ₂  0,

x₁  0, x₂  0, ₁  0, ₂  0.

Требуется найти такое решение системы неравенств ( I ), которое одновременно удовлетворяло бы и систему ( II ). Перепишем систему ( I ) в виде

4x₁  x₂  ₁  10,

4x₂  x₁  ₁  ₂  20,

x₁  x₂  10,

x₂  4.

Введем в систему ограничений балансовые неотрицательные переменные V₁, V₂, W₁, W₂ и получим систему уравнений

4x₁  x₂  ₁  V₁  10,

4x₂  x₁  ₁  ₂  V₂  20,

x₁  x₂  W₁  10,

x₂  W₂  4.

При этом должны выполняться следующие условия дополняющей нежёсткости х₁V₁=0, х₂V₂=0, ₁W₁=0, ₂W₂=0.

Запишем вектор Z=(z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆, z₇, z₈) как Z  (x₁ , x₂ , ₁ , ₂ ,V₁ ,V₂ ,W₁ ,W₂ ) и соответствующий ему вектор

26.  (z1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 , z 7 , z8 ) как Z  (V₁ ,V₂ ,W₁ ,W₂ , x₁ , x₂ , ₁ , ₂ ) , а также ЦФ

V ^T x  W ^T ¹Z^TZ.

2

Тогда задача в матричном виде формулируется следующим образом:

Z ^T Z  min ,

BZ  d,

Z  0,
где
				4	1		1	0		1 0			0		0								10
B 				1 4			1	1		0		1 0			0				;		d 		20						.
				1	1		0	0		0		0	1	0				10
				0	1		0	0		0		0	0	1								4

Из матрицы В видно, что 1-ое уравнение не содержит базисной переменной, сле-довательно, добавим в него искусственную базисную переменную U₁ = z₉, т.е. вос-пользуемся М-методом. Составим псевдоцелевую функцию L’ = min MU₁ = min Mz₉, в которой избавимся от базисной переменной, и заполним исходную симплекс-таблицу (см.табл.19)

Таблица 19

i	Сi	базис	Z0	0					0		0		0	0		0		0		0	M
				z1					z2		z3		z4	z5		z6		z7		z8	z9
1	M	z9	10		4			-1		1		0		-1	0		0		0		1
2	0	z4	20	-1					4		1		1	0		-1		0		0	0
3	0	z7	10	1					1		0		0	0		0		1		0	0
4	0	z8	4	0					1		0		0	0		0		0		1	0
m+2		L’	10	4					-1		1		0	-1		0		0		0	0

(m+1)-я строка в таблице 19 опущена, т.к. все ее элементы равны нулю.

Разрешающий элемент выбирается из столбца, соответствующего максимальной положительной оценке ЦФ (т.к. функция L’ стремится к min), равной 4, по правилу вы-бора разрешающего элемента. Выполняя симплексное преобразование, приходим к табл.20.

Таблица 20

i	Сi	базис	Z1	0	0	0	0	0	0	0	0
				z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8
1	0	z1	5	1	1	1	0	1	0	0	0
			2		4	4		4
2	0	z4	45	0	15	5	1	1	-1	0	0
			2		4	4		4
3	0	z7	15	0	5	0	0	1	0	1	0
			2		4			4
4	0	z8	4	0	1	0	0	0	0	0	1
m+2		L’	0	0	0	0	0	0	0	0	0

На этом шаге найдено оптимальное решение, т.к. все оценки ЦФ неположительны. Для проверки условий дополняющей нежесткости сформируем векторы

			5	; 0; 0;				45				; 0; 0;						15		; 4
								2																	и
Z1 = ( 2																2			)
		 (0; 0;				15			; 4;				5			; 0; 0;						45	)
	Z 1
					2					2									2 .
Так как						Z			1  Z 1							 0 ,						то			вместе с табл.20 получили допустимое решение

^{0  Z 1  Z 0} . Исходя из него минимизируем относительно Z функцию

Z T			15	z						5		z			45	z
	0				3	 4z		4					5					8		 min .
2							2				2

Полученную задачу приводим к новой форме и решаем симплекс-методом. Таб-лица 21 получается из таблицы 20 с учетом коэффициентов приведенной (новой) ЦФ.

Таблица 21

i	Сi	базис				Z0		0		0		15		4		5		0		0		45
											2				2						2
							z1		z2		z3		z4		z5		z6		z7		z8
1	0	z1				5		1		1		1		0		1		0		0		0
					2				4		4				4
2	4	z4				45		0		15		5		1		1		-1		0		0
					2				4		4				4
3	0	z7				15		0		5		0		0		1		0		1		0
					2				4						4
4	45	z8				4		0		1		0		0		0		0		0		1
	2
m+1		Z T			180		0		75		 5		0		 7		-4		0		0
			0
									2		2				2

Выполняя симплексное преобразование получаем табл. 22.

Таблица 22

i	Сi	базис				Z1		0		0		15		4									5												0				0			45
											2										2																				2
							z1		z2		z3				z4							z5													z6				z7			z8
1	0	z1				7		1		0		1		0									1													0			0				1
					2						4										4																				4
2	4	z4				15		0		0		5		1									1													-1			0				15
					2						4										4																				4
3	0	z7				5		0		0		0		0									1													0			1				 5
					2																4																				4
4	0	z2				4		0		1		0		0									0													0			0				1
m+1		Z T			30		0		0		 5		0									 7													-4				0			 75
			0
											2										2																				2
																																(180>30), то найдено
Так как все оценки ЦФ неположительны и (Z 0 )T k  (Z 1 )T k

новое допустимое. Чтобы определить является ли оно оптимальным, проверим условия дополняющей нежёсткости:

Z¹ = ( ⁷ ; 4; 0; ¹⁵; 0; 0; ⁵ ; 0 ) и

2 2 2

Z¹  (0; 0; ⁵ ; 0; ⁷ ; 4; 0; ¹⁵).

2 2 2

Z ¹  Z ¹  0 , т.е. они выполняются, следовательно, оптимальное решение ЗКП

⁷

х_опт= ( ;4)

• f(x_опт)=72,5.