§ 2. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Если дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей вида:

то математическое ожидание величины вычисляется по формуле

.

Математическое ожидание случайной величины служит характеристикой среднего значения величины X. В задачах принятия решений математическое ожидание, например, характеризует доходность инвестиционного проекта.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

,

или

.

Дисперсию удобно вычислять по формулам:

,

или

.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют корень квадратный из дисперсии:

.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания (среднего значения). В задачах принятия решений среднее квадратическое отклонение служит мерой риска.

№ 70. Задан закон распределения дискретной случайной величины X.

	34	40	42	45
	0,3	0,4	0,1	0,2

Найти: а) математическое ожидание ; б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

Решение.

а) Математическое ожидание вычислим по формуле:

.

Следовательно,

.

б) Дисперсию вычислим по формуле

.

Следовательно,

.

И среднее квадратическое отклонение равно:

.

Ответ: .

№ 71. В условиях задачи № 61 найти: условные математические ожидания составляющие при , и Y при .

Решение. ,

.

Ответ: 2,8; 5.

Понятие математического ожидания широко используется в микроэкономике при принятии решений в условиях неопределенности, с использованием понятия ожидаемой полезности инвестора или лица, принимающего решение (ЛПР). Рассмотрим в качестве иллюстрации следующий пример.

№ 72. Пусть ЛПР с функцией полезности обладает начальным капиталом в 10000 руб.

1. ЛПР может принять участие в игре, в которой он с вероятностью 0,5 может выиграть или проиграть 2000 руб. Имеет ли ему смысл покупать страховой полис, устраняющий риск, за 500 руб., или не играть.

2. ЛПР рискнул, принял участие в игре и проиграл. Следует ли ему снова принять участие в игре, или застраховать свой риск на прежних условиях.

Решение. 1. Закон распределения вероятностей капитала ЛПР при участии в игре без страховки имеет вид:

	8000	1200
	0,5	0,5

Тогда полезность такого решения будет равна

ют.

При покупке страхового полиса закон распределения вероятностей капитала ЛПР имеет вид:

	9500	11500
	0,5	0,5

с полезностью

ют.

Если вычислить первоначальную полезность ЛПР:

ют.,

то можно сделать вывод о том, что ЛПР следует играть, застраховав свой риск, а без страховки лучше и не играть.

2.После проигрыша капитал ЛПР составит 8000 руб., поэтому его участие в игре второй раз будет иметь следующую полезность:

а) без страховки

ют.;

б) со страховкой

ют.

Если вычислить полезность ЛПР после первого проигрыша

ют.,

то можно сделать вывод о том, что ЛПР может играть и во второй раз, если полностью застрахует свой риск.

№ 73 - 74. Задан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Найти числовые характеристики.

№ 73. № 74.

	19	21	22	24			7	10	12	14
	0,1	0,2	0,3	0,4			0,3	0,2	0,4	0,1

№ 75. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины : , , , а так же известны , . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.

№ 76. Проводятся многократные испытания некоторого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной величины – числа испытаний, которое надо провести. Вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,2.

№ 77. В условиях задачи № 68 найти условные математические ожидания составляющей .

№ 78. В условиях задачи № 69 найти условные математические ожидания составляющей .

№ 79. Дано следующее состояние рынка ценных бумаг трех видов :

Состояние рынка ( )	Вероятность	Доходность ценных бумаг (в %)
(хорошее)	0,5	30	20	40
(среднее)	0,3	20	20	10
(плохое)	0,2	-5	-10	-20

Определить, какая из ценных бумаг является: а) наиболее доходной; б) наименее рисковой.

№ 80. Летом цена угля за 1 т равна 6 у.е. и у Вас есть место для хранения 6 т угля. Весь уголь, который не будет использован в течение зимы, пропадет. Данные о потребности и ценах на уголь в зимний период приведены в следующей таблице:

Зима	Вероятности	Потребность угля (т)	Средняя цена за 1 т (у.е.)
мягкая	0,35	4	7
обычная	0,5	5	7,5
холодная	0,15	6	8

Сколько угля Вам следует закупить летом?

№ 81. В условиях № 72 найдите максимальную сумму, которую может заплатить ЛПР за страховку как в первом, так и во втором случаях.

№ 82. Пусть функция полезности инвестора имеет вид:

.

Инвестор может вложить в некоторый проект 25000 руб. и считает, что с одинаковой вероятностью может получить прибыль в 30000 руб., или потерять все. Определите: а) следует ли осуществлять инвестирование проекта; б) какова ожидаемая полезность инвестирования.