§ 3. Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий , безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

,

где - вероятность события A_n, вычисленная в предположении, что событие уже наступило.

Если событие А и В совместны, то

.

№ 27. В урне лежат 5 белых, 3 синих и 2 зеленых шара. Наудачу извлекаются три из них. Найти вероятность того, что: а) все три шара белые; б) все три шара имеют разный цвет.

Решение.

а) Событие А (все три шара белые) означает, что и первый и второй и третий шары – белые, то есть

,

где (i-ый шар белый).

Тогда:

.

б) Пусть шары выпадут в следующей последовательности белый, синий, зеленый. Тогда вероятность такого события будет вычисляться как

.

А так как нам все равно в какой последовательности выпадут эти шары, то вероятность события В (все три шара имеют разный цвет) будет равна произведению этой вероятности на количество перестановок из трех элементов, а именно

Ответ: а) ; б) .

§ 4. Независимость случайных событий

Если события независимы в совокупности, то

.

А вероятность появления хотя бы одного из нескольких, независимых в совокупности событий , равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий ₁, ₂, ..., _n:

.

№ 28. Наладчик обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа потребует его вмешательства первый станок, равна 0,2; второй - 0,25; третий - 0,3. Определить вероятность того, что в течение часа потребуют вмешательства наладчика: а) только один станок; б) все три станка; в) хотя бы один станок.

Решение. Определим события:

(вмешательства потребует 1-й станок),

( — " — 2-й станок),

( — " — 3-й станок).

Тогда по условию задачи

а) Обозначим через A событие: A (только один станок потребует вмешательства наладчика), т.е. или только 1-й, или только 2-й, или только 3-й станок. Тогда

.

Учитывая, что , получаем

б) Пусть событие имеет вид: B (все три станка потребуют вмешательства наладчика). Тогда

в) Пусть событие имеет вид: C (хотя бы один станок потребует вмешательства наладчика). Тогда

.

Ответ: а) 0,425; б) 0,015; в) 0,58.

№ 29. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется изделием высшего сорта, равна 0,9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий высшего сорта оказалось: а) только одно; б) только два; в) все три; г) хотя бы одно.

№ 30. Решите № 9 с использованием формул умножения и сложения вероятностей.

№ 31. В сессию студент должен сдать три экзамена. Вероятность не выдержать первый экзамен, равна 0,15, а для последующих экзаменов соответственно - 0,1 и 0,2. Найти вероятность того, что студент сдаст: а) один экзамен; б) два экзамена; в) все три экзамена.

№ 32. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает все три вопроса экзаменационного билета.

№ 33. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Найти вероятность сдачи зачета, если после отказа отвечать на заданный вопрос, преподаватель задает еще только один вопрос.

№ 34. В круг радиуса R вписан квадрат. Найти вероятность того, что поставленные наудачу внутри круга две точки окажутся вне квадрата.

№ 35. В одной урне 5 белых и 10 черных шаров, а в другой 10 белых и 5 черных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

№ 36. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли наугад 3 шара, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: а) все шары одного цвета; б) только три белых шара; в) хотя бы один белый шар.

№ 37. Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 0,6. Найти вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для этого достаточно одного попадания в цель.

№ 38. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель равна 0,7, для второго - 0,8. Найти вероятность попадания в волка. Какова вероятность попадания в волка, если охотника делают по два выстрела

№ 39. Устройство состоит из четырех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время ) первого, второго, третьего и четвертого элементов соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7 и 0,6. Найти вероятности того, что за время безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) хотя бы один элемент.

№ 40. Пусть вероятность невозвращения кредита в срок равна 0,01. Сколько надо выдать кредитов, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9, ожидать, что хотя бы один из кредитов не будет погашен в срок.

№ 41. Партия изделий состоит из изделий первого сорта и изделий второго сорта. Проверка первых изделий, выбранных из партии наудачу, показала, что все они второго сорта , найти вероятность того, что среди следующих двух наудачу выбранных из оставшихся изделий по меньшей мере одно окажется второго сорта.

№ 42. Курс акций первого предприятия в течение месяца может повыситься с вероятностью 0,7, а понизиться с вероятностью 0,3. Для второго предприятия эти вероятности равны соответственно 0,6 и 0,4. Найти вероятность того, что в течение месяца возрастет курс акций хотя бы одного из предприятий, если: а) эти повышения курса независимы; б) известна вероятность 0.45 того, что одновременно повыситься курс акций обоих предприятий.

№ 43. В условиях № 42 б) найти вероятность повышения курса акций первого предприятия, при условии, что повысился курс акций второго предприятия.

№ 44. Для принятия решения о покупке ценных бумаг была разработана система анализа рынка. Из прошлых данных известно, что 10% рынка представляют собой “плохие” ценные бумаги – неподходящие объекты для инвестирования. Предложенная система анализа определяет 95% “плохих” ценных бумаг как потенциально “плохие”, но также определяет 10% ”хороших” ценных бумаг (пригодных для инвестирования) как потенциально “плохие”. Какова вероятность того, что ”плохая” ценная бумага была действительно определена как “плохая “. Проанализируйте пригодность данной системы для принятия инвестиционных решений.

№ 45. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В – 3,5%. Годная продукция завода составляет 95%. Найти вероятность того, что: а) среди продукции, не обладающей дефектом А, встретится дефект В; б) среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект В.

№ 46. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%, причем среди забракованной по признаку А продукции в 10% случаев встречается дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1% случаев. Найти вероятность того, что дефект В встречается во всей продукции.