1.5 Транспортная задача (т-задача)

1.5.1. Цель: закрепить теоретические знания и развить практические навыки ре-шения транспортных задач.

1.5.2. Теоретическая часть:

1.5.2.1. Алгоритм решения т-задачи.

Т-задачи составляют класс ЗЛП, специфика математической модели которых по-зволяет применять для решения наряду с общими методами ЛП специальные методы. Математическая модель транспортной задачи (Т-задачи) записывается следующим об-разом:

m n

• c_ij x_ij  min;

i1 j1

n

 x_ij  a_i ,i  1,m;

10. 1

m

 x_ij  b_j , j  1, n;

1. 1

x_ij  0,

где с_ij - стоимость перевозок единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт на-значения; a_i - запасы однородного груза в i-м пункте отправления, b_j - заявки на груз в j-м пункте назначения.

Требуется установить такие объемы перевозок x_ij от каждого поставщика каждому потребителю, чтобы суммарные затраты на перевозки были минимальны, и потребно-сти всех потребителей были бы удовлетворены (если только общий объем возможных поставок покрывает общий объём потребностей). В случае, когда сумма возможных

m n

поставок в точности равна сумме потребностей a_i  b _j , имеем закрытую Т-

i1 j1

задачу. Для нее характерно то, что условия баланса являются необходимыми и доста-точными для разрешимости. Кроме того, если все a_i и b_j - целые числа, то хотя бы одно оптимальное решение также будет целочисленным. Ранг системы ограничений Т-задачи равен m+n-1, что соответствует невырожденному опорному плану.

Условия Т-задачи удобно представлять в виде табл. 12.

Решение Т-задачи начинается с нахождения опорного плана. Для его определения могут быть использованы:

• метод северо-западного угла,

• метод минимального элемента,

• метод двойных отметок.

Затем производится оценка этого решения и переход к следующему решению пу-тем замены одной из базисных переменных на свободную.

Таблица 12

Пункты			Пункты назначения
отпр-ния	B1	B2		…	Bn	ai
А1	x11	x12		…	x1n	a1
	c11	c12			c1n
А2	x21	x22		…	x2n	a2
	c21	c22			c2n
…	…	…		…	…	…

38

Аm

xm1

xm2

…

xmn

am

cm1

cm2

cmn

bj

b1

b2

…

bm

ai  bj

Опишем алгоритм метода северо-западного угла:

1-й этап. Определяется верхний левый элемент матрицы X

(табл. 12.) как

x11  min(a1 ,b1 )

а)

если a1  b1 ,

то x11  a1 , и вся первая строка, начиная со второго элемента, за-

полняется нулями;

б) если a1>b1, то x11  b1 , и все оставшиеся элементы первого столбца заполняются

нулями;

в)

если a1=b1, то x11  a1  b1 ,

и все оставшиеся элементы первого столбца и пер-

вой строки заполняются нулями.

2-й этап. Пусть проделано К шагов, (K+1)-й шаг состоит в следующем.

Определяется верхний левый элемент незаполненной части матрицы Х. Пусть

1

этот элемент

x  (  K  2) , причем

x

 min(ak ,bk ) ,

где ak  a   x ,

j1

1

bk  b   xi .

i1

Возможны три случая

а) если ak

 bk , тогда xk

 aik

и оставшуюся часть строки  заполняют нулями;

б) если ak

 bk

тогда xk

 bk

и остаток столбца заменяют нулями;

в) если ak

 bk , тогда xk

 aik

 bk и оставшуюся часть строки  и столбца  за-

полняют нулями. Этот процесс продолжается до тех пор, пока на каком-то этапе не ис-черпываются все ресурсы и не удовлетворяются все потребности. Заполненные клетки транспортной таблицы являются базисными, их число для невырожденного плана рав-но рангу системы ограничений. Методы минимального элемента и двойных отметок являются модификациями метода северо-западного угла и позволяют получить доста-точно экономичный план, сокращая общее количество итераций по его оптимизации. В методе минимального элемента на каждом шаге заполняется клетка транспортной таб-

лицы с				наименьшей величиной Cij, для чего все элементы матрицы издержек
C 		Cij	перенумеровываются в порядке их возрастания. Значение xij определяется по
			mn

правилам алгоритма метода северо-западного угла. Метод двойных отметок заключает-ся в том, что, просматривая элементы матрицы C, отмечаем минимальные из них вна-чале по строкам, затем по столбцам. Таким образом, все клетки делятся на клетки с двумя отметками, одной отметкой и без отметок. Заполнять таблицу начинаем с клеток

• двумя отметками, если они исчерпаны, переходим к клеткам с одной отметкой. Если таковых не осталось, заполняем клетки без отметок, отдавая предпочтение клеткам, имеющим меньшую стоимость. Величины x_ij определяются по правилам, описанным выше.

План перевозок может быть улучшен путем переноса некоторых перевозок, без нарушения баланса, из клетки в клетку по некоторому замкнутому циклу. Циклом в транспортной таблице называют несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90°, причем в одной строке или в одном столбце могут быть только две вершины.

Самопересекающаяся ломаная может быть циклом, но точки ее пересечения не могут быть вершинами. Знаком "+" отмечаются те вершины, в которых перевозки уве-личиваются, знаком “-” те вершины, в которых они уменьшаются, причем, если какая-

либо вершина цикла принимается начальной со знаком "+", последующая вершина со знаком ''-" и т.д. При любом циклическом переносе, оставляющем перевозки неотри-цательными, допустимый план остается допустимым. Цена цикла равна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах означенного цикла с соответствующими зна-ками. Для улучшения плана перевозок груз перемещается по тем циклам, цена которых отрицательна. Если циклов с отрицательной ценой в таблице больше нет, это означает, что достигнут оптимальный план.

При улучшении плана циклическими перевозками на каждом шаге заменяют одну свободную переменную на базисную, при этом число базисных клеток остается неиз-менным и равным m+n-1. Для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует цикл (и притом единственный), одна из вершин которого лежит в этой сво-бодной клетке, а все остальные - в базисных.

Количество единиц груза K, которые можно переместить по означенному циклу, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла.

Метод потенциалов представляет собой вариант симплекс-метода, приспособлен-ный к Т-задаче, и позволяет отыскивать циклы для всех свободных клеток и находить их цены. Исходя из некоторого опорного решения он дает возможность за конечное число шагов найти решение Т-задачи.

Поставим соответственно каждому пункту отправления и каждому пункту назна-чения некоторые числа _i , i  1, m и _j , j  1, n , называемые потенциалами, и обозна-

чим псевдостоимости (побочные стоимости) c'_ij  _i  _j . Тогда, если для всех базис-ных клеток плана (x_ij>0) _i  _j  c'_ij c_ij , а для всех свободных клеток (x_ij=0)

_i  _j  c'_ij c_ij , то план является оптимальным и никакими способами улучшен быть не может. При этом какова бы ни была система потенциалов ( _i , _j ) , удовлетворяю-

щая условию c'_ij  c_ij для всех базисных клеток, для каждой свободной клетки цена

цикла s_ij  c_ij  c'_ij .

Алгоритм метода потенциалов состоит в следующем:

1. взять любой опорный план, в котором заполнено m+n-1 базисных клеток;

2. определить для этого плана платежи (потенциалы) _i и _j исходя из условия,

что в любой базисной клетке _i  _j c_ij , так как _i (i  1, m)и b_j ( j  1, n) , а базисных переменных m+n-1. Один из платежей можно назначить произвольно, например, по-ложить равным нулю;

3. подсчитать псевдостоимоcти (побочные стоимости) c'_ij  _i  _j для всех сво-

бодных клеток. Если окажется, что c'_ij c_ij , то полученный опорный план является оп-тимальным;

4. если хотя бы для одной свободной клетки c'_ij c_ij , необходимо улучшить план

перевозок, перебросив по соответствующему клетке циклу K единиц груза;

5) для новой системы перевозок заново подсчитываются _i , _j , c_ij , и если план

все еще не оптимален, процедура улучшения продолжается до тех пор, пока не будет получен оптимальный план.