§ 6. Производящие функции

Вероятности сложных событий можно считать и с помощью производящих функций.

Пусть проводится n независимых испытаний, в которых вероятность появления события равна , а непоявления - . Обозначим через - вероятность того, что событие появится ровно раз при проведении испытаний.

Тогда производящей функцией вероятностей называется функция

.

И вероятность вычисляется по формуле

,

то есть эта вероятность равна соответствующему коэффициенту в многочлене .

№ 56. В условиях № 28 найти вероятности .

Решение. Так как

то производящая функция вычисляется следующим образом:

Тогда:

а) Вероятность того, что вмешательства наладчика потребуют все три станка, равна

.

б) Вероятность того, что вмешательства наладчика потребуют только два станка, равна

.

а) Вероятность того, что вмешательства наладчика потребует только один станок, равна

.

а) Вероятность того, что ни один станок не потребует вмешательства наладчика, равна

.

Ответ: , , , .

№ 57. В условиях № 29 найти все .

№ 58. В условиях № 39 найти все .

№ 59. Две батареи по три орудия каждая производят залп по цели. Цель будет поражена, если каждая из батарей даст не менее двух попаданий. Вероятности попадания в цель орудиями первой батареи равны 0,3, 0,4, 0,5, а второй -–0,4, 0,5, 0,6. Найти вероятность поражения цели при одном залпе из двух батарей.

Г Л А В А II

Д И С Е К Р Е Т Н Ы Е С Л У Ч А Й Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы

§ 1. Определение дисекретной случайной величины. Закон распределния вероятностей

Случайная величина X называется дискретной, если множество ее возможных значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел и если каждое событие вида , является случайным событием, т.е. имеет определенную вероятность , а именно

Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины X называется любое правило, позволяющее находить все вероятности вида

Обычно этот закон задают в виде таблицы

Здесь

Двумерная случайная величина называется дискретной, если ее составляющие X и Y являются дискретными случайными величинами и события являются случайными, т.е. определены вероятности вида

Обычно двумерная дискретная случайная величина задается в виде таблицы с двумя входами:

Здесь , , , , .

Условным законом распределения составляющей при ( сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях ) называют совокупность условных вероятностей вида:

,

где .

Эти вероятности вычисляются по формулам:

.

Например,

№ 60. В партии из семи деталей имеются четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины - числа стандартных деталей среди трех отобранных. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей.

Решение. Случайная величина X принимает следующие возможные значения: Найдем вероятности этих возможных значений (см. № 2):

, ,

, .

Составим закон распределения вероятностей:

	0	1	2	3
	1/35	12/35	18/35	4/35

Контроль:

Так как 18/35 - наибольшая из вероятностей, то наивероятнейшее число стандартных деталей среди трех отобранных равно двум.

№ 61. Задана дискретная двумерная случайная величина :

X Y	x1=1	x1=3	x1=5
y1=2	0,1	0,2	0,25
y2=6	0,3	0,1	0,05

Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение ; в) условный закон распределения Y при условии, что

Решение. а) Сложив вероятности по "столбцам", найдем безусловный закон распределения X:

	1	3	5
	0,4	0,3	0,3

Сложив вероятности по "строкам", найдем безусловный закон распределения Y:

	2	6
	0,55	0,45

б) Найдем условные вероятности возможных значений X при условии, что составляющая Y приняла значение :

Напишем условный закон распределения X:

	1	3	5
	2/3	2/9	1/9

Контроль: 2/3+2/9+1/9=1.

в) Аналогично найдем условный закон распределения Y при :

	2	6
	1/4	3/4

Контроль: 1/4+3/4=1.

№ 62. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время ) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа отказавших элементов за время . Найти наивероятнейшее число отказавших элементов.

№ 63. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется. Требуется: а) Составить закон распределения дискретной случайной величины - числа выданных стрелку патронов; б) найти наивероятнейшее число выданных патронов.

№ 64. В автомагазине покупатели выбирают автомобили. Как правило, несколько первых автомобилей покупателем отвергаются. Составить закон распределения вероятностей случайной величины – числа отвергнутых покупателем автомобилей, если вероятность того, что произвольный автомобиль понравится покупателю, равна 0,2.

№ 65. Два бомбардировщика поочередно бросают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0,7, вторым - 0,8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик. Составить четыре первых члена закона распределения вероятностей случайной дискретной величины – числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками.

№ 66. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы до тех пор, пока студент не сможет ответить на заданный вопрос. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна 0,95. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины – числа заданных дополнительных вопросов; б) найти вероятность того, что преподаватель задаст студенту не более четырех вопросов.

№ 67. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются: один приз за 300 руб., два приза по 100 руб. и четыре приза по 25 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрел один билет за 30 руб., если всего было продано 25 билетов.

№ 68 - 69. Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y). Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условные законы составляющих X и Y при всех возможных значениях Y и X соответственно.

№ 68.

	3	4	5	6
8	0,15	0,05	0,25	0,20
9	0,05	0,10	0,15	0.05

№ 69.

	1	3
2	0,3	0,10
3	0,25	0,05
4	0,20	0,10