§ 5. Полная вероятность и формулы байеса

Вероятность события A, которое может наступить лишь при появлении одного из нескольких несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A:

–

формула полной вероятности.

Если событие уже произошло (в результате опыта, эксперимента), и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий , то эти вероятности можно переоценены по формулам Байеса

,

где вычисляется по формуле полной вероятности.

Условные вероятности называют еще апостериорными (после опыта), а вероятности - априорными (до опыта).

№ 47. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием , 30% -с заболеванием , 20%-с заболеванием . Вероятность полного излечения болезни равна 0,7; для болезней и эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9.

1) Найти вероятность того, что наудачу взятый больной выписан здоровым.

2) Больной, поступивший в больницу, выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.

Решение. 1) Применим формулу полной вероятности

,

где события: A (больной выписан здоровым), B₁ (больной болел болезнью K), B₂ (болезнью Z), B₃ (болезнью M).

Тогда

Проверка:

Вычислим условные вероятности:

- вероятность того, что больной излечен полностью, если он болел болезнью K;

- — " — болезнью Z;

- — " — болезнью M.

По условию задачи эти вероятности равны:

Следовательно, искомая вероятность P(A) равна:

.

2) Применим формулу Байеса:

–

вероятность того, что вылечившийся больной страдал заболеванием K.

Тогда,

Ответ: 1) 0,77; 2) 0,4545.

Аналогично можно подсчитать и две другие апостериорные вероятности

Таким образом, в результате проведенного лечения (эксперимента) среди выписанных здоровыми оказалось 45,45% страдавших ранее болезнью , 31,17% - болезнью , 23,38% - болезнью .

№ 48. Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 11 черных шаров; 5 урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара и две урны, содержащие по 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. 1) Определить вероятность того, что этот шар белый. 2) Шар оказался белым. Определить вероятность того, что этот шар извлечен из второй серии урн.

№ 49. Собирается партия исправных изделий с трех предприятий. Первое предприятие поставляет 60% всех изделий, второе – 30%, третье – 20%. Вероятность исправной работы изделия первого предприятия равна 0,95, второго – 0,90, третьего – 0,85. Определить вероятность того, что в собранную партию исправных деталей попали соответственно изделия с первого, второго и третьего предприятий.

№ 50. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому же шоссе как 2:1. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,12; для легковой машины эта вероятность равна 0,1. К бензоколонке подъехала для заправки машина. 1). Найти вероятность того, что это: а) легковая автомашина; б) грузовая автомашина. 2) Определите соотношение заправочных узлов, предназначенных для заправки грузовых и легковых автомобилей, если предположить, что они заправляются разными сортами топлива.

№ 51. Изделие проверяется на стандартность одним из трех товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,25, ко второму - 0,35, к третьему - 0,4. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, вторым - 0,95, третьим - 0,93. Стандартное изделие было признано при проверке стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял третий товаровед.

№ 52. Банк выдает 10% всех кредитов государственным организациям, 30% - негосударственным юридическим лицам, остальные – физическим лицам. Вероятности невозврата в срок кредита соответственно равны: 0,1, 0,05 и 0,15. 1) Найти вероятность невозвращения очередного кредита. 2) Получено сообщение о невозврате кредита. Найти вероятность того, что этот кредит не возвращает физическое лицо.

№ 53. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту, равна 0,95. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, не удовлетворяющих стандарту, - с вероятностью 0,04. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.

№ 54. Как разложить 10 белых и 10 черных шаров по двум урнам, чтобы вероятность вынуть наудачу белый шар была наибольшей?

№ 55. При помещении в урну тщательно перемешанных шаров, из которых шаров белые, один потерялся. Из оставшихся в урне шаров наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?