§ 2. Функция нескольких случайных аргументов и её распределение

Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то случайную величину Z называют функцией случайных аргументов X и Y:

.

Аналогично определяются функции и от большего числа случайных аргументов.

Наиболее часто в приложениях теории вероятностей встречаются функции нескольких случайных величин вида:

.

Рассмотрим, в частности, вычисление закона распределения вероятностей для суммы

.

Если аргументы и являются дискретными случайными величинами с законами распределения вероятностей

, ,

то закон распределения вероятностей суммы находится по следующему правилу:

а) возможные значения суммы равны всевозможным суммам значений и , то есть ;

б) вероятности возможных значений вычисляются как произведения

,

или , если слагаемые и являются независимыми случайными величинами.

Если и являются независимыми непрерывными случайными величинами то плотность распределения суммы вычисляется по формулам:

.

Числовые характеристики функции случайных аргументов можно, например, вычислить как:

,

где - плотность совместного распределения, а - область определения системы случайных величин .

№ 139. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения вероятностей:

	1	3			2	4
	0,4	0,6			0,7	0,3

Найти закон распределения случайной величины Z=X+Y.

Решение. Чтобы найти возможные значения случайной величины Z, сложим каждое возможное значение X со всеми возможными значениями случайной величины Y:

.

Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых:

.

Так как , то напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности :

	3	5	7
	0,28	0,54	0,18

Контроль: 0,28+0,54+0,18=1.

№ 140. Составить закон распределения вероятностей случайной величины , где - индивидуальный иск от i-го застрахованного, если

	0	1	2
	0,8	0,1	0,1

Здесь - страховой случай не наступил, (у.е.) – смерть от "естественных" причин, (у.е.)- смерть от несчастного случая.

Решение. Найдем последовательно закон распределения вероятностей суммарного ущерба . Определим сначала закон распределения вероятностей для суммы , для чего составим так называемую матрицу вероятностей:

	0,8	0,1	0,1
0,8	0,64	0,08	0,08
0,1	0,08	0,01	0,01
0,1	0,08	0,01	0,01

Суммируя вероятности по линиям , получаем закон распределения вероятностей суммы :

	0	1	2	3	4
	0,64	0,16	0,17	0,02	0,01

Теперь найдем распределение вероятностей для суммы , для чего составим соответствующую матрицу вероятностей:

	0,64	0,16	0,17	0,02	0,01
0,8	0,512	0,128	0,136	0,016	0,008
0,1	0,064	0,016	0,017	0,002	0,001
0,1	0,064	0,016	0,017	0,002	0,001

Суммируя по линиям , получаем искомый закон для суммы :

	0	1	2	3	4	5	6
	0,512	0,192	0,216	0,049	0,027	0,003	0,0001

Аналогично для суммы можем получить:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	0,4096	0,2048	0,2432	0,08	0,0481	0,01	0,0038	0,0004	0,0001

Последняя таблица позволяет построить функцию распределения вероятностей :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	0,4098	0,6144	0,8576	0,9376	0,9857	0,9957	0,9995	0,9999	1

Функция распределения вероятностей позволяет оценить величину капитала страховой компании, обеспечивающей ей определенную вероятность неразорения. Например, капитал, равный 2 у.е., обеспечивает компании вероятность неразорения в 85,76%. Такие данные позволяют компании устанавливать для клиентов более “справедливые” страховые взносы (премии).

№ 141 – 142. Дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределения вероятностей:

№ 141	X	10	12	16		Y	1	2
	p	0,4	0,1	0,5		g	0,2	0,8

№ 142	X	4	10			Y	1	7
	p	0,7	0,3			g	0,8	0,2

Найти законы распределения вероятностей случайных величин: а) ; б) ; в) .

№ 143. На заводе три одинаковых и независимо работающих цеха, в начале месяца по каждому цеху был составлен вероятностный прогноз выполнения плана (в %):

90	100	110		85	100	115		80	100	110
0,1	0,7	0,2		0,1	0,8	0,1		0,2	0,7	0,1

Найти вероятность выполнения плана заводом.

№ 144. Согласно договору краткосрочного страхования жизни, страховая компания выплачивает застрахованному 10000 руб. в случае его смерти в течение года от несчастных случаев; 20000 руб. в случае его смерти от естественных причин; и не платит ничего, если застрахованный проживет более одного года. Компания застраховала на таких условиях трех человек. Составить закон распределения вероятностей суммарного ущерба компании и оценить величину страхового взноса, гарантирующую вероятность не разорения компании в а) 80 %, б) 95 %, в) 98 %. При этом будем иметь в виду, что вероятность смерти от несчастного случая равна 0,04, а от естественных случаев 0,01. Для расчета суммарного ущерба применить матрицу вероятностей и производящие функции.

№ 145. Страховая компания заключила 6 договоров краткосрочного страхования жизни с людьми, достигшими одного и того же возраста на следующих условиях: компания выплачивает застрахованному лицу 10000 руб. в случае его смерти в течение 1 года, и не платит ничего, если застрахованный поживет более 1 года. Составить закон распределения вероятностей суммарного ущерба компании и оценить величину страхового взноса, гарантирующую вероятность не разорения компании в а) 80 %, б) 90 %, в) 95 %.; если вероятность смерти застрахованного в течение текущего года равна 0,1. При этом считается, что индивидуальные убытки является независимыми. Для расчета суммарного ущерба применить формулу Бернулли

№ 146. Найти закон распределения вероятностей суммы двух нормальных независимых случайных величин с параметрами , .

№ 147. Две ремонтные бригады обслуживают водопроводную систему города. Время ожидания очередной заявки на ремонт имеет показательное распределение с параметром . Первую поступившую заявку обслуживает первая бригада, следующую – вторая. Найти закон распределения времени ожидания своей заявки второй бригадой.

№ 148. Точка бросается наудачу в круг радиуса . найти среднее расстояние точки от центра круга.

Г Л А В А V

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ

ТЕОРЕМЫ

Под термином “закон больших чисел”, понимается ряд математических теорем ( например, теоремы Чебышева и Бернулли), в которых указываются условия, при выполнении которых совокупное (среднее) воздействие большого числа случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Основным приложением закона больших чисел является то, что он научно обосновывает так называемый выборочный метод, который является основой статистики (математической, экономической и т.д.).