1.6 Целочисленное программирование

1.6.1. Цель: закрепить теоретические и практические навыки решения частично и полностью целочисленных задач линейного программирования.

1.6.2. Теоретическая часть: Описание метода отсечений (метода Гомори).

Многие задачи исследования операций из области экономики и управления, отно-сящиеся к ЗЛП, требуют целочисленного решения, причем условия целочисленности могут относиться не ко всем переменным. Одним из методов решения таких задач яв-ляется метод отсечения или осекающих плоскостей (метод Гомори).

Идея метода состоит в том, что, временно отбросив условия целочисленности, на-ходим оптимальное решение ЗЛП симплекс-методом. Если окажется, что оно удовле-творяет условию целочисленности, то задача решена. В противном случае формируется дополнительное ограничение называемое правильным отсечением, которому заведомо удовлетворяет целочисленное и не удовлетворяет найденное оптимальное решение. Предположим, что симплекс-таблица, соответствующая оптимальному решению, имеет вид табл. 18, где x₁ ,..., x _m - базисные переменные, а x _m1 ,...,x _n - свободные переменные.

Пусть хотя бы одно из чисел, например x_l , не целое. Составляем для всей l-й строки оптимальной таблицы симплекс-метода дополнительное ограничение, называемое пра-вильным отсечением, вида

n

• {a_lj }x _j  {x_l },

10. m1

где {a_lj } - дробная часть значения коэффициента a_lj , а {x_l } - дробная часть базис-ной переменной x_l . Если [a_lj ] и [x_l ] обозначает целую часть этих чисел, т.е. соответст-вующие целые числа, но меньшие, чем a_lj и x_l , то

a_lj  a_lj  [a_lj ],

x_l  x_l  [x_l ].

Нецелочисленный план x_опт не удовлетворяет правильному отсечению, т.к. x_l  0 , а левая часть неравенства равна нулю, т.е. независимые переменные x _j - равны нулю. В то же время любой целочисленный план удовлетворяет правильному отсече-нию как строгому равенству, вследствие того, что x_l  0 для всех l. Следовательно,

исходная система ограничений дополняется новым условием. В результате решения задачи симплекс-методом получаем новый оптимальный план. Если он целочисленен, то это решение задачи, в противном случае для нецелочисленной базисной переменной

строится новое правильное отсечение и процесс продолжается. Если же очередная сис-тема ограничений окажется противоречивой, значит, исходные условия несовместны, а задача не имеет решения.

В качестве примера рассмотрим решение следующей задачи: найти x₁  x₂  max

при 6x₁  5x₂  30;

x₂  3;

x₁  0; x₂  0; x₁ , x₂ - целые

Отбрасываем условия целочисленности и находим оптимальное решение задачи симплекс-методом (см. табл. 18).

Таблица 18.

i		Сi	базис											-0								1			1		0		0
													ai0								x1			x2		x3		x4
1		0		x3										30								6			5		1		0
2		0		x4										3								0			1		0		1
m+1				Z										0								-1			-1		0		0
1		1		x1										5								1			5		1		0
																								6		6
2		0		x4										3								0			1		0		1
m+1				Z										5								0			- 1		1		0
																								6		6
1		1		x1										5								1			0		1		 5
													2													6		6
2		1		x2										3								0			1		0		1
m+1				Z										11								0			0		1		1
													2													6		6
	Следовательно,				x		опт			 (5					,3),			Z  11					. Данное решение не удовлетворяет усло-
								2								2

вию целочисленности, поэтому формулируем правильное отсечение для переменной х₁:

{x₁} = x₁ - [x₁] = ⁵ ₂  2  ¹₂ ;

{a₁₃} = a₁₃ – [a₁₃] = ¹₆  0  ¹₆ ;

{a₁₄} = a₁₄ – [a₁₄] =  ⁵₆  (1)  ¹₆ ;

Запишем правильное отсечение:

¹₆ x₁  ¹₆ x₂  ¹₂ .

Теперь задача приобретает вид: найти

x₁  x₂  max

при 6x₁  5x₂  x₃  30;

x₂  x₄  3;

¹₆ x₃  ¹₆ x₄  x₅  ¹₂

x _j  0; j  1,5 , x _j - целые

Преобразуем полученную задачу к новой форме, для чего в третьем уравнении из-бавимся от базисных переменных х₃ и х₄.

¹₆ (30  6x₁  5x₂ )  ¹₆ (3  x₂ )  x₅  ¹₂ ;

5  x₁  ⁵₆ x₂  ¹₂  ¹₆ x₂  x₅  ¹₂;

 x₁  x₂  x₅ 5;

Умножим обе части уравнения на (-1)

x₁  x₂  x₅  5

Теперь задача приведена к новой форме, решая ее симплекс-методом, получим искомое целочисленное решение x_опт  (2,3), Z  5.