Г Л А В А I

О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

Т Е О Р И И В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й

§ 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события

В практической деятельности часто приходится сталкиваться со случайными событиями, т.е. событиями, которые могут произойти, но могут и не произойти по причинам, не поддающимся непосредственному учету в данных условиях. Изучение количественных закономерностей, которым подчиняются однородные случайные массовые события, и составляет предмет теории вероятностей.

Случайные события:

а) называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления остальных в одном и том же испытании;

б) называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое;

в) образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Два несовместных события, образующие полную группу, называются противоположными и обозначаются как, например, A и .

§ 2. Определение вероятности. Основные свойства вероятности

Под вероятностью события понимается степень возможности его появления. При классическом определении вероятность события определяется равенством

,

где m - число элементарных исходов испытания, благоприятствующих событию A; n - общее число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

При классическом определении вероятностей предполагается, что общее число элементарных исходов конечно. Чтобы преодолеть этот недостаток вводят статистическое и геометрическое определения вероятностей.

При статистическом определении вероятностей в качестве вероятности события принимают его относительную частоту

,

где m – число испытаний, в которых событие A наступило; n – общее число проведенных испытаний.

Геометрическое определение вероятности применяется для вычисления вероятности попадания точки M, поставленной в область G, в некоторую область :

,

где и – меры областей g и G. Под мерой будем понимать длину, площадь и объем в одно-, двух- и трехмерном случаях соответственно.

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. К ним относятся: перестановки, сочетания и размещения.

Перестановками из n элементов называются такие сочетания, которые отличаются только порядком входящих в них элементов. Количество перестановок вычисляется по формуле:

.

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний вычисляется по формуле

Размещениями называются комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются не только своими элементами, но и порядком входящих в них элементов. Количество размещений вычисляется по формуле:

.

№ 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на верхних гранях, равна 9.

Решение. При бросании одной игральной кости возможны 6 элементарных исходов (1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков), каждый из которых может сочетаться с 6-ю исходами на второй кости. Следовательно, общее число элементарных исходов равно .

Благоприятствующими являются следующие элементарные исходы: 3 + 6, 6 + 3, 4 + 5, 5 + 4, т. е. их число равно m= 4.И, согласно классическому определению вероятности, получаем

Ответ: 1/9.

№ 2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажется ровно 6 отличников.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов равно числу сочетаний из 12 элементов по 9 элементов, т.е.

.

Подсчитаем число благоприятствующих исходов. 6 отличников из 8 можно отобрать способами, оставшихся 3 студентов из 4-х можно отобрать способами. Следовательно, согласно правилу произведения, получаем:

.

Таким образом,

Ответ: 28/55.

№3. В отрезок единичной длины наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1/4.

Решение. Построим отрезок OA единичной длины и разобьем его точками С и Д таким образом, чтобы |ОС|=1/4 и |DA|=1/4.

О С Д А

Требование задачи будет выполнено, если точка попадет на отрезок CD длины 1/2. Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле:

Ответ: 0,5.

№ 4. В урне имеется 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет: а) белым; в) черным.

№ 5. Брошены две монеты. Найти вероятность того, что: а) на обеих монетах появится “герб”; б) хотя бы на одной монете появится “герб”; в) ни на одной монете не появится “герб”.

№ 6. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что “герб” выпадет: а) только на одной монете; б) только на двух монетах ; в) на всех трех монетах; г) хотя бы на одной монете.

№ 7. Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что на верхней грани появится: а) четное число очков; б) “2” или ”4”.

№ 8. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков: а) сумма которых равна 10; б) сумма которых не меньше 10; в) только четные; г) одно четное, другое нечетное; д) сумма которых четна.

№ 9. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков; а) только четные; б) одно четное, другие нечетные; в) все различные; г) сумма которых меньше пяти.

№ 10. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад, одна за другой, выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово “ДВА”.

№ 11. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

№ 12. Найти вероятность выигрыша наибольшей суммы при игре в спортлото по одному билету, если для этого необходимо угадать 5 из 36 чисел.

№ 13..Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые потом тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней а) одну; в) две; в) три.

№ 14. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди них окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия.

№ 15. В условиях № 4 вынимают наудачу: а) два шара; б) три шара. Найти вероятность того, что все эти шары окажутся черными.

№ 16. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами . Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь № 1; б) детали № 1 и № 2.

№ 17. Из последовательности чисел наудачу выбираются два числа. какова вероятность того, что одно из них меньше , а другое больше , если - произвольное натуральное число.

№ 18. А и В и еще 8 человек стоят в очереди. Найти вероятность того, что А и В отделены друг от друга тремя лицами.

№ 19. Изучение ежедневных изменений цен на двух финансовых рынках выявило следующее (в днях):

		Рынок № 1
		Рост цен	Падение цен
Рынок № 2	Рост цен	169	42
	Падение цен	51	80

Найти относительные частоты и вероятность того, что в случайно взятый день произойдет: а) рост цен на рынке №1; б) рост цен на рынке №2; в) рост цен на рынке №1, если известно, что цены на рынке №2 растут; г) рост цен на рынке №2 при условии, что цены на рынке №1 падают.

№ 20. Дана выборка из 100 последовательных ежедневных изменений курса акций некоторого предприятия

Количество дней	10	25	20	10	30	5
Изменение курса ( в %)	-7	-4	0	+3	+5	+10

Найти относительные частоты и вероятности того, что в случайно выбранный день курс акций: а) не изменится; б) повысится; в) повысится не менее чем на 5%; г) понизится.

№ 21. После бури на участке между 40-м и 60-м километрами высоковольтной линии электропередач произошел обрыв проводов. Какова вероятность того, что авария произошла между 50-м и 54-м километрами линии.

№ 22. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 5 см, брошена монета радиусом 1 см. Найти вероятность того, что она не пресечет ни одной из прямых.

№ 23. Внутрь круга, радиусом наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника.

№ 24. Внутрь шара радиусом наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в шар: а) куба; б) конуса, осевое сечение которого является равносторонним треугольником.

№ 25. В квадрат с вершинами наудачу брошена точка с координатами . Найти вероятность того, что корни уравнения - действительные.

№ 26. Два студента договорились встретится в определенном месте между 16 и 18 часами. Пришедший первым ждет второго в течение получаса, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый из студентов выбирает наудачу момент своего прихода (в промежутке от 16 до 18 часов).