§ 1. Неравенство чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем :

№ 149. Вероятность появления события A в каждом испытании равна 0,25. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события A заключена в пределах от 150 до 250, если будет проведено 800 независимых испытаний.

Решение. Вычислим:

.

Тогда

.

Ответ: .

№ 150. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

	1	3	6
	0,4	0,1	0,5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что .

№ 151. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных лампочек и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время T окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.

№ 152. Выход молодняка в инкубаторе составляет в среднем 75% числа заложенных яиц. Оценить вероятность того, что из 8000 заложенных в инкубатор яиц вылупится от 5950 до 6050. цыплят.

№ 153. Вероятность того, что покупатель произведет покупку в магазине, равна 0,65. Попробуйте применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что из 2000 покупателей число сделавших покупки будет находиться в границах от 1260 до 1360.

Отметим, что неравенство Чебышева имеет скорее теоретический, чем практический смысл, и применяется, например, для доказательств теорем Чебышева и Бернулли.

§ 2. Теорема чебышева

Теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин , дисперсии которых равномерно ограничены , то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым. Т.е.

или

если все .

Это означает, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины, так как принимает значения, близкие к постоянному числу .

При доказательстве теоремы Чебышева применяется следствие из неравенства Чебышева вида:

.

№ 154. Применима ли к последовательности независимых случайных величин , теорема Чебышева, если:

а)

		0

б)

		0

в)

		0

г)

		0
	0,5	0,5

№ 155. Определить, сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке лесопосадки, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения не более, чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95. Предполагается известным, что среднеквадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 5 см, и измерения проводятся без погрешности.