- •§ 1. Предмет теории вероятностей. Случайные события
- •§ 2. Определение вероятности. Основные свойства вероятности
- •§ 3. Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность.
- •§ 4. Независимость случайных событий
- •§ 5. Полная вероятность и формулы байеса
- •§ 6. Производящие функции
- •§ 1. Определение дисекретной случайной величины. Закон распределния вероятностей
- •Обычно этот закон задают в виде таблицы
- •§ 2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •§ 3 Схема бернулли и биноминальное распределение вероятностей
- •§4. Простейший поток событий.
- •§ 1. Непрерывные одномерные и многомерные случайные величины. Плотность распределения вероятностей.
- •§ 2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 3. Функция распределения вероятностей и ее свойства
- •§ 4. Равномерное распределение
- •§ 5. Показательное распределение
- •§ 6. Нормальное распределение Распределение с плотностью распределения вероятностей
- •§ 7. Классическая задача управления запасами
- •§ 8. Моменты распределения случайных величин
- •§ 1. Функция одного случайного аргумента и её распределение
- •§ 2. Функция нескольких случайных аргументов и её распределение
- •§ 1. Неравенство чебышева
- •§ 2. Теорема чебышева
- •§ 3. Теорема бернулли. Понятие о пределе по вероятности
- •§4. Асимптотически нормальные распределения и понятие о центральной предельной теореме ляпунова
- •§ 5. Теорема муавра-лапласа и асимптотика биномиального распределения
§ 2. Функция нескольких случайных аргументов и её распределение
Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то случайную величину Z называют функцией случайных аргументов X и Y:
.
Аналогично определяются функции и от большего числа случайных аргументов.
Наиболее часто в приложениях теории вероятностей встречаются функции нескольких случайных величин вида:
.
Рассмотрим, в частности, вычисление закона распределения вероятностей для суммы
.
Если аргументы и являются дискретными случайными величинами с законами распределения вероятностей
, ,
то закон распределения вероятностей суммы находится по следующему правилу:
а) возможные значения суммы равны всевозможным суммам значений и , то есть ;
б) вероятности возможных значений вычисляются как произведения
,
или , если слагаемые и являются независимыми случайными величинами.
Если и являются независимыми непрерывными случайными величинами то плотность распределения суммы вычисляется по формулам:
.
Числовые характеристики функции случайных аргументов можно, например, вычислить как:
,
где - плотность совместного распределения, а - область определения системы случайных величин .
№ 139. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения вероятностей:
|
1 |
3 |
|
|
2 |
4 |
|
0,4 |
0,6 |
|
|
0,7 |
0,3 |
Найти закон распределения случайной величины Z=X+Y.
Решение. Чтобы найти возможные значения случайной величины Z, сложим каждое возможное значение X со всеми возможными значениями случайной величины Y:
.
Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых:
.
Так как , то напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности :
|
3 |
5 |
7 |
|
0,28 |
0,54 |
0,18 |
Контроль: 0,28+0,54+0,18=1.
№ 140. Составить закон распределения вероятностей случайной величины , где - индивидуальный иск от i-го застрахованного, если
|
0 |
1 |
2 |
|
0,8 |
0,1 |
0,1 |
Здесь - страховой случай не наступил, (у.е.) – смерть от "естественных" причин, (у.е.)- смерть от несчастного случая.
Решение. Найдем последовательно закон распределения вероятностей суммарного ущерба . Определим сначала закон распределения вероятностей для суммы , для чего составим так называемую матрицу вероятностей:
-
0,8
0,1
0,1
0,8
0,64
0,08
0,08
0,1
0,08
0,01
0,01
0,1
0,08
0,01
0,01
Суммируя вероятности по линиям , получаем закон распределения вероятностей суммы :
-
0
1
2
3
4
0,64
0,16
0,17
0,02
0,01
Теперь найдем распределение вероятностей для суммы , для чего составим соответствующую матрицу вероятностей:
-
0,64
0,16
0,17
0,02
0,01
0,8
0,512
0,128
0,136
0,016
0,008
0,1
0,064
0,016
0,017
0,002
0,001
0,1
0,064
0,016
0,017
0,002
0,001
Суммируя по линиям , получаем искомый закон для суммы :
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
0,512 |
0,192 |
0,216 |
0,049 |
0,027 |
0,003 |
0,0001 |
Аналогично для суммы можем получить:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
0,4096 |
0,2048 |
0,2432 |
0,08 |
0,0481 |
0,01 |
0,0038 |
0,0004 |
0,0001 |
Последняя таблица позволяет построить функцию распределения вероятностей :
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
0,4098 |
0,6144 |
0,8576 |
0,9376 |
0,9857 |
0,9957 |
0,9995 |
0,9999 |
1 |
Функция распределения вероятностей позволяет оценить величину капитала страховой компании, обеспечивающей ей определенную вероятность неразорения. Например, капитал, равный 2 у.е., обеспечивает компании вероятность неразорения в 85,76%. Такие данные позволяют компании устанавливать для клиентов более “справедливые” страховые взносы (премии).
№ 141 – 142. Дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределения вероятностей:
№ 141 |
X |
10 |
12 |
16 |
|
Y |
1 |
2 |
|
p |
0,4 |
0,1 |
0,5 |
|
g |
0,2 |
0,8 |
№ 142 |
X |
4 |
10 |
|
|
Y |
1 |
7 |
|
p |
0,7 |
0,3 |
|
|
g |
0,8 |
0,2 |
Найти законы распределения вероятностей случайных величин: а) ; б) ; в) .
№ 143. На заводе три одинаковых и независимо работающих цеха, в начале месяца по каждому цеху был составлен вероятностный прогноз выполнения плана (в %):
90 |
100 |
110 |
|
85 |
100 |
115 |
|
80 |
100 |
110 |
0,1 |
0,7 |
0,2 |
|
0,1 |
0,8 |
0,1 |
|
0,2 |
0,7 |
0,1 |
Найти вероятность выполнения плана заводом.
№ 144. Согласно договору краткосрочного страхования жизни, страховая компания выплачивает застрахованному 10000 руб. в случае его смерти в течение года от несчастных случаев; 20000 руб. в случае его смерти от естественных причин; и не платит ничего, если застрахованный проживет более одного года. Компания застраховала на таких условиях трех человек. Составить закон распределения вероятностей суммарного ущерба компании и оценить величину страхового взноса, гарантирующую вероятность не разорения компании в а) 80 %, б) 95 %, в) 98 %. При этом будем иметь в виду, что вероятность смерти от несчастного случая равна 0,04, а от естественных случаев 0,01. Для расчета суммарного ущерба применить матрицу вероятностей и производящие функции.
№ 145. Страховая компания заключила 6 договоров краткосрочного страхования жизни с людьми, достигшими одного и того же возраста на следующих условиях: компания выплачивает застрахованному лицу 10000 руб. в случае его смерти в течение 1 года, и не платит ничего, если застрахованный поживет более 1 года. Составить закон распределения вероятностей суммарного ущерба компании и оценить величину страхового взноса, гарантирующую вероятность не разорения компании в а) 80 %, б) 90 %, в) 95 %.; если вероятность смерти застрахованного в течение текущего года равна 0,1. При этом считается, что индивидуальные убытки является независимыми. Для расчета суммарного ущерба применить формулу Бернулли
№ 146. Найти закон распределения вероятностей суммы двух нормальных независимых случайных величин с параметрами , .
№ 147. Две ремонтные бригады обслуживают водопроводную систему города. Время ожидания очередной заявки на ремонт имеет показательное распределение с параметром . Первую поступившую заявку обслуживает первая бригада, следующую – вторая. Найти закон распределения времени ожидания своей заявки второй бригадой.
№ 148. Точка бросается наудачу в круг радиуса . найти среднее расстояние точки от центра круга.
Г Л А В А V
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
Под термином “закон больших чисел”, понимается ряд математических теорем ( например, теоремы Чебышева и Бернулли), в которых указываются условия, при выполнении которых совокупное (среднее) воздействие большого числа случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая.
Основным приложением закона больших чисел является то, что он научно обосновывает так называемый выборочный метод, который является основой статистики (математической, экономической и т.д.).