§ 6. Нормальное распределение Распределение с плотностью распределения вероятностей
называется
нормальным распределением с параметрами
a
и σ.
А график функции
называют нормальной кривой или кривой
Гаусса.
Данные параметры имеют следующий вероятностный смысл:
.
Если
и
,
то имеем стандартное нормальное
распределение с плотностью
.
Значения этой функции протабулированы в приложении № 1.
Вероятность того, что нормальная случайная величина X, примет значение, принадлежащее интервалу вычисляется по формуле:
,
где
- функция Лапласа (приложение 2), причем
,
а
,
.
Вероятность
того, что отклонение нормальной случайной
величины X
от своего математического ожидания a
по абсолютной величине меньше
,
равна
.
Например,
.
Последнее равенство составляет содержание так называемого правила "трех сигм": практически достоверным является событие, состоящее в том, что отклонение возможных значений нормальной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине, не превзойдет утроенного среднего квадратического отклонения.
№ 115.
Автомат штампует детали. Контролируется
длина детали, которая распределена
нормально с математическим ожиданием
(проектная длина)
мм и средним
квадратическим отклонением
мм.
Найти:
а)
вероятность того, что длина наудачу
взятой детали будет больше
мм и меньше
мм;
б)
вероятность того, что длина детали
отклонится от проектной длины не более,
чем на
мм.
Решение. а) Применяем формулу
,
где
,
.
Тогда
.
б) Применим формулу
.
Тогда
.
Ответ: а) 0,6247; б) 0,9544.
№ 116.
Случайные
ошибки измерения подчинены нормальному
закону со средним квадратическим
отклонением
мм и математическим ожиданием
мм. Найти вероятность того, что из трех
независимых измерений ошибка не
превзойдет 4 мм: а) при одном измерении;
б) хотя бы при одном измерении.
№ 117. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическим отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания на мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.
№ 118. Автомат штампует детали. Длина детали X распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 100 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 94 и не более 106 мм. Сколько процентов изготовленных деталей будут иметь длину: а) меньшую 99 мм; б) большую 103 мм?
№ 119. Есть некоторые основания полагать, что рост случайно выбранного студента подчиняется нормальному распределению со средним значением роста в 176 см. Полагая, что практически все студенты имеют рост в промежутке от 152 до 200 см. найти вероятность того, что рост случайно выбранного студента будет: а) меньше 169 см; б) не меньше 190 см; в) заключен в пределах от 177 до 190 см.
№ 120. Текущая цена акции может быть приближенно смоделирована при помощи нормального распределения с математическим ожиданием 13,25 у.е. и средним квадратическим отклонением 0,32 у.е. Рассчитайте вероятность того, что цена случайно взятой акции окажется: а) не ниже 13,5; б) не выше 13,05; в) между 13,05 и 13,5.
№ 121. Известно, что цена некоторой акции имеет приближенно нормальное распределение. В течение последнего года на протяжении 25% рабочих дней её цена была ниже 48 у.е., а на протяжении 70% рабочих дней - была выше 49 у.е.
Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение цены акции.
На сколько единиц может отклониться цена акции от своего среднего значения с вероятностью: а) 0,95; б) 0,99; в) 0,9973.