§ 3 Схема бернулли и биноминальное распределение вероятностей

Биномиальным называют закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X - числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна p. Вероятность возможного значения (числа k появлений события, ) вычисляют по формуле Бернулли:

,

где .

Числовые характеристики вычисляются по формулам:

, , .

Если в схеме Бернулли число испытаний n достаточно велико, а вероятность p появления события A в каждом испытании очень мала, то для вычисления вероятностей событий используют приближенную формулу

,

где - среднее число появлений события A в n испытаниях, и говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона.

Числовые характеристики распределения Пуассона вычисляются по формулам:

, , .

№ 83. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из каждых посеянных семян взойдут: а) семян; б) не менее семян; в) не более семян.

Решение. Применим формулу Бернулли, где

.

а) Тогда

.

б) Необходимо вычислить вероятность

,

для чего вычислим вероятности слагаемых:

,

,

.

Окончательно получаем:

.

в) Необходимо вычислить вероятность

.

Эту вероятность можно подсчитать или как в случае б), или по формуле:

,

так как событие k=7 противоположно событию k 6 (в данной задаче).

Следовательно,

.

Ответ: а) 0,1239; б) 0,9812; в) 0,5307.

№ 84. Магазин получил n=1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна . Найти вероятность того, что магазин может получить разбитых бутылок: а) ровно две; б) не менее трех.

Решение. Применим формулу Пуассона, где .

а) Пусть , тогда

.

б) Пусть k3, тогда

.

Вычислим вероятности:

, ,

Следовательно,

.

Ответ: а) 0,224; б) 0,577.

№ 85. На автобазе предприятия 10 грузовых автомашин. Вероятность выхода автомашины на линию равна 0,8. Для нормальной работы предприятия необходимо, чтобы на линии было не менее 7 автомашин. Найти вероятности нормальной работы предприятия в ближайший день.

№ 86. Завод выпускает персональные ЭВМ, из которых в среднем 95% без дефектов. Найти вероятность того, что среди выпущенных шести ПЭВМ: а) пять ПЭВМ без дефектов; б) хотя бы одна ПЭВМ без дефектов; в) все ПЭВМ без дефектов.

№ 87. Двое играют в “орлянку”. Первый игрок бросает 4 монеты. За каждый выпавший “орел” второй игрок платит первому игроку 100 рублей, а за каждую выпавшую “решку” первый игрок платит второму 100 рублей. Составить закон распределения вероятностей случайной величины X–суммы выигрыша второго игрока. С какой начальной суммой денег может приступить к игре второй игрок: а) в “пессимистическом варианте”, б) в “оптимистическом варианте”.

№ 88. Ценная бумага, стоимостью 1000 руб., может подорожать на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,6, а с вероятностью 0,4 может подешеветь на 1 %. Предполагая, что ежемесячные изменения цены являются независимыми, определить вероятность того, что через 6 месяцев ее стоимость будет не меньше, чем 1030 руб.

№ 89. В брокерской конторе для стимулирования прибыльности торговли по отношению к сотрудникам применяется система премий. В соответствии с этой системой сотрудник, не достигающий установленного дневного уровня прибыли на протяжении более трех дней за две рабочие недели (10 дней), теряет свою премию за этот период. Сколько премий будет потеряно 100 сотрудниками конторы за 50-недельный год, если вероятность того, что сотрудник не выполнит требуемую норму, равна 0,1.

№ 90. Агрегат содержит 2000 деталей. Вероятность выхода детали из строя за время работы агрегата равна 0,001. найти вероятность того, что за время работы агрегата выйдут из строя: а) более одной детали; б) не менее одной детали; в) две детали.

№ 91. Среди 100-долларовых купюр в среднем 1% являются фальшивыми, однако, качество подделки достаточно высокое, и в обменном пункте валюты приемщица принимает их за настоящие. В день принимается примерно 200 100-долларовых купюр. Какова вероятность того, что среди них есть хотя бы одна фальшивая. С какой вероятностью окупит себя за три дня детектор фальшивых купюр, стоимостью 99,95 доллара?

№ 92. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,005. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью не меньшей, чем 0,95?