1.2 Графический метод решения задач

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ЗЛП)

1.2.1. Цель: научиться строить область допустимых решений (ОДР) задачи, ли-нию уровня и находить решение ЗЛП графическим способом.

1.2.2. Теоретическая часть:

Графический метод основан на геометрической интерпретации ЗЛП и применим:

- к задачам в стандартной форме записи, содержащим не более двух перемен-

ных,

• задачам в канонической форме с числом свободных переменных n-r2,

• задачам общего вида, которые после приведения к канонической форме будут

содержать не более двух свободных переменных.

Основной формой для графического решения ЗЛП является стандартная, к кото-рой должны быть предварительно приведены общая и каноническая модели.

Решение выполняется в два этапа:

1. построение области допустимых решений (ОДР)

2. нахождение в ней оптимального решения.

При построении ОДР возможны три случая:

1. ОДР пустая (ЗЛП не имеет решения из-за несовместимости системы ограниче-ний в ОДР);

2. выпуклый многоугольник;

3. неограниченная выпуклая область.

ЗЛП может иметь единственное оптимальное решение, совпадающее с одной из вершин области, или бесчисленное множество оптимальных решений, соответствую-щее всем точкам отрезка, соединяющего две вершины ОДР, или не иметь решения, ес-ли происходит неограниченное возрастание или убывание линейной формы в ОДР. В случае неограниченной ОДР среди множества оптимальных решений может оказаться только одно, совпадающее с вершиной области.

ОДР представляет общую часть неравенств, которые определяют условия ограни-ченности и неотрицательности задачи. Она ограничена прямыми, описываемыми урав-нениями, которые получены преобразованием неравенств. Пересечение этих прямых определяет вершины многоугольника или многоугольной неограниченной области. Це-левая функция ЗЛП геометрически представляет собой линию уровня на плоскости L, которую можно перемещать параллельно самой себе в направлении нормали, задавае-мой вектором С = (с1,с2). Пересечение линии уровня с ОДР в том ее положении, когда дальнейшее перемещение дает пустое пересечение, и будет соответствовать единствен-ному оптимальному решению ЗЛП (или множеству).

Пример: Решить задачу:

2x₁  x₂  max,

x₁  x₂  2,

x₁  x₂  1,

0  x₂  4,

x₁  0.

Рис.1. Построенная ОДР задачи.

Так как задача выражена в общей форме и содержит две переменные, то ее можно решать графическим способом.

Областью допустимых решений задачи является выпуклый многоугольник ABCD (см. рис.1), сторона |AB| которого построена на основании первого неравенства систе-мы ограничений, сторона |BC| - четвертого неравенства, |CD| - третьего, а |DA| - второ-го. Линия уровня движется в направлении нормали, заданной вектором С=(2;-1), коор-динатами которого являются коэффициенты ЦФ(целевой функции). Направление дви-жения линии уровня на рисунке показано стрелкой. Последней точкой ОДР, в которой оказывается линия уровня L, двигаясь в заданном направлении, является точка D=(5; 4). Это и будет решением.

Значит, х₁=5, а х₂=4, т.е. х_опт=(5; 4). Подставим полученные значения в ЦФ L(x_опт) = 2  5  4  6 .