1.3.2.2. Cимплекс-метод для неполного базиса (м-метод).

Не всегда рассматриваемая ЗЛП имеет полный единичный базис, которому соот-ветствует начальное опорное решение. В решении таких задач прибегают к приему

введения искусственных переменных x_n1  0,i  1, m. , создавая таким образом систему ограничений с полным базисом. Эти же искусственные переменные добавляются в ли-нейную функцию, умноженные на коэффициент (-М), где М – очень большое положи-тельное число (М>>0, М>>С_j). То есть по отношению к исходной задаче, записанной в канонической форме, составляется расширенная М-задача, которая решается, как обычно, с помощью табличного симплекс-метода.

• оптимальном решении ЗЛП все искусственные переменные должны быть равны нулю, Если хотя бы одна из искусственных переменных в оптимальном решении М-задачи не равна нулю, то исходная задача недопустима. Если М-задача неразрешима, то

• исходная неразрешима. Если на какой-то итерации получится базис без искусствен-ных векторов, то с этого момента решается не расширенная задача, а исходная.

Результаты вычислений оформляются в виде табл. 7.

Таблица 7

i

базис

Сi

C1

C2

…

Cn

-M

…

-M

Q(i)

х1

х2

…

xn

xn+1

…

xn+m

X 1

(ai0)

1

xn+1

-M

a10

a11

a12

…

a1n

1

…

0

Q1

2

xn+2

-M

a20

a21

a22

…

a2n

0

…

0

Q2

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

l

xn+l

-M

al0

al1

al2

…

aln

0

…

0

Ql

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

m

xn+m

-M

am0

am1

am2

…

amn

0

…

1

Qm

m+1

Z j  C j

0

-c1

-c2

-cn

0

…

0

m+2

 ai0

 ai1

 ai2

…

 ain

0

…

0

23

Оценки векторов условий _j=Z_j-C_j (j=1,2,…,n) будут линейными функциями от М. Каждая из них состоит из двух независимых частей, одна из которых зависит от М, а другая нет, т.е.  _j _j  M_j . Поэтому симплекс-таблица имеет две строки, соответ-

ствующие линейной форме: (m+1)-я строка содержит коэффициент свободный от М, а (m+2)-я строка содержит коэффициент при М.

Обработка таблицы 7 производится аналогично (r+1)-й итерации обычной сим-плекс-таблицы.

Просматривается (m+2)-я строка, и вектор, вводимый в базис, определяется наи-меньшим отрицательным числом этой строки,

Критерием оптимальности плана по-прежнему является выполнение условия

• _j  (r_j  c _j )  0, j  (1, n) .

Пример: найти минимум функции Z  15x₁  33x₂ , при условии, что

3x₁  2x₂  6,

6x₁  x₂  6,

x _j  0, j  1,2.

Приведем ЗЛП к канонической форме записи, добавив балансовые переменные с соответствующим знаком (минусом) и устремив ЦФ к максимуму, получим такую сис-тему:

Z '15x₁  33x₂  max,

3x₁  2x₂  x₃  6,

6x₁  x₂  x₄  6,

x _j  0, j  1,4.

Переменные х₃ и х₄ не являются базисными, т.к. имеют знак (минус) , противопо-ложный знаку свободного члена (плюс), поэтому введем искусственные базисные неот-рицательные переменные х₅ и х₆. Эти же переменные вводим и в ЦФ по указанному выше правилу. Получаем новую, искусственно созданную задачу

Z"15x₁  33x₂  M (x₅  x₆ )  max,

3x₁  2x₂  x₃  x₅  6,

6x₁  x₂  x₄  x₆  6,

x _j  0, j  1,6.

Приведем новую задачу к новой форме, для чего в ЦФ избавимся от базисных пе-ременных х₅ и х_6.

Z"15x₁  33x₂  M (6  3x₁  2x₂  x₃  6  6x₁  x₂  x₄ ) 15x₁  33x₂  M (12  9x₁  3x₂ 

• x₃  x₄ )  x₁ (15  9M )  x₂ (33  3M )  x₃ M  x₄ M 12M  max

Для удобства перенесем все переменные в левую часть ЦФ и получим:

Z"x₁ (15  9M )  x₂ (33  3M )  x₃ M  x₄ M 12M .

Теперь можно заполнять симплекс-таблицу (см. табл.8)

Таблица 8.

i	Сi	ба-	-0	-15					-33		0	0		-M		-M
		зис															ai0
			ai0	x1					x2		x3	x4		x5		x6
																	aip
1	-M	x5	6	3					2		-1	0		1		0		2
2	-M	x6	6	6					1		0	-1		0		1		1
m+1		Z”	0	15					33		0	0		0		0
m+2		с М	-12	-9					-3		1	1		0		0

Переменную, вводимую в базис определяем по наименьшей отрицательной оцен-ке (-9) в (m+2)-й строке таблицы. Разрешающий элемент определяется минимальным отношением свободных членов к соответствующим положительным элементам разре-шающего столбца (х₁). Им оказался элемент а₂₁=6. Проводим итерацию симплекс-метода (см. табл.9)

Таблица 9.

i	Сi	ба-	-0	-15	-33					0	0			-M		-M
		зис															ai0
			ai0	x1		x2				x3	x4			x5		x6
																	aip
1	-M	x5	3	0	3					-1	1			1		1		2
						2					2					2
2	-15	x1	1	1	1 6					0	1 6			0		1 6		6
m+1		Z”	-5	0	61					0	15			0		 5
					2						6					2
m+2		с М	-3	0	 3					1		1			0	3
					2							2				2

Вводим в базис х₂, соответствующую минимальной отрицательной оценке ^{ 3}₂ .

Выполняя следующий шаг преобразований получаем таблицу 10.

Таблица 10.

i	Сi	ба-	-0	-15	-33	0	0			-M		-M
		зис												ai0
			ai0	x1	x2	x3		x4		x5		x6
														aip
1	-33	x2	2	0	1	 2	1			2		1		6
						3		3		3		3
2	-15	x1	2 3	1	0	1	 2 9				1		2 9		--
						9				18
m+1		Z”	-76	0	0	61	 23				 61		46
						3	3				3		6
m+2		с М	0	0	0	0	0			1		1

Обратите внимание, что в таблице 10 все искусственные переменные выведены из базиса, значит исходная задача может иметь решение. В дальнейшие вычисления мы уже можем и не включать столбцы, соответствующие искусственным переменным. Во-дим в базис столбец x₄, содержащий только один положительный элемент, который и будет разрешающим (см. табл.11).

Таблица 11.

i	Сi	ба-	-0	-15	-33	0	0
		зис						ai0
			ai0	x1	x2	x3	x4
								aip
1	0	x4	6	0	3	1	1
						2
2	-15	x1	2	1	2	 5	0
					3	9
m+1		Z”	-30	0	23	5	0
m+2		с М	0	0	0	0	0

Т.к. в таблице 11 в (m+2)-й строке все элементы неотрицательны и в (m+1)-й строке нет отрицательных элементов при нулевых элементах (m+2)-ой строки, то най-денный базис является оптимальным, т.е. х_опт=(2; 0; 0; 6; 0; 0). Соответствующий опти-мальный план исходной задачи х_опт=(2; 0), Z_min=30.