1.5.2. Примеры решения т-задачи.

Пример 1. Найти опорное решение для Т-задачи (см. табл.13)

Таблица 13.

10	7	6	8	30
5	6	5	4	43
8	7	6	7	38
20	32	39	20	111

Найдем исходный опорный план методом северо-западного угла и получим таб-лицу 14.

Таблица 14.

пун	В1	В2	В3	В4	ai
кты
А1	20	10			30
А2		22	21		43
А3			18	20	38
bj	20	32	39	20	111

Пример 2. Решить Т-задачу (см. табл. 13) методом потенциалов. Опорный план найдем методом двойных отметок (см. табл. 15)

Таблица 15

	пун	В1	В2			В3					В4		ai					i
	кты
	А1	10	7			6			8				30					0
		20	10
	А2	5	6			5			4		20		43					-1
						23
	А3	8	7			6			7				38					0
			22			16
	bj	20	32			39					20		111
	j	10	7			6					5
Составим систему		уравнений			для			определения									потенциалов i  j cij ,

_i ,i  1,...,3 и _j , j  1,...,4 , рассматривая лишь заполненные клетки:

1	+ 1	= 10;	2	+ 4	= 4;
1 + 2 = 7;			3 + 2 = 7;
2 + 3 = 5;			3 + 3 = 6;

Полагая, что ₁=0, вычисляем остальные потенциалы (их значения можно запи-сать и в таблицу 15 в соответствующих столбцах):

1	= 0;	1		= 10;
2 = -1;			2	= 7;
3	= 0;	4		= 5;

₃ = 6.

• соответствии с алгоритмом метода потенциалов определим побочные стоимо-сти (псевдостоимости) для свободных (незаполненных) клеток

с’13 = 1 + 3 = 6; c’22 = 2 + 2 = 6;

c’14 = 1 + 4 = 5; c’31 = 3 + 1 = 10;

c’21 = 2 + 1 = 9; c’34 = 3 + 4 = 5;

и соответствующие величины s_ij

s₁₃ = c₁₃ – c’₁₃ = 6 – 6 = 0; s₂₂ = 6 – 6 = 0;

s₁₄ = 8 – 5 =3; s₃₁ = 8 – 10 = -2;

s₂₁ = 5 – 9 = -4; s₃₄ = 7 – 5 = 2.

Так как в клетках (2,1) и (3,1) c'_ij c_ij (значения цены цикла s_ij < 0), найденный

опорный план не оптимален. Улучшим его, введя в базис одну из свободных перемен-ных, а именно (2,1), ибо для нее цена цикла наименьшая и равна –4. Строим для этой клетки цикл ((2,1),(1,1),(1,2),(3,2),(3,3),(3,2)) со знаком «+» в клетке (2,1) и перебрасы-вем по нему 20 единиц груза (см. табл 16).

Таблица 16

пун	В1					В2					В3					В4		ai		i
кты
А1	10 -		7				+	6					8				30		0
	20						10
А2	5 +		6					5				-	4				43		-1
												23			20
А3	8		7					6					7				38		0
			-				22	+				16
bj	20				32					39					20			111
j	10				7					6					5

Получаем новый план (табл.17) и вычисляем для него новые значения потенциа-лов для заполненных клеток, решая следующую систему уравнений:

2 + 1 = 5;		2 + 4 = 4;
1 + 2 = 7;		3 + 2 = 7;
2 + 3 = 5;		3 + 3 = 6;
Таблица 17
	пун		В1	В2			В3			В4		ai		i
	кты
	А1		10	7	6				8			30		1
				30
	А2		5	6	5		3		4	20		43		0
			20
	А3		8	7	6		36		7			38		1
				2
	bj		20	32			39			20		111
	j		5	6			5			4
Примем 2=0 и получим
1 = 1;	1 = 5;
2 = 0;	2 = 6;
3 = 1;	4 = 4;
	3 = 5.
Вычисляем для свободных клеток побочные стоимости
с’11 = 6;	c’22 = 6;
c’13 = 6;	c’31 = 6;

c’14 = 5;			c’34 = 5
и величины sij
s11	= 4;	s22 = 0;
s13 = 0;			s31 = 4;
s14	= 3;	s34 = 2.

Так как псевдостоимости не превосходят стоимостей (все s_ij  0), следовательно полученный план оптимальный. Т-задача решена.