1.3 Симплекс-метод решения задач линейного программиро-вания

результате исследования должно быть установлено:

- либо оптимальность плана X 1 ;

• либо неразрешимость задачи;

• либо возможность перехода к новому плану X ₂ (новому базису); связанному с

большим значением линейной формы (для задачи максимизации).

При ручном счете вычисления удобно оформлять в виде специального вида сим-плекс-таблиц (табл.2).

Рассмотрим каноническую ЗЛП, записанную в векторной форме:

n

• c _j x _j  max,

10. 1 n

a_ij x _j  b_i ,(i  1, m),

10. 1

x _j  0, j  1,n.

Запишем ее в виде симплекс-таблицы (см. табл.2). Для этого введем в исходную таблицу те параметры, что соответствуют начальному опорному плану:

• коэффициенты при неизвестных переменных в исходной ЦФ C_j – верхняя строка симплекс-таблицы,

• коэффициенты при базисных переменных С_i, записанные в соответствующем столбце,

• базисные переменные – столбец “базис”,

• соответствующие значения базисных переменных, составляющие данное опорное решение – столбец “Х(а_i0)”,

• матрицу коэффициентов задачи – столбцы “х₁” – “х_n”,

• коэффициенты, необходимые для определения ведущей строки – столбец “Qi”,

• оценки  _j , соответсвующие коэффициентам ЦФ для данного опорного плана

18

m

 _j  Z _j  C _j , Z _j  c_i x_ij , j  1, n

1. 1

значение ЦФ для данного опорного плана Z.

Таблица 2

Таблица обрабатывается по следующему алгоритму.

Первая итерация. Заполняется таблица 2, соответствующая исходному опорному плану X₁ с базисом х_1,х₂,…,х_m.

r(l+1) -я итерация (переход от таблицы с номером “r” к таблице с номером “(r+1)”).

Пусть заполнена таблица с номером “r” за исключением столбца Q ^(r).Рассмотрим элементы (m+1)-й строки. Здесь возможны три случая:

а) все _j0, тогда опорный план, X _r полученный после l-й итерации, - решение задачи;

б) _k0, а все элементы столбца " x_k " a_ik<0 в этом случае задача неразрешима;

в) в каждом столбце x_k , для которого _k<0, имеется хотя бы один положительный элемент. В этом случае в базис вводится один из векторов х_k (для определенности бу-дем считать c наименьшей оценкой _k). Для определения вектора x_l , который нужно вывести из базиса, заполняется столбец Q ^(r), r-й таблицы, точнее те его позиции, кото-рые соответствуют a_ik^{(r )}  0;

_Q(r ) _ ^ai0 _.

^aik

Вектор х_l, на котором достигается min Q ^(r), выводится из базиса. Новый базис со-держит (m-1) векторов старого базиса и вектор x_k. В этом базисе вычисляется новый план x_{r 1}  (x₁ , x₂ ,..., x_k ,..., x_m ,0,...,0)

Векторы, не входящие в базис, разлагают по векторам базиса, причем единствен-ным образом.

Составляющие a_i⁽₀^{r 1)} нового плана определяются из соотношений:

Элементы (m+1)-й строки вычисляются по формулам:

Этим завершается (r+1)-я итерация.

Если в ( m+1)-й строке все _j^(r+1)0, то получено оптимальное решение, в против-ном случае переходим к (r+2)-й итерации.

Замечание. Если первоначальная задача связана с минимизацией, то критерием оптимальности плана является выполнение условия _j0 в (m+1) строке на r-й итера-ции.

Пример: решить ЗЛП

2x₁  x₂  x₃  x₄  max,

x₁  x₂  x₃  1,

2x₁  x₂  x₄  3,

x _j  0, j  1,4.

Система содержит полный единичный базис (x₃; x₄), которому соответствует опорное решение (0; 0; 1; 3). Избавимся в ЦФ от базисных переменных:

26.  2x₁  x₂  1 x₁  x₂  3  2x₁  x₂ 2  3x₁  3x₂  max .

И перенеся все переменные в левую часть полученного уравнения, получим

26.  3x₁  3x₂ 2.

Заполним исходную симплекс-таблицу (см. табл.4).

Таблица 4.

Среди оценок ((m+1)-я строка) имеются отрицательные ₁<0 и ₂<0, причем, в со-ответствующих им столбцам есть положительные элементы. Поэтому можно перейти к новому, более лучшему, базису. Так как ₁=₂= -3, то выберем в качестве разрешаю-щего тот столбец, который дает наименьшее отношение. Это 1-й столбец (х₁). Разре-шающий элемент определяется как минимальное отношение элементов столбца сво-бодных членов (а_i0) к соответствующим элементам разрешающего столбца. Им оказал-ся элемент а₁₁=1 (выделен жирным шрифтом). Проводим первую итерацию по изло-женному выше алгоритму, после которой получаем следующую таблицу (см. табл. 5).

Таблица 5.

Из таблицы 5 видно, что улучшение плана можно продолжить. Разрешающим столбцом выбираем единственный столбец, имеющий отрицательную оценку ₂= -6, а разрешающим элементом – единственный положительный элемент ведущего столбца. Переходим к следующему базису X ₃ (см. табл.6).

Таблица 6.

Так как таблица 6 содержит отрицательную оценку, то переходим к плану X ₄ (см.

табл.7).

Таблица 7.

Все оценки неотрицательны, следовательно, найденное решение оптимально.

То есть х_опт=(0; 3; 4; 0), Z_max=7.